高中数学人教a版选修4-4同步辅导与检测：第一讲 三 简单曲线的极坐标方程

高中数学人教a版选修4-4同步辅导与检测：第一讲 三 简单曲线的极坐标方程

三　简单曲线的极坐标方程 1 ．理解极坐标方程的意义． 2 ．能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程． 3 ．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义． 1 ． 定义 如果曲线 C 上的点与方程 f ( ρ ， θ ) ＝ 0 有如下关系： (1) 曲线 C 上任一点的坐标 ( 所有坐标中至少有一个 ) 符合方程 f ( ρ ， θ ) ＝ 0. (2) 方程 f ( ρ ， θ ) ＝ 0 的所有解为坐标的点都在曲线 C 上，则曲线 C 的方程是 f ( ρ ， θ ) ＝ 0. 2 ． 直线的极坐标方程 若直线过点 M ( ρ 0 ， θ 0 ) ，且极轴到此直线的角为 α ，则它的方程为 ρ sin ( θ － α ) ＝ ρ 0 sin ( θ 0 － α ). 3 ． 圆的极坐标方程 圆心为 M ( ρ 0 ， θ 0 ) 、半径为 r 的圆方程为 ρ 2 － 2 ρ 0 ρ cos ( θ － θ 0 ) ＋ － r 2 ＝ 0. 特别当圆心与极点重合时，圆的方程为 ρ=r. 练习 几个特殊位置的直线的极坐标方程． ①直线过极点且过点 M ( ρ 0 ， θ 0 ) 的极坐标方程为 ____________ ． ②直线过点 M ( a, 0) 且垂直于极轴的极坐标方程为 ____________ ． ③直线过点 M 且平行于极轴的极坐标方程为 ____________ ． 2 ．① θ ＝ θ 0 　② ρ cos θ ＝ a 　③ ρ sin θ ＝ b 练习 (1) 几个特殊位置的圆的极坐标方程： ①当圆心位于极点、半径为 r 的圆的极坐标方程为 _______ ． ②当圆心位于 M ( r, 0) 、半径为 r 的圆的极坐标方程为 ______ ． ③当圆心位于 M 、半径为 r 的圆的极坐标方程为 _________ ． 3 . ρ cos θ ＝ 3 ， ρ ＝ 5 ， ρ sin θ ＝ 2 ， θ ＝ π 分别表示什么曲线？ 答案： ρ cos θ ＝ 3 ， ρ ＝ 5 ， ρ sin θ ＝ 2 ， θ ＝ π( ρ >0) 分别表示直线、圆、直线、射线． 求： (1) 求过点 A 且平行于极轴的直线． (2) 过 A 且和极轴成 的直线． 分析： (1) 在直线上任意取一点 M ，根据已知条件想办法找到变量 ρ ， θ 之间的关系．我们可以通过直角三角形来解决，因为已知 OA 的长度，还知∠ AOx ＝ . (2) 在三角形中，利用正弦定理来找到变量 ρ ， θ 之间的关系． 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化． 分析： 极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确定平面上一点的位置方法，都是研究平面图形的重要工具．在实践中，由于问题的需要和研究的方便，常需把这两种坐标系进行换算，我们有必要掌握这两种坐标间的互化．在解这类题时，除正确使用互化公式外，还要注意与恒等变换等知识相结合． 1 ．极坐标方程分别为 ρ ＝ cos θ 和 ρ ＝ sin θ 的两个圆的圆心距是 ( 　　 ) A ． 2 　　　　 B. 　　　　 C ． 1 　　　　 D. D 2 ．极坐标方程 ρ ＝ cos 所表示的曲线是 ( 　　 ) A ．双曲线　　　　　　　 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆 D C 解析： 把圆的极坐标方程化为直角坐标系方程为 x 2 ＋ y 2 ＋ 2 y ＝ 0 ，得圆心的直角坐标为 (0 ，－ 1) ，故选 B. 答案： B 6 ． 已知曲线 C 1 ， C 2 的极坐标方程分别为 ρ cos θ ＝ 3 ， ρ ＝ 4cos θ ， 则曲线 C 1 与 C 2 交点的极坐标为 ________ ． 