2017-2018学年江西省吉安三中高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年江西省吉安三中高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年江西省吉安三中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）关于下列几何体，说法正确的是（　　）‎ A．图①是圆柱 B．图②和图③是圆锥 C．图④和图⑤是圆台 D．图⑤是圆台 ‎2．（5分）垂直于同一条直线的两条直线一定（　　）‎ A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 ‎3．（5分）如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（　　）‎ A．21+ B．18+ C．21 D．18‎ ‎5．（5分）已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等，则正确的结论是（　　）‎ A．平面ABC必不垂直于α B．平面ABC必平行于α C．平面ABC必与α相交 D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内 ‎6．（5分）在球面上有四点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，则这个球的表面积是（　　）‎ A．3πa2 B．4πa2 C．5πa2 D．6πa2‎ ‎7．（5分）已知集合，集合B={（x，y）|y=3x+7}，则A∩B=（　　）‎ A．{（﹣2，1）} B．{﹣2，1} C．（﹣2，1） D．R ‎8．（5分）已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）若点（5，b）在两条平行直线6x﹣8y+1=0与3x﹣4y+5=0之间，则整数b的值为（　　）‎ A．5 B．﹣5 C．4 D．﹣4‎ ‎10．（5分）若点P（a，b）在圆C：x2+y2=1的外部，则直线ax+by+1=0与圆C的位置关系是（　　）‎ A．相切 B．相离 C．相交 D．相交或相切 ‎11．（5分）将直线2x﹣y+λ=0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x﹣4y=0相切，则实数λ的值为（　　）‎ A．﹣3或7 B．﹣2或8 C．0或10 D．1或11‎ ‎12．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上.‎ ‎13．（5分）点A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则△ABC的边AB上的中线长等于　 　．‎ ‎14．（5分）正三棱锥的侧棱与底面边长相等，则侧面与底面所成的二面角的余弦值是　 　．‎ ‎15．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为　 　．‎ ‎16．（5分）点M（x，y）在函数的图象上，则的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的说明、过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6cm，高为3cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4cm，高为2cm，现从中间挖去一个直径为2cm的圆柱，求此几何体的体积．‎ ‎18．（12分）已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0．试确定m，n的值，使 ‎（1）l1∥l2；‎ ‎（2）l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为﹣1．‎ ‎19．（12分）已知圆C与y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且经过点A（6，1），求圆C的方程．‎ ‎20．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．‎ 求证：（1）EF∥平面ABC；‎ ‎（2）AD⊥AC．‎ ‎21．（12分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，，E，F分别是BC，AA1的中点．‎ 求（1）异面直线EF和A1B所成的角．‎ ‎（2）三棱锥A﹣EFC的体积．‎ ‎22．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．‎ ‎（1）若圆C的切线与坐标轴围成等腰三角形，求切线方程；‎ ‎（2）从圆C外一点P（x，y）向圆C引切线PM，M为切点，有|PM|=|PO|，（O为坐标原点），求|PM|的最小值．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年江西省吉安三中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）关于下列几何体，说法正确的是（　　）‎ A．图①是圆柱 B．图②和图③是圆锥 C．图④和图⑤是圆台 D．图⑤是圆台 ‎【分析】利用圆柱、圆锥、圆台的定义直接求解．‎ ‎【解答】解：∵图①的上下底面既不平行又不全等，∴图①不是圆柱，故A错误；‎ ‎∵图②的母线长不相等，故图②不是圆锥，故B错误；‎ ‎∵图④的上下底面不平行，∴图④不是圆台，故C错误；‎ ‎∵图⑤的上下底面平行，且母线延长后交于一点，∴图⑤是圆台，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意圆柱、圆锥、圆台的定义的合理运用．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）垂直于同一条直线的两条直线一定（　　）‎ A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 ‎【分析】根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断．‎ ‎【解答】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；‎ ‎②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．‎ 故选D ‎【点评】本题主要考查在空间内两条直线的位置关系．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由斜二测画法的规则可知：平行与x′轴的线在原图中平行于x轴，且长度不变即可选出答案．