专题32 等比数列及其前n项和-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用) Word版含解析

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专题32 等比数列及其前n项和-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用) Word版含解析

专题32等比数列及其前n项和 最新考纲 ‎1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.‎ ‎3.了解等比数列与指数函数的关系.‎ 基础知识融会贯通 ‎1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0).‎ ‎2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an=a1·qn-1(a1≠0,q≠0).‎ ‎3.等比中项 如果在a与b中插入一个数G,使得a,G,b成等比数列,那么根据等比数列的定义,=,G2=ab,G=±,称G为a,b的等比中项.‎ ‎4.等比数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*).‎ ‎(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an.‎ ‎(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),,{a},{an·bn},仍是等比数列.‎ ‎5.等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,‎ 当q=1时,Sn=na1;‎ 当q≠1时,Sn==.‎ ‎6.等比数列前n项和的性质 公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.‎ ‎【知识拓展】‎ 等比数列{an}的单调性 ‎(1)满足或时,{an}是递增数列.‎ ‎(2)满足或时,{an}是递减数列.‎ ‎(3)当时,{an}为常数列.‎ ‎(4)当q<0时,{an}为摆动数列.‎ 重点难点突破 ‎【题型一】等比数列基本量的运算 ‎【典型例题】‎ 在等比数列{an}中,,则公比q的值为(  )‎ A.3 B. C.2或 D.3或 ‎【解答】解:根据题意,等比数列{an}中,,‎ 则有2q,变形可得q2q+1=0,‎ 解可得:q=3或,‎ 故选:D. ‎ ‎【再练一题】‎ 已知公比大于0的等比数列{an}满足a1=3,前三项和S3=21,则a2+a3+a4=(  )‎ A.21 B.‎42 ‎C.63 D.84‎ ‎【解答】解:3(1+q+q2),即q2+q﹣6=0,解得q=2或q=﹣3(舍),所以a2+a3+a4=qS3=2×21=42.‎ 故选:B. ‎ 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,‎ an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.‎ ‎【题型二】等比数列的判定与证明 ‎【典型例题】‎ 已知数列{an}的前n项和为sn满足:.‎ ‎(I)已知数列{cn}满足cn=an+2,求证数列{cn}为等比数列;‎ ‎(II)若数列{bn}满足,Tn为数列的前n项和,证:.‎ ‎【解答】解:(I)∵Sn=2an﹣2n,‎ 当n∈N*时,Sn=2an﹣2n,①‎ 当n=1时,S1=‎2a1﹣2,则a1=2,‎ 则当n≥2,n∈N*时,Sn﹣1=2an﹣1﹣2(n﹣1).②‎ ‎①﹣②,得an=2an﹣2an﹣1﹣2,‎ 即an=2an﹣1+2,‎ ‎∴an+2=2(an﹣1+2)‎ ‎∵cn=an+2即cn=2cn﹣1,‎ ‎∴2,‎ ‎∴{cn}是以a1+2=4为首项,以2为公比的等比数列.‎ ‎(II)由(Ⅰ)得出an+2=4•2n﹣1=2n+1‎ ‎∴n+1,‎ ‎∴‎ Tn Tn 两式相减Tn ‎ ‎ ‎ ‎ Tn,Tn+1﹣Tn0,‎ ‎∴Tn的最小值为T1‎ ‎∴. ‎ ‎【再练一题】‎ 在数列{an}中,已知an+1an=2an﹣an+1.且a1=2(n∈N*).‎ ‎(1)求证:数列{1}是等比数列;‎ ‎(2)设bn=an2﹣an,且Sn为{bn}的前n项和,试证:2≤Sn<3.‎ ‎【解答】证明:(1)由an+1an=2an﹣an+1,得,‎ 即,∴,‎ ‎∵a1=2,∴0.‎ ‎∴,‎ 即数列{1}是等比数列;‎ ‎(2)∵{1}是等比数列,且首项为,公比为,‎ ‎∴,则.‎ ‎∴bn=an2﹣an.‎ ‎∵b1=2,,‎ ‎∴Sn=b1+b2+…+bn≥2;‎ 又(n≥2),‎ ‎∴Sn=b1+b2+…+bn.‎ ‎∴2≤Sn<3. ‎ 思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.‎ ‎(2)利用递推关系时要注意对n=1时的情况进行验证.‎ ‎【题型三】等比数列性质的应用 ‎【典型例题】‎ 设{an}为等比数列,给出四个数列:①{2an};②{an2};③;④{log2|an|},其中一定为等比数列的是(  )‎ A.①② B.①③ C.②③ D.②④‎ ‎【解答】解:{an}为等比数列,设其公比为q,则通项为,‎ 所以对于①,2an是以‎2a1为首项,以q为公比的等比数列,‎ 对于②,为常数,又因为0,故②为等比数列,‎ 对于③,,不一定为常数,‎ 对于④,,不一定为常数,‎ 故选:A. ‎ ‎【再练一题】‎ 已知数列{an}为等比数列,且a‎8a9a10=﹣a132=﹣1000,则a‎10a12=   .