7. （ 2012· 安徽卷）在极坐标系中，圆 ρ=4sinθ 的圆心到直线 θ= （ ρ∈R ）的距离是 . 8. （ 2012. 江西卷）才曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2 x =0. 以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 ____________ . 解析： 利用公式法转化求解 . 直角坐标方程 x 2 + y 2 -2 x =0 可以为 x 2 + y 2 =2 x ，将 ρ 2 = x 2 + y 2 , x = ρ cos θ 代入整理得： ρ =2cos θ . 答案： ρ =2cos θ 9 ． (2012 年湖南卷 ) 在极坐标系中，曲线 C 1 ： ρ ( cos θ ＋ sin θ ) ＝ 1 与曲线 C 2 ： ρ ＝ a ( a ＞ 0) 的一个交点在极轴上，则 a ＝ ________. 10 ． (2012 年陕西卷 ) 直线 2 ρ cos θ ＝ 1 与圆 ρ ＝ 2cos θ 相交的弦长为 ________ ． 11 ．把下列极坐标方程化为直角坐标方程． (1) ρ 2 cos 2 θ ＝ 1. (2) ρ ＝ tan θ ·sec θ . (3) ρ ＝ 2cos . 分析： 本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程，通常把方程先配凑，然后把 ρ cos θ 换成 x ， ρ sin θ 换成 y ， ρ 2 换成 x 2 ＋ y 2 而得出． 12 ．设过原点 O 的直线与圆 C ： ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 1 的一个交点为 P ，点 M 为线段 OP 的中点． (1) 求圆 C 的极坐标方程； (2) 求点 M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线． 解析： (1) 圆 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 1 的极坐标方程为 ρ ＝ 2cos θ . (2) 设点 P 的极坐标为 ( ρ 1 ， θ 1 ) ，点 M 的极坐标为 ( ρ ， θ ) ． ∵点 M 为线段 OP 的中点，∴ ρ 1 ＝ 2 ρ ， θ 1 ＝ θ . 将 ρ 1 ＝ 2 ρ ， θ 1 ＝ θ 代入圆的极坐标方程，得 ρ ＝ cos θ . ∴ 点 M 轨迹的极坐标方程为 ρ ＝ cos θ ，它表示圆心在 点 ，半径为 的圆． 1. 极坐标系和直角坐标系都可以建立点与数组、曲线 与方程之间的对应关系 . 并且在某些情况下，应用极坐标 系解题比应用直角坐标系更为简洁 . 所以必须掌握用极坐 标系解决问题的方法，熟悉极坐标系与直角坐标系的互相 转化关系 . 首先，我们应注意到极坐标系与直角坐标系存在着不 同点，这是因为极坐标系中点与数之间的对应关系不是一 一映射的 . 2. 建立曲线的极坐标方程的方法步骤 . （ 1 ）在曲线上任取一点 P （ ρ,θ ） . （ 2 ）建立起直角三角形（或斜三角形），利用锐角的三 角函数概念、正弦定理、余弦定理建立起 ρ 、 θ 的方程 . （ 3 ）证明所求曲线方程为曲线的方程（在此省略） . 3. 利用极坐标思想方法亦可简便解决一些轨迹问题， 尤其是涉及线段间数量关系的问题 . 求极坐标系下的轨迹 方程与求直角坐标系下的轨迹方程的方法一致 . 如定义 法、直接法、参数法等 . 4. 不论曲线的直角坐标系的方程如何，只要我们将极 坐标系的极点放在曲线的焦点上，总可将方程化成较简单 的极坐标方程 . 反过来，有了适当的极坐标方程和直角坐 标系与极坐标系的位置关系，也可以得到曲线在直角坐标 系内的方程 . 这样，在解题过程中，我们就可以灵活地变换坐标系，使解题过程大为简化 . 5. 处理极坐标系中的直线与圆的问题大致有两种思路： （ 1 ）化极坐标方程为直角坐标方程再处理； （ 2 ）根据 ρ 、 θ 的几何意义进行旋转或伸缩变换 . 感谢您的使用，退出请按 ESC 键 本小节结束