【解析】2019届广东省华南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学(理)试题 Word版含解析

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【解析】2019届广东省华南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学(理)试题 Word版含解析

‎2019届广东省华南师范大学附属中学 高三上学期第二次月考数学(理)试题 数学 注意事项:‎ ‎1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、单选题 ‎1.已知集合A=xx‎2‎‎-2x>0‎,B=‎x‎-20‎在一个周期内的图像如图所示,其中P,Q分别是这段图像的最高点和最低点,M,N是图像与x轴的交点,且‎∠PMQ=‎‎90‎‎0‎,则A的值为 A. ‎2‎ B. ‎1‎ C. ‎3‎ D. ‎‎2‎ ‎9.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,‎∠BAD=‎‎120‎‎∘‎,AB=AD=1‎. 若点E为边CD上的动点,则AE‎·‎BE的最小值为 ‎ A. ‎25‎‎16‎ B. ‎3‎‎2‎ C. ‎21‎‎16‎ D. ‎‎3‎ ‎10.设‎{an}‎是各项为正数的等比数列,q是其公比,Kn是其前n项的积,且K‎5‎‎<‎K‎6‎,K‎6‎‎=K‎7‎>‎K‎8‎,则下列结论错误的是 A. ‎0‎K‎5‎ D. K‎6‎与K‎7‎均为Kn的最大值 ‎11.正ΔABC边长为2,点P是ΔABC所在平面内一点,且满足BP=‎‎3‎‎2‎,若AP‎=λAB+μAC,则λ+μ的最小值是 A. ‎1‎‎2‎ B. ‎5‎‎2‎ C. ‎2‎ D. ‎‎2‎‎3‎‎3‎ ‎12.设函数f'(x)‎是奇函数f(x)(x∈R)‎的导函数,当x>0‎时,lnx⋅f'(x)<-‎1‎xf(x)‎,则使得‎(x‎2‎-4)f(x)>0‎成立的x的取值范围是 A. ‎(-2,0)∪(0,2)‎ B. ‎(-∞,-2)∪(2,+∞)‎ ‎ C. ‎(-2,0)∪(2,+∞)‎ D. ‎‎(-∞,-2)∪(0,2)‎ 二、填空题 ‎13.已知向量a‎=(1,2),b=(m,-1)‎,若a‎//(a+b)‎,则a‎⋅b=‎__________.‎ ‎14.已知, ,则__________.‎ ‎15.由曲线y=‎‎1‎x,y‎2‎‎=x与直线x=2‎,y=0‎所围成图形的面积为________.‎ ‎16.在ΔABC中,D为BC的中点,AC=2‎3‎,AD=‎7‎,CD=1‎,点P与点B在直线AC的异侧,且PB=BC,则平面四边形ADCP的面积的最大值为_______.‎ 三、解答题 ‎17.已知等差数列an的前nn∈‎N‎*‎项和为Sn,数列bn是等比数列,a‎1‎‎=3‎,b‎1‎‎=1‎,b‎2‎‎+S‎2‎=10‎,a‎5‎‎-2b‎2‎=‎a‎3‎.‎ ‎(1)求数列an和bn的通项公式;‎ ‎(2)若cn‎=‎‎2‎Sn,设数列cn的前n项和为Tn,求Tn.‎ ‎18.某百货商店今年春节期间举行促销活动,规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动,随着抽奖活动的有效开展,参与抽奖活动的人数越来越多,该商店经理对春节前‎7‎天参加抽奖活动的人数进行统计,y表示第x天参加抽奖活动的人数,得到统计表格如下:‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ y ‎5‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎17‎ ‎(1)经过进一步统计分析,发现y与x具有线性相关关系.