‎ ‎【解答】解:根据题意,等比数列{an}满足a‎8a9a10=﹣a132=﹣1000,‎ 则有(a9)3=﹣1000,则a9=﹣10,‎ a132=1000,则a13=±10,‎ 又由a13=a9q4<0,则a13=﹣10,‎ 则a‎10a12=a‎9a13=100;‎ 故答案为:100.‎ 思维升华 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类:‎ ‎(1)通项公式的变形.‎ ‎(2)等比中项的变形.‎ ‎(3)前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.‎ 基础知识训练 ‎1.【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟考试】在等比数列中,,,则( )‎ A.3 B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设等比数列的公比为,因为,所以,‎ 又,所以.‎ 故选A ‎2.【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试】已知正项等比数列的前项和为,且,则公比的值为(  )‎ A. B.或 C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为,所以,‎ 故,因为正项等比数列,故,所以,故选C.‎ ‎3.【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷】已知等比数列的公比,该数列前9项的乘积为1,则( )‎ A.8 B.‎16 ‎C.32 D.64‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由已知 ,又 ,所以 ,即,所以 , ,故选B.‎ ‎4.【内蒙古2019届高三高考一模试卷】《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如:甲、乙、丙、丁“哀”得,,,个单位,递减的比例为,今共有粮石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得石,乙、丁衰分所得的和为石,则“衰分比”与的值分别为( )‎ A.  B.  C.  D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解:设“衰分比”为,甲衰分得石,‎ 由题意得,‎ 解得,,.‎ 故选:A.‎ ‎5.【江西省抚州市临川第一中学2019届高三下学期考前模拟考试】中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛,”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半,”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半,“打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?该问题中,1斗为‎10升,则马主人应偿还( )升粟?‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为斗=升,设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为,‎ 由题意可知其构成了公比为2的等比数列,且 则,解得,‎ 所以马主人要偿还的量为:,‎ 故选D.‎ ‎6.【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】在等比数列中,,,则( )‎ A. B. C.2 D.4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为=q4,‎ 所以q8+q4=20,‎ 所以q4=4或q4=﹣5(舍),‎ 所以q2=2,‎ ‎=1,‎ 所以.‎ 故选:B.‎ ‎7.【广东省韶关市2019届高考模拟测试(4月)】若等比数列的各项均为正数,,,则( )‎ A. B. C.12 D.24‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解:数列是等比数列,各项均为正数,,‎ 所以,‎ 所以.‎ 所以,‎ 故选:D.‎ ‎8.【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试(三模)】已知等比数列中,,前三项之和,则公比的值为( )‎ A.1 B. C.1或 D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 等比数列中,,前三项之和,‎ 若,,,符合题意;‎ 若,则,‎ 解得,即公比的值为1或,故选C.‎ ‎9.【黑龙江省大庆第一中学2019届高三第三次模拟考试】在各项不为零的等差数列中,,数列是等比数列,且,则 的值为( )‎ A.1 B.‎2 ‎C.4 D.8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为等差数列中,所以,‎ 因为各项不为零,所以,‎ 因为数列是等比数列,所以 所以,故选C.‎ ‎10.【湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2019届高三高考模拟(二)】已知数列是等比数列,数列是等差数列,若,,则的值是( )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 是等比数列 ‎ 是等差数列 ‎ 本题正确选项:‎ ‎11.【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2019届高三4月联考】已知函数,若等比数列满足,则( )‎ A.2019 B. C.2 D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 为等比数列,则 即 ‎12.如图,方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形.每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上,且分边长为.现用米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网,若最外边的正方形边长为米,由外到内顺序制作,则完整的正方形的个数最多为(参考数据:)‎ A.个 B.个 C.个 D.个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 记由外到内的第个正方形的边长为,则.‎ ‎.‎ 令,解得 ‎,故可制作完整的正方形的个数最多为个. 应选B.‎ ‎13.【江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷】已知等比数列满足,且,则=_______.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎∵‎ ‎∴,则=2‎ ‎∴.‎ 故答案为:8‎ ‎14.【江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测】已知数列的前项积为,若对,,都有成立,且,,则数列的前10项和为____.‎ ‎【答案】1023‎ ‎【解析】‎ 因为,故即(),而,‎ 所以为等比数列,故,‎ 所以,填.‎ ‎15.【苏省南通市2019届高三模拟练习卷(四模)】已知正项等比数列的前项和为.若,则取得最小值时,的值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由,得:q≠1,所以,‎ 化简得:,即,即,得,‎ 化简得==,‎ 当,即时,取得最小值,‎ 所以=‎ 故答案为:‎ ‎16.【山东省聊城市2019届高三三模】已知正项等比数列满足,若存在两项,,使得,则的最小值为__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 正项等比数列满足,‎ ‎,‎ 整理,得,又,解得,,‎ 存在两项,使得,‎ ‎,‎ 整理,得,‎ ‎,‎ 则的最小值为2.‎ 当且仅当取等号,又,.,‎ 所以只有当,时,取得最小值是2.‎ 故答案为:2‎ ‎17.【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试(6月)】等差数列中,且,,成等比数列,数列前20项的和____‎ ‎【答案】200或330‎ ‎【解析】‎ 设数列的公差为,则,‎ ‎,‎ 由成等比数列,得,‎ 即,‎ 整理得,解得或,‎ 当时,;‎ 当时,,‎ 于是,‎ 故答案为200或330.‎ ‎18.【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】已知数列满足,则数列的前项和为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由,得,‎ 所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,‎ 于是,‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以的前项和 ‎.‎ ‎19.【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校际联合考试】已知等差数列的前项和为,且满足关于的不等式的解集为.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若数列满足,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎(1)依题意可得:设等差数列的首项,公差为,‎ 因为关于的不等式的解集为,‎ 则由得;‎ 又,∴,,‎ ‎∴.‎ ‎(2)由题意可得,,‎ 所以,‎ ‎∴.‎ ‎20.【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一】已知数列满足,‎ ‎,.‎ ‎(1)证明:数列为等比数列;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)见证明;(2)‎ ‎【解析】‎ 证明:(1)∵,∴.‎ 又∵,∴.‎ 又∵,‎ ‎∴数列是首项为2,公比为4的等比数列.‎ 解:(2)由(1)求解知,,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎21.【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】已知数列满足,,数列满足.‎ ‎(Ⅰ)求证数列是等比数列;‎ ‎(Ⅱ)求数列的前项和.