陕西省西安中学2019-2020学年高二下学期期中考试理科数学试题

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陕西省西安中学2019-2020学年高二下学期期中考试理科数学试题

西安中学2019-2020学年度第二学期期中考试 高二数学(理科)试题 ‎(时间:120分钟 满分:150分) 命题人: ‎ 注意事项:‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,时间120分钟;‎ ‎2.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上;‎ ‎3.以下所有试题的答案均须书写在答题卡的相应位置.‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知,i是虚数单位,则 (  )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.定积分 (  ) ‎ A.1 B. C.2 D.‎ ‎3.已知函数,则 (  )‎ A. B.0 C. D.1‎ ‎4.三角形面积为,,,为三角形三边长,为三角形内切圆半径,利用类比推理,可以得出四面体的体积为(  )‎ A. B.‎ C.(为四面体的高)‎ D.(其中,,,分别为四面体四个面的面积,为四面体内切球的半径,设四面体的内切球的球心为,则球心到四个面的距离都是)‎ ‎5.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设为(  )‎ A.a,b,c都是奇数 B.a,b,c都是偶数 ‎ C.a,b,c中至少有两个偶数 D.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数 ‎6.函数在区间上的平均变化率为3,则实数m的值为(  ) ‎ A.5 B.4 C.3 D.2‎ ‎7.如果函数的导函数的部分图像如图所示,则以下关于函数的判断:①在区间内单调递增; ‎ ‎ ②在区间内单调递减;‎ ‎ ③在区间内单调递增; ‎ ‎ ④是极小值点; ‎ ‎ ⑤是极大值点.‎ ‎ 其中正确的是(  ) ‎ A.②③ B.③⑤ C.①④⑤ D.①②④ ‎ ‎8.已知不等式对一切恒成立,则实数m的取值范围为(  ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知,则的最小值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.用数学归纳法证明不等式时,从到,不等式左边增添的项数是 (  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.在等比数列中,,,函数,则 (  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数是上的单调增函数,则的取值范围是(  )‎ A. B.或 C. D.或 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13. . ‎ ‎14.比较大小: .(用,或填空)‎ ‎15.将正整数有规律地排列如下:‎ 则在此表中第行第列出现的数字是 . ‎ ‎16.已知,函数.‎ ‎①当时,函数的最小值为______;‎ ‎②若在区间上的最大值是5,则实数a的取值范围为 .‎ ‎(本小题第一空2分,第二空3分)‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知复数,.‎ ‎(Ⅰ)若Z为纯虚数,求m的值;‎ ‎(Ⅱ)若Z对应的点在直线上,求m的值.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 设函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)求函数的极值.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 设函数在点处有极值.‎ ‎(Ⅰ)求常数,的值;‎ ‎(Ⅱ)求曲线与轴所围成的图形的面积.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)当时,求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)若函数在区间上单调递增,求实数a的取值范围.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知,且.‎ ‎(Ⅰ)求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)求证:. ‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若在区间上为单调递增函数,求实数a的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若,,设直线为函数的图像在处的切线,求证:.‎ 西安中学2019-2020学年度第二学期期中考试 高二数学(理科)参考答案 一、选择题:‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A B D D D B A A C B C 二、填空题:‎ ‎13. 14. 15. 16.4,‎ 三、解答题:‎ ‎17.解:由题意,复数,‎ 则, 2分 ‎(Ⅰ)若为纯虚数,则有,‎ 解得:. 7分 ‎(Ⅱ)根据Z对应的点在上,‎ 则有,‎ 解得:. 10分 ‎18.解:(Ⅰ)‎ 当时,;‎ 当时,. 4分 的单调递增区间为和;‎ 单调递减区间为. 6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知在处取得极大值,‎ 在处取得极小值. 10分 极大值为,‎ 极小值为. 12分 ‎19.解:(Ⅰ)由题意知,‎ 且, 2分 即,解得, 4分 经检验,当时符合题意. 6分 ‎(Ⅱ)如图,由(Ⅰ)知.作出曲线的草图,所求面积为阴影部分的面积.‎ 由得曲线与轴的交点坐标是,和,‎ 而是上的奇函数,函数图象关于原点中心对称.‎ 所以轴右侧阴影面积与轴左侧阴影面积相等. 8分 所以所求图形的面积为 ‎. 12分 ‎ ‎ ‎20.解:‎ ‎(Ⅰ)当时,, 2分 所以即:‎ ‎,或,或,‎ 解得,‎ 从而,不等式的解集为. 6分 ‎(Ⅱ)因为函数在区间上单调递增,‎ 且函数是连续不间断的, 8分 所以,‎ 解得,‎ 故所求实数a的取值范围是. 12分 ‎21.解:(Ⅰ)依题意,,故. 2分 所以, 4分 所以,即的取值范围为. 6分 ‎(Ⅱ)因为,‎ 所以 8分 ‎,‎ 当且仅当时等号成立. 10分 又因为,‎ 所以. 12分 ‎22.(Ⅰ)解:易得,‎ 由已知得对恒成立,‎ 故对恒成立,‎ ‎∴,‎ ‎∴. 4分 ‎(Ⅱ)证明:当时,‎ 函数的图像在处的切线方程为 ‎. 6分 令,‎ 则. 8分 设,‎ 则,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴在R上单调递减,我们注意到, 10分 ‎∴当时,,当时,,‎ ‎∴当时,,当时,,‎ ‎∴在区间上为增函数,在区间上为减函数,‎ ‎∴,即. 12分
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