请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y‎=bx+‎a;‎ ‎(2)该商店规定:若抽中“一等奖”,可领取600元购物券;抽中“二等奖”可领取300元购物券;抽中“谢谢惠顾”,则没有购物券.已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为‎1‎‎6‎,获得“二等奖”的概率为‎1‎‎3‎.现有张、王两位先生参与了本次活动,且他们是否中奖相互独立,求此二人所获购物券总金额X的分布列及数学期望.‎ 参考公式:b‎=‎i=1‎nxiyi‎-nxyi=1‎nxi‎2‎‎-nx‎2‎,a‎=y-‎bx,i=1‎‎7‎xiyi‎=364‎,i=1‎‎7‎xi‎2‎‎=140‎.‎ ‎19.如图,在梯形ABCD中,AB//CD,AD=DC=CB=2‎,‎∠ABC=60°‎,平面ACEF⊥‎平面ABCD,四边形ACEF是菱形,‎∠CAF=60°‎.‎ ‎(1)求证:BF⊥AE;‎ ‎(2)求二面角B-EF-D的平面角的正切值.‎ ‎20.已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎的离心率为‎1‎‎2‎,且点P‎1,‎‎3‎‎2‎在椭圆E上.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)过点M‎1,1‎任作一条直线l,l与椭圆E交于不同于P点的A,B两点,l与直线m:3x+4y-12=0‎交于C点,记直线PA、PB、PC的斜率分别为k‎1‎、k‎2‎、k‎3‎.试探究k‎1‎‎+‎k‎2‎与k‎3‎的关系,并证明你的结论.‎ ‎21.已知函数fx=lnx+ax-x+1-aa∈R.‎ ‎(1)求函数fx的单调区间;‎ ‎(2)若存在x>1‎,使fx+x<‎‎1-xx成立,求整数a的最小值.‎ ‎22.以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为‎2ρsinθ+‎π‎6‎-3=0‎,曲线C的参数方程是x=2cosφy=2sinφ(φ为参数).‎ ‎(1)求直线l和曲线C的普通方程;‎ ‎(2)直线l与x轴交于点P,与曲线C交于A,B两点,求PA‎+‎PB.‎ ‎23.已知函数fx=x+m+‎‎2x-1‎.‎ ‎(1)当m=-1‎时,求不等式fx≤2‎的解集;‎ ‎(2)若fx≤‎‎2x+1‎在x∈‎‎1,2‎上恒成立,求m的取值范围.‎ ‎2019届广东省华南师范大学附属中学 高三上学期第二次月考数学(理)试题 数学 答 案 参考答案 ‎1.B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得集合A,然后逐一考查所给选项是否正确即可.‎ ‎【详解】‎ 求解一元二次不等式x‎2‎‎-2x>0‎可得A=‎x|x>2或x<0‎,‎ 据此可知A∩B=x|-20‎,所以排除D,故答案为:B.‎ 点睛:(1)本题主要考查函数的图像和性质,考查函数的奇偶性,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似这种根据解析式找函数的图像,一般先找差异,再验证.‎ ‎6.A ‎【解析】‎ 由题意,数列an为等差数列,结合等差数列通项公式的性质得,a‎3‎‎+a‎5‎+a‎7‎=3a‎5‎=12‎,则a‎5‎‎=4‎,所以a‎1‎‎+a‎9‎=2a‎5‎=8‎.故选A.‎ ‎7.B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可以先通过题意计算出sinα-β以及cosα+β的值,‎ 再通过sin2α=sinα-β+α+β解得sin2α的值。