‎ ‎【解答】解：设直观图中与x′轴和y′轴的交点分别为A′和B′，‎ 根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的A和B点，‎ 再由平行与x′轴的线在原图中平行于x轴，且长度不变，‎ 作出原图可知选C 故选C ‎【点评】本题考查平面图形的直观图与原图的关系，属基础知识的考查．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（　　）‎ A．21+ B．18+ C．21 D．18‎ ‎【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积．‎ ‎【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，‎ 几何体的表面积为：S正方体﹣2S棱锥侧+2S棱锥底==21+．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等，则正确的结论是（　　）‎ A．平面ABC必不垂直于α B．平面ABC必平行于α C．平面ABC必与α相交 D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内 ‎【分析】讨论三个点的位置，可能在平面α的同侧，也可能在α的两侧，由此得出正确的结论．‎ ‎【解答】解：平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，‎ 则可能三点在α的同侧，即平面ABC∥α，‎ 这时三条中位线都平行于平面α；‎ 也可能一个点A在平面α一侧，‎ 另两点B、C在平面α另一侧，‎ 此时存在一条中位线DE∥BC，DE在α内，‎ 所以平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等时，‎ 存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了空间直线与平面的位置关系应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）在球面上有四点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，则这个球的表面积是（　　）‎ A．3πa2 B．4πa2 C．5πa2 D．6πa2‎ ‎【分析】PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，求出对角线长，即可求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，‎ 则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，‎ 所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，长为a，所以这个球面的面积S=4π=3πa2．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了球的内接体知识，球的表面积的求法，确定三棱锥与扩展的正方体的外接球是同一个，以及正方体的体对角线就是球的直径是解好本题的前提．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知集合，集合B={（x，y）|y=3x+7}，则A∩B=（　　）‎ A．{（﹣2，1）} B．{﹣2，1} C．（﹣2，1） D．R ‎【分析】A∩B={（x，y）|}，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵集合，‎ 集合B={（x，y）|y=3x+7}，‎ ‎∴A∩B={（x，y）|}={（﹣2，1）}．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查交集的求法，考查二元一次方程组、交集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据题意，设直线l的倾斜角为θ，由直线的斜率与倾斜角的关系可得tanθ≤，结合直线倾斜角的范围，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，设直线l的倾斜角为θ，‎ 又由直线l的斜率，即tanθ≤，‎ 又由0≤θ＜π，‎ 则0≤θ≤，＜θ＜π，‎ 即θ的取值范围是[0，]∪（，π）；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查直线的倾斜角，注意直线倾斜角的取值范围．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）若点（5，b）在两条平行直线6x﹣8y+1=0与3x﹣4y+5=0之间，则整数b的值为（　　）‎ A．5 B．﹣5 C．4 D．﹣4‎ ‎【分析】先用待定系数法求出过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程，再利用直线在y轴上的截距大于且小于，‎ 求出整数b的值．‎ ‎【解答】解：设过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程为3x﹣4y+c=0，把点（5，b）代入直线的方程解得 c=4b﹣15，∴过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程为3x﹣4y+4b﹣15=0，由题意知，‎ ‎ 直线在y轴上的截距满足：＜＜，∴＜b＜5，又b是整数，∴b=4．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查用待定系数法求平行直线的方程，以及直线在y轴上的截距满足的大小关系．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）若点P（a，b）在圆C：x2+y2=1的外部，则直线ax+by+1=0与圆C的位置关系是（　　）‎ A．相切 B．相离 C．相交 D．相交或相切 ‎【分析】由P在圆C外部，将得到P与圆心间的距离大于半径1，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线ax+by+1=0的距离d，判断出d与r的大小关系，即可得出直线与圆的位置关系．‎ ‎【解答】解：∵点P（a，b）在圆C：x2+y2=1的外部，‎ ‎∴a2+b2＞1，‎ ‎∵圆心C坐标为（0，0），半径r=1，‎ ‎∴圆心到直线ax+by+1=0的距离d=＜1=r，‎ 则直线ax+by+1=0与圆C的位置关系为相交．