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ 解:(Ⅰ)当时,,故.‎ 当时,,‎ 则 ,‎ ‎,‎ 数列是首项为,公比为的等比数列.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得, ,‎ ‎ ,‎ ‎.‎ ‎22.【2019年塘沽一中、育华中学高三毕业班第三次模拟考试】已知等比数列的前项和为,且,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,求数列及数列的前项和.‎ ‎(3)设,求的前项和.‎ ‎【答案】(1);(2);(3)‎ ‎【解析】‎ 解:(1)由题意得:,可得,,‎ 由,可得,由,可得,可得,‎ 可得;‎ ‎(2)由,可得,‎ 由,可得,可得,‎ 可得的通项公式:=,‎ 可得:‎ ‎① -②得:=,‎ 可得;‎ ‎(3)由 可得 ‎,‎ 可得:=‎ ‎==‎ 能力提升训练 ‎1.【江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学2019届高三4月联考】已知数列是等比数列,若,且公比,则实数的取值范围是()‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,故选C.‎ ‎2.【安徽省宣城市2019届高三第二次调研测试】已知正项等比数列满足 ,若存在两项,,使得,则的最小值为( )‎ A. B. C.3 D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解:设等比数列的公比为q(q>0),‎ ‎∵a9=a8+‎2a7,‎ ‎∴a7q2=a7q+‎2a7,‎ ‎∴q2﹣q﹣2=0,‎ ‎∴q=2或q=-1(舍),‎ ‎∵存在两项am,an使得,‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ ‎ 故选C.‎ ‎3.【宁夏银川市2019届高三下学期质量检测】已知等比数列的公比为,,,且,则其前4项的和为(  )‎ A.5 B.‎10 ‎C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 等比数列的公比为,,‎ ‎,解得(舍去)或 ‎ ‎ 本题正确选项:‎ ‎4.【湖南省2019届高三六校(长沙一中、常德一中等)联考】已知公差的等差数列满足,且,,成等比数列,若正整数,满足,则( )‎ A. B. C. D.或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题知,因为为等差数列,所以,因为,解得,从而,故选C.‎ ‎5.【2019年安徽省马鞍山市高考数学一模】数列为等比数列,若,,数列的前项和为,则  ‎ A. B. C.7 D.31‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 数列为等比数列,,,‎ ‎,解得,‎ ‎,‎ 数列的前项和为,‎ ‎.‎ 故选:.‎ ‎6.【北京市平谷区2019届高三第二学期3月质量监控】‎ 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关……”其大意为:“某人从距离关口三百七十八里处出发,第一天走得轻快有力,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程为前一天的一半,共走了六天到达关口……” 那么该人第一天走的路程为______________‎ ‎【答案】192‎ ‎【解析】‎ 根据题意,记每天走的路程里数为{an},可知{an}是公比为的等比数列,‎ 又由6天走完378里,‎ 则S6378,‎ 解可得:a1=192,‎ 即该人第一天走的路程为192里.‎ 故答案为:192里.‎ ‎7.【湖南省郴州市2019届高三第三次质量检测】已知数列是公比为的等比数列,且,若数列是递增数列,则的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由已知得,则.因为,数列是单调递增数列,所以,则,化简得,所以.‎ ‎8.【黑龙江省大庆市2019届高三第三次教学质量检测】设等比数列的前项和为.若,则__________.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ 设等比数列的公比为.‎ ‎①当时,不成立.‎ ‎②当时,由得,‎ 整理得,即,解得.‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ ‎9.【重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测】在正项递增等比数列中,,记,,则使得成立的最大正整数为__________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ 由题得,‎ 因为数列是正项递增等比数,所以,‎ 所以.‎ 因为,所以,‎ 所以.‎ 所以使得成立的最大正整数为9.‎ 故答案为:9‎ ‎10.【四川省2018-2019年度下期(4月)高三“联测促改”活动】已知等比数列中,‎ ‎,,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设数列的公比为,则,所以, ,所以数列是首项为,公比的等比数列,所以 .‎
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