‎ ‎【详解】‎ 因为π‎2‎‎<β<α<‎3‎‎4‎π,cosα-β=‎‎12‎‎13‎,‎sinα+β=-‎3‎‎5‎,‎ 所以sinα-β=‎5‎‎13‎,cosα+β=-‎4‎‎5‎,‎ sinα-β+α+β=sinα-βcosα+β+cosα-βsinα+β ‎ ‎‎=‎5‎‎13‎×‎-‎‎4‎‎5‎+‎12‎‎13‎×‎-‎‎3‎‎5‎=-‎56‎‎65‎,‎ 故选B。‎ ‎【点睛】‎ 在计算三角函数的时候,对于公式的灵活运用十分重要,比如说sin2α即可化简成sinα-β+α+β的值。‎ ‎8.C ‎【解析】分析:首先根据题中所给的函数解析式,求出函数的周期,利用三角函数的图像和性质即可得到相应的结论.‎ 详解:过Q,P分别作x轴的垂线,垂足为B,C,‎ 因为函数的周期为T=‎2ππ‎2‎=4‎,所以MN=2,CN=1‎,‎ 因为‎∠PMQ=90°‎,所以PQ=2MN=4‎,即PN=2‎,‎ 则PC=PN‎2‎-NC‎2‎=‎4-1‎=‎‎3‎,即A=‎‎3‎,故选C.‎ 点睛:该题考查的是有关三角函数的图像的问题,在解题的过程中,需要关注题的条件,找出对应的线段的长度,利用直角三角形的特征,列出相应的等量关系式,求得结果.‎ ‎9.C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件,选取AB‎,‎AD为基底,设DE‎=λDC,即可表示出AE‎,‎BE,利用向量的数量积公式得到关于λ的函数,求其最值即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意知,RTΔADC≅RTΔABC,所以‎∠DAC=∠BAC=60°,AC=2,DC=‎‎3‎ ‎ 设DE‎=λDC, 因为AE‎=AD+DE,BE=BA+AD+‎DE,‎ 所以AE‎⋅BE=(AD+DE)⋅BE=‎ ‎ ‎(AD+λDC)⋅(BA+AD+DE)=1×1×cos‎60‎‎∘‎+‎1‎‎2‎+λDC⋅BA+λ‎2‎|‎DC‎|‎‎2‎‎ ‎ ‎=‎3‎‎2‎+λ(AC-AD)⋅BA+3‎λ‎2‎ ‎=‎3‎‎2‎+λ(2×1×cos120°-1×1×cos60°)+3λ‎2‎=‎3‎‎2‎-‎3‎‎2‎λ+3‎λ‎2‎‎ ‎ ‎ ‎=‎1‎‎2‎(6λ‎2‎-3λ+3)‎ ‎‎(0≤λ≤1)‎ 所以当λ=‎‎1‎‎4‎时,AE‎⋅‎BE有最小值‎21‎‎16‎,故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的线性运算及向量的数量积运算,属于难题,解题关键是根据平面几何的得出线段的长及两边的夹角.‎ ‎10.C ‎【解析】分析:利用等比数列an‎=‎a‎1‎qn-1‎的通项公式,解出Kn的通项公式,化简整理K‎5‎‎<‎K‎6‎,K‎6‎‎=K‎7‎>‎K‎8‎这三个表达式,得出结论。‎ 详解:设等比数列an‎=‎a‎1‎qn-1‎,Kn是其前n项的积所以Kn‎=‎a‎1‎nqn(n-1)‎‎2‎,由此 K‎5‎‎K‎8‎⇒1>‎a‎1‎q‎7‎ 所以a‎7‎‎=a‎1‎q‎6‎=1‎,所以B正确,‎ 由‎10‎,可得gx在‎0,+∞‎上为减函数,可得在区间‎0,1‎和‎1,+∞‎上,都有fx<0‎,结合函数的奇偶性可得在区间‎-1,0‎和‎-∞,-1‎上,都有fx>0‎,原不等式等价于x‎2‎‎-4>0‎fx>0‎或x‎2‎‎-4<0‎fx<0‎,解可得x的取值范围,即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 根据题意,设gx=lnx⋅fx,‎x>0‎,‎ 其导数g'x=lnx'fx+lnxf'x=‎1‎xfx+lnxf'‎x,‎ 又由当x>0‎时,lnx⋅f'x<-‎1‎xfx,‎ 则有g'x=‎1‎xfx+lnx⋅f'x<0‎,‎ 即函数gx在‎0,+∞‎上为减函数,‎ 又由g‎1‎=ln1⋅f‎1‎=0‎,‎ 则在区间‎0,1‎上,gx=lnx⋅fx>0‎,‎ 又由lnx<0‎,则fx<0‎,‎ 在区间‎1,+∞‎上,gx=lnx⋅fx<0‎,‎ 又由lnx>0‎,则fx<0‎,‎ 则fx在‎0,1‎和‎1,+∞‎上,fx<0‎,‎ 又由fx为奇函数,则在区间‎-1,0‎和‎-∞,-1‎上,都有fx>0‎,‎ x‎2‎‎-1‎fx>0⇔‎x‎2‎‎-4>0‎fx>0‎或x‎2‎‎-4<0‎fx<0‎,‎ 解可得x<-2‎或‎0b>0‎的离心率为‎1‎‎2‎,‎ 所以e=ca=‎1‎‎2‎⇒a=2c, ‎ 因为a‎2‎‎=b‎2‎+‎c‎2‎,所以b=‎3‎c.