‎ 故选C ‎【点评】‎ 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点与圆的位置关系，两点间的距离公式，以及点到直线的距离公式，其中当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）将直线2x﹣y+λ=0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x﹣4y=0相切，则实数λ的值为（　　）‎ A．﹣3或7 B．﹣2或8 C．0或10 D．1或11‎ ‎【分析】根据直线平移的规律，由直线2x﹣y+λ=0沿x轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值．‎ ‎【解答】解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y﹣2）2=5，圆心坐标为（﹣1，2），半径为，‎ 直线2x﹣y+λ=0沿x轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ=0，‎ 因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d==r=，‎ 化简得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5，‎ 解得λ=﹣3或7‎ 故选A ‎【点评】此题考查学生掌握平移的规律及直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，‎ ‎∵圆心C到O（0，0）的距离为5，‎ ‎∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．‎ 再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，‎ 可得PO=AB=m，故有m≤6，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上.‎ ‎13．（5分）点A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则△ABC的边AB上的中线长等于　　．‎ ‎【分析】利用中点坐标公式求出AB的中点坐标，再利用两点间距离公式能求出△ABC的边AB上的中线长．‎ ‎【解答】解：∵点A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），‎ ‎∴AB的中点坐标为（2，，3），‎ ‎∴△ABC的边AB上的中线长为：‎ ‎|CD|==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查三角形的中线长的求法，考查两点间距离公式、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）正三棱锥的侧棱与底面边长相等，则侧面与底面所成的二面角的余弦值是　　．‎ ‎【分析】正三棱锥P﹣ABC中，侧棱与底面边长相等，取BC中点D，连结PD、AD，推导出PD⊥BC，AD⊥BC，从而∠ADP就是侧面PBC与底面ABC所成的角，由此能求出侧面与底面所成的余弦值．‎ ‎【解答】解：如图，正三棱锥P﹣ABC中，侧棱与底面边长相等，‎ 取BC中点D，连结PD、AD，‎ ‎∵PB=PC，∴PD⊥BC，同理AD⊥BC，‎ ‎∴∠ADP就是侧面PBC与底面ABC所成的角，设棱长为2，‎ ‎∴△ABC和△PBC是正三角形，‎ ‎∴AD=PD=，‎ 由余弦定理得cos∠ADP==，‎ ‎∴侧面与底面所成的余弦值是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为　8　．‎ ‎【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=3x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=2时，z=3x+y取得最小值为8．‎ ‎【解答】解：作出约束条件表示的平面区域，‎ 得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，2），B（，），C（3，2）‎ 设z=F（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，‎ 当l经过点A（2，2）时，目标函数z达到最小值 ‎∴z最小值=F（2，2）=8．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=3x+y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）点M（x，y）在函数的图象上，则的取值范围是　　．‎ ‎【分析】根据题意，分析可得函数的图象为圆心在原点，半径为1的圆的上半部分，而的几何意义是圆上任意一点与点（﹣3，﹣1）连线的斜率，结合直线与圆的位置关系，分析可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，函数，即x2+y2=1，‎ 且y≥0，‎ 为圆心在原点，半径为1的圆的上半部分，‎ 而的几何意义是圆上任意一点与点（﹣3，﹣1）连线的斜率，‎ 设M（﹣3，﹣1），A（1，0），两点间连线的斜率为k，即k=，‎ 结合图形，分析可得：‎ 当直线过点（﹣3，﹣1）与（1，0）时，k取得最小值，‎ 此时k==，则有≥；‎ 当连线与半圆相切时，取得最大值，‎ 此时直线的方程为y+3=k（x+1），即kx﹣y+k﹣3=0，‎ 有d==1，‎ 又由k＞0‎ 解可得k=，‎ 则有≤≤，‎ 即的取值范围是，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意函数的图象为半圆．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的说明、过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6cm，高为3cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4cm，高为2cm，现从中间挖去一个直径为2cm的圆柱，求此几何体的体积．‎ ‎【分析】判断几何体的形状，然后求解几何体的体积即可．‎ ‎【解答】解：V六棱柱=×42×6×2=48（cm3），…（2分）‎ V圆柱=π•32×3=27π（cm3），…（4分）‎ V挖去圆柱=π•12×（3+2）=5π（cm3），…（6分）‎ ‎∴此几何体的体积：‎ V=V六棱柱+V圆柱﹣V挖去圆柱=（48+22π）（cm3）． …（10分）‎ ‎【点评】本题考查几何体的体积的求法，空间几何体的形状的判断是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0．试确定m，n的值，使 ‎（1）l1∥l2；‎ ‎（2）l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为﹣1．