2020高中数学 课时分层作业14 综合法和分析法 新人教A版选修2-2

2020高中数学 课时分层作业14 综合法和分析法 新人教A版选修2-2

课时分层作业(十四)　综合法和分析法 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．证明命题“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：‎ ‎∵f(x)＝ex＋，∴f′(x)＝ex－.‎ ‎∵x>0，∴ex>1,0<<1‎ ‎∴ex－>0，‎ 即f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．‎ 他使用的证明方法是(　　) ‎ ‎【导学号：31062147】‎ A．综合法　 B．分析法 ‎ C．反证法 D．以上都不是 A　[该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故选A.]‎ ‎2．设P＝，Q＝－，R＝－，那么P，Q，R的大小关系是 ‎(　　)‎ A．P＞Q＞R B．P＞R＞Q C．Q＞P＞R D．Q＞R＞P B　[先比较R，Q的大小，可对R，Q作差，即Q－R＝－－(－)＝(＋)－(＋)．‎ 又(＋)2－(＋)2＝2－2＜0，‎ ‎∴Q＜R，由排除法可知，选B.]‎ ‎3．要证－＜成立，a，b应满足的条件是(　　)‎ A．ab＜0且a＞b ‎ B．ab＞0且a＞b C．ab＜0有a＜b D．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b D　[要证－＜，‎ 只需证(－)3＜()3，‎ 即证a－b－3＋3＜a－b，‎ 即证＜，‎ 5‎ 只需证ab2＜a2b，即证ab(b－a)＜0.‎ 只需ab＞0且b－a＜0或ab＜0，且b－a＞0.‎ 故选D.]‎ ‎4．下面的四个不等式：‎ ‎①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②a(1－a)≤；‎ ‎③＋≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.‎ 其中恒成立的有(　　)‎ A．1个 B．2个 ‎ C．3个 D．4个 C　[∵(a2＋b2＋c2)－(ab＋bc＋ac)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，‎ a(1－a)－＝－a2＋a－＝－2≤0，‎ ‎(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a‎2c2＋a2d2＋b‎2c2＋b2d2‎ ‎≥a‎2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2.∴应选C.]‎ ‎5．若两个正实数x、y满足＋＝1，且不等式x＋0，y>0，＋＝1，‎ ‎∴x＋＝＝2＋＋ ‎≥2＋2＝4，‎ 等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，‎ ‎∴x＋的最小值为4，‎ 要使不等式m2－‎3m>x＋有解，‎ 应有m2－‎3m>4，‎ ‎∴m<－1或m>4，故选B.]‎ 二、填空题 ‎6．如图222所示，四棱柱ABCDA1B‎1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥‎ 5‎ A‎1C(写上一个条件即可)．‎ 图222‎ ‎[解析]　要证BD⊥A‎1C，只需证BD⊥平面AA‎1C.‎ 因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，‎ 即可证明BD⊥平面AA‎1C，从而有BD⊥A‎1C.‎ ‎[答案]　AC⊥BD(答案不唯一)‎ ‎7．已知sin α＋sin β＋sin r＝0，cos α＋cos β＋cos r＝0，则cos(α－β)的值为________. ‎ ‎【导学号：31062149】‎ ‎[解析]　由sin α＋sin β＋sin r＝0，cos α＋cos β＋cos r＝0，得sin α＋sin β＝－sin r，cos α＋cos β＝－cos r，‎ 两式分别平方，相加得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，所以cos(α－β)＝－.‎ ‎[答案]　－ ‎8．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．‎ ‎[解析]　∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b) ＝1＋2＋ab－1－a－b－ab ＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0.‎ ‎∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，‎ ‎∴lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．‎ ‎[答案]　≤‎ 三、解答题 ‎9. 设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，求证：＋＝2.‎ ‎[证明]　由已知条件得b2＝ac，‎ ‎2x＝a＋b,2y＝b＋c.　①‎ 要证＋＝2，只要证ay＋cx＝2xy，‎ 5‎ 只要证2ay＋2cx＝4xy.　②‎ 由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋‎2ac＋bc，‎ ‎4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋‎2ac＋bc，‎ 所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证．‎ ‎10. 设a＞0，b＞0,‎2c＞a＋b，求证：‎ ‎(1)c2＞ab；‎ ‎(2)c－＜a＜c＋.‎ ‎[证明]　(1)∵a＞0，b＞0,‎2c＞a＋b≥2，‎ ‎∴c＞，‎ 平方得c2＞ab；‎ ‎(2)要证c－＜a＜c＋.‎ 只要证－＜a－c＜.‎ 即证|a－c|＜，‎ 即(a－c)2＜c2－ab，‎ ‎∵(a－c)2－c2＋ab＝a(a＋b－‎2c)＜0成立，‎ ‎∴原不等式成立．‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1．已知函数f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为(　　)‎ A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A A　[≥≥，又函数f(x)＝x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，‎ ‎∴f≤f()≤f.‎ 即A≤B≤C.]‎ ‎2．若a、b、c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是(　　)‎ A．a2＋b2＋c2≥2‎ B．(a＋b＋c)2≥3‎ C.＋＋≥2 D．abc(a＋b＋c)≤ B　[∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，‎ b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥‎2ac，‎ 5‎ ‎∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1，‎ 又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋‎‎2ac ‎＝a2＋b2＋c2＋2≥3.]‎ ‎3．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________. ‎ ‎【导学号：31062150】‎ ‎[解析]　若对任意x>0，≤a恒成立，只需求y＝的最大值，且令a不小于这个最大值即可．因为x>0，所以y＝＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立，所以a 的取值范围是 ‎[答案]　 ‎4．已知x1是方程x＋2x＝4的根，x2是方程x＋log2x＝4的根，则x1＋x2的值是________．‎ ‎[解析]　∵x＋2x＝4，∴2x＝4－x，∴x1是y＝2x与y＝4－x交点的横坐标．‎ 又∵x＋log2x＝4，∴log2x＝4－x，∴x2是y＝log2x与y＝4－x交点的横坐标．‎ 又y＝2x与y＝log2x互为反函数，其图象关于y＝x对称，由得x＝2，∴＝2，∴x1＋x2＝4.‎ ‎[答案]　4‎ ‎5．求证抛物线y2＝2px(p＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切. ‎ ‎【导学号：31062151】‎ ‎[证明]　如图，作AA′、BB′垂直准线，取AB的中点M，作MM′垂直准线．‎ 要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|＝|AB|，‎ 由抛物线的定义：|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，‎ 所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|，‎ 因此只需证|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)‎ 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的．‎ 所以以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切. ‎ 5‎