故可设椭圆E的方程为:x‎2‎‎4‎c‎2‎‎+y‎2‎‎3‎c‎2‎=1‎,‎ 因为点P‎1,‎‎3‎‎2‎在椭圆E上,‎ 所以将其代入椭圆E的方程得‎1‎‎4‎c‎2‎‎+‎9‎‎4‎‎3‎c‎2‎=1⇒c‎2‎=1‎.‎ 所以椭圆E的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎. ‎ ‎(2)依题意,直线l不可能与x轴垂直,故可设直线l的方程为:y-1=kx-1‎, ‎ 即y=kx-k+1‎,Ax‎1‎‎,‎y‎1‎,Bx‎2‎‎,‎y‎2‎为l与椭圆E的两个交点.‎ 将y=kx-k+1‎代入方程‎3x‎2‎+4y‎2‎-12=0‎化简得:‎ ‎4k‎2‎+3‎x‎2‎‎-8k‎2‎‎-kx+4k‎2‎-8k-8=0‎‎.‎ 所以x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎8k‎2‎-8k‎4k‎2‎+3‎,x‎1‎x‎2‎‎=‎‎4k‎2‎-8k-8‎‎4k‎2‎+3‎. ‎ 所以k‎1‎‎+k‎2‎=y‎1‎‎-‎‎3‎‎2‎x‎1‎‎-1‎+y‎2‎‎-‎‎3‎‎2‎x‎2‎‎-1‎=kx‎1‎‎-1‎-‎‎1‎‎2‎x‎1‎‎-1‎+kx‎2‎‎-1‎-‎‎1‎‎2‎x‎2‎‎-1‎=2k-‎‎1‎‎2‎‎1‎x‎1‎‎-1‎‎+‎‎1‎x‎2‎‎-1‎ ‎=2k-‎1‎‎2‎⋅x‎1‎‎+x‎2‎-2‎x‎1‎x‎2‎‎-x‎1‎‎+‎x‎2‎+1‎=2k-‎1‎‎2‎⋅‎8k‎2‎-8k-2‎‎4k‎2‎+3‎‎4k‎2‎-8k-8-‎8k‎2‎-8k+‎‎4k‎2‎+3‎=‎‎6k-3‎‎5‎.‎ 又由y=kx-k+1‎‎3x+4y-12=0‎‎⇒3x+4kx-k+1‎-12=0‎,解得x=‎‎4k+8‎‎4k+3‎,y=‎‎9k+3‎‎4k+3‎,‎ 即C点的坐标为C‎4k+8‎‎4k+3‎‎,‎‎9k+3‎‎4k+3‎,所以k‎3‎‎=‎9k+3‎‎4k+3‎‎-‎‎3‎‎2‎‎4k+8‎‎4k+3‎‎-1‎=‎‎6k-3‎‎10‎.‎ 因此,k‎1‎‎+‎k‎2‎与k‎3‎的关系为:k‎1‎‎+k‎2‎=2‎k‎3‎。‎ ‎【点睛】‎ 本题是圆锥曲线中的椭圆类题目,在解决这类题目时,需要对相关的性质有着足够的了解以及扎实的计算能力,并且能够对x‎1‎‎+‎x‎2‎与x‎1‎x‎2‎进行灵活运用。‎ ‎21.(1)当a≤0‎时,x∈(0,‎1+‎‎1-4a‎2‎)‎,f(x)‎单调递增,当x∈(‎1+‎‎1-4a‎2‎,+∞)‎时, f(x)‎单调递减;当‎0‎xlnx+2x-1‎x-1‎,构造新函数,g(x)=‎xlnx+2x-1‎x-1‎,求导算出零点的范围,从而求出结果 解析:(1)由题意可知,x>0‎,f‎'‎‎(x)=‎1‎x-ax‎2‎-1=‎‎-x‎2‎+x-ax‎2‎,‎ 方程‎-x‎2‎+x-a=0‎对应的Δ=1-4a,‎ 当Δ=1-4a≤0‎,即a≥‎‎1‎‎4‎时,当x∈(0,+∞)‎时,f‎'‎‎(x)≤0‎,‎ ‎∴f(x)‎在‎(0,+∞)‎上单调递减; ‎ 当‎00‎,函数f(x)‎单调递增,‎ 在‎(0,‎1-‎‎1-4a‎2‎),(‎1+‎‎1-4a‎2‎,+∞)‎上f‎'‎‎(x)<0‎,函数f(x)‎单调递减;‎ 当a≤0‎时,‎1-‎‎1-4a‎2‎‎<0‎,‎1+‎‎1-4a‎2‎‎>0‎, ‎ 此时当x∈(0,‎1+‎‎1-4a‎2‎),f‎'‎(x)>0‎,f(x)‎单调递增,‎ 当x∈(‎1+‎‎1-4a‎2‎,+∞)‎时,f‎'‎‎(x)<0‎,f(x)‎单调递减; ‎ 综上:当a≤0‎时,x∈(0,‎1+‎‎1-4a‎2‎)‎,f(x)‎单调递增,当x∈(‎1+‎‎1-4a‎2‎,+∞)‎时, f(x)‎单调递减;‎ 当‎0xlnx+2x-1‎,‎ 即存在x>1‎,使a>‎xlnx+2x-1‎x-1‎成立.