‎ ‎【分析】（1）当m=0时，显然l1与l2不平行． 当m≠0时，由=≠求得m，n的值．‎ ‎（2）当且仅当m•2+8•m=0，即m=0时，l1⊥l2． 再由﹣=﹣1，求得n的值．‎ ‎【解答】解：（1）当m=0时，显然l1与l2不平行． ‎ ‎ 当m≠0时，由=≠ 得 m•m﹣8×2=0，得m=±4，‎ ‎8×（﹣1）﹣n•m≠0，得n≠±2，故当m=4，n≠﹣2时，或m=﹣4，n≠2时，l1∥l2．‎ ‎（2）当且仅当m•2+8•m=0，即m=0时，l1⊥l2． 又﹣=﹣1，∴n=8．‎ 即m=0，n=8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为﹣1．‎ ‎【点评】本题考查两直线平行的条件，两直线垂直的条件，等价转化是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知圆C与y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且经过点A（6，1），求圆C的方程．‎ ‎【分析】由题意可设圆心坐标为（3a，a），又圆C与y轴相切，可得半径r=3|a|，圆的标准方程设为（x﹣3a）2+（y﹣a）2=9a2，又圆过点A（6，1），代入解方程即可得到所求圆的方程．‎ ‎【解答】解：∵圆心在直线x﹣3y=0上，∴设圆心坐标为（3a，a），‎ 又圆C与y轴相切，∴半径r=3|a|，‎ 圆的标准方程为（x﹣3a）2+（y﹣a）2=9a2，又圆过点A（6，1），‎ ‎∴（6﹣3a）2+（1﹣a）2=9a2，‎ 即a2﹣38a+37=0，∴a=1或a=37，‎ ‎∴所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9，‎ 或（x﹣111）2+（y﹣37）2=12 321．‎ ‎【点评】本题考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．‎ 求证：（1）EF∥平面ABC；‎ ‎（2）AD⊥AC．‎ ‎【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；‎ ‎（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．‎ ‎【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，‎ 所以AB∥EF，‎ 又因为EF⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，‎ 所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；‎ ‎（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，‎ 因为BC⊥BD，FG∥BC，‎ 所以FG⊥BD，‎ 又因为平面ABD⊥平面BCD，‎ 所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，‎ 又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，‎ 所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，‎ 故AD⊥AC．‎ ‎【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，，E，F分别是BC，AA1的中点．‎ 求（1）异面直线EF和A1B所成的角．‎ ‎（2）三棱锥A﹣EFC的体积．‎ ‎【分析】（1）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点F，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；‎ ‎（2）根据三棱锥的体积公式直接求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）取AB的中点D，连DE、DF，则DF∥A1B，‎ ‎∴∠DFE（或其补角）即为所求．‎ 由题意易知，，DE=1，‎ 由DE⊥AB、DE⊥AA1得DE⊥平面ABB1A1‎ ‎∴DE⊥DF，即△EDF为直角三角形，‎ ‎∴，∴∠DFE=30°‎ 即异面直线EF和A1B所成的角为30°．‎ ‎（2）VA﹣EFC=VF﹣AEC﹣=．‎ ‎【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，以及体积的计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．‎ ‎（1）若圆C的切线与坐标轴围成等腰三角形，求切线方程；‎ ‎（2）从圆C外一点P（x，y）向圆C引切线PM，M为切点，有|PM|=|PO|，（O为坐标原点），求|PM|的最小值．‎ ‎【分析】（1）圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0的圆心为C（﹣1，2），半径r=，设切线方程为x+y﹣a=0，由圆心C到切线的距离等于半径，能求出切线的方程．‎ ‎（2）设P的坐标为（x，y），由|PC|2=|PM|2+|CM|2=|PM|2+r2，得到|PM|2=|PC|2﹣r2．从而|PC|2﹣r2=|PO|2，进而2x1﹣4y1+3=0即为动点P的轨迹方程．由原点在直线2x﹣4y+3=0上的射影点为（﹣，），求出使|PM|最小的P点的坐标为（﹣，）．由此能求出|PM|的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0即（x+1）2+（y﹣2）2=2，‎ 表示圆心为C（﹣1，2），半径等于的圆．‎ ‎∵圆C的切线与坐标轴围成等腰三角形，设斜率为﹣1的切线方程为x+y﹣a=0，‎ 则圆心C到切线的距离等于半径，‎ 可得=，解得a=﹣1或a=3．‎ 故所求的切线的方程为x+y﹣3=0或x+y+1=0．‎ ‎（2）设P的坐标为（x，y）‎ 由于|PC|2=|PM|2+|CM|2=|PM|2+r2，‎ ‎∴|PM|2=|PC|2﹣r2．‎ 又∵|PM|=|PO|，∴|PC|2﹣r2=|PO|2，‎ ‎∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．‎ ‎∴2x1﹣4y1+3=0即为动点P的轨迹方程．‎ ‎∵原点在直线2x﹣4y+3=0上的射影点为（﹣，），‎ ‎∴使|PM|最小的P点的坐标为（﹣，）．‎ ‎∴|PM|的最小值|PM|min=|PO|min==．‎ ‎【点评】本题考查切线方程的求法，考查线段长的最小值的求法，考查圆、直线方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