‎ 设g(x)=‎xlnx+2x-1‎x-1‎,x>1‎,‎ 则g'(x)=‎x-lnx-2‎‎(x-1)‎‎2‎, ‎ 设h(x)=x-lnx-2‎,‎ 则h‎'‎‎(x)=1-‎1‎x=x-1‎x>0‎,∴h(x)‎在‎(1,+∞)‎上单调递增.‎ 又h(3)=3-ln3-2=1-ln3<0,h(4)=4-ln4-2=2-2ln2>0‎,根据零点存在性定理,可知h(x)‎在‎(1,+∞)‎上有唯一零点,设该零点为x‎0‎, 则x‎0‎‎∈(3,4)‎,且h(x‎0‎)=x‎0‎-lnx‎0‎-2=0‎,即x‎0‎‎-2=lnx‎0‎,‎ ‎∴g‎(x)‎min=x‎0‎lnx‎0‎+2x‎0‎-1‎x‎0‎‎-1‎=x‎0‎+1‎ ‎ 由题意可知a>x‎0‎+1‎,又x‎0‎‎∈(3,4)‎,a∈Z,∴a的最小值为‎5‎.‎ 点睛:本题考查了运用导数求函数的单调性,在求解过程中结合判别式和定义域需要进行分类讨论,在求解含有参量的恒成立问题时,可以采用分离参量的方法,不过需要注意用零点的存在定理进行判断零点范围,然后得出结果。‎ ‎22.(1)x+‎3‎y-3=0‎,x‎2‎‎+y‎2‎=4‎;(2)‎‎3‎‎3‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)根据极直互化的公式得到直线方程,根据参普互化的公式得到曲线C的普通方程;(2)联立直线的参数方程和曲线得到关于t的二次,PA‎+PB=t‎1‎+‎t‎2‎ ‎=t‎1‎‎+‎t‎2‎=3‎‎3‎.‎ 解析:‎ ‎(Ⅰ)‎2ρsin(θ+π‎6‎)-3=0‎,‎ 化为‎3‎ρsinθ+ρcosθ-3=0‎,‎ 即l的普通方程为x+‎3‎y-3=0‎,‎ x=2cosφy=2sinφ消去φ,得C的普通方程为x‎2‎‎+y‎2‎=4‎.‎ ‎(Ⅱ)在x+‎3‎y-3=0‎中令y=0‎得P(3,0)‎,‎ ‎∵k=-‎‎3‎‎3‎,∴倾斜角α=‎‎5π‎6‎,‎ ‎∴l的参数方程可设为x=3+tcos‎5π‎6‎y=0+tsin‎5π‎6‎即x=3-‎3‎‎2‎ty=‎1‎‎2‎t,‎ 代入x‎2‎‎+y‎2‎=4‎得t‎2‎‎-3‎3‎t+5=0‎,Δ=7>0‎,∴方程有两解,‎ t‎1‎‎+t‎2‎=3‎‎3‎‎,t‎1‎t‎2‎‎=5>0‎,∴t‎1‎,t‎2‎同号,‎ PA‎+PB=t‎1‎+‎t‎2‎‎ ‎=t‎1‎‎+‎t‎2‎=3‎‎3‎.‎ ‎23.(1)x‎0≤x≤‎‎4‎‎3‎;(2)‎m∈‎‎-3,0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将m=-1‎带入函数fx中,再通过去绝对值将函数fx转化为分段函数,依次解出fx≤2‎的解集;‎ ‎(2)可通过x∈‎‎1,2‎将函数fx化简为fx=x+m+2x-1‎,‎ 把‎2x+1‎化简为‎2x+1‎,再通过fx≤2x+1‎解出m的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当m=-1‎时,fx=x-1‎+‎‎2x-1‎,‎ ‎①x≥1‎时,fx=3x-2≤2‎,解得‎1≤x≤‎‎4‎‎3‎;‎ ‎②当‎1‎‎2‎‎
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