专题5-1 题型特点与命题规律-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点+题型全突破

专题5-1 题型特点与命题规律-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点+题型全突破

题型特点与命题规律 在高中数学教学中，三角及解三角形占有相当重要的地位，也是历年高考必考的内容。一般难度不大。‎ ‎【2017年最新考试大纲】‎ 基本初等函数II（三角函数）‎ ‎1．任意角的概念、弧度制 ‎（1）了解任意角的概念.‎ ‎（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.‎ ‎2．三角函数 ‎（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．‎ ‎（2）能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出， ，的图像，了解三角函数的周期性．‎ ‎（3）理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质（如单调性、 最大值和最小值以及与轴的交点等），理解正切函数在区间内的单调性 ‎（4）理解同角三角函数的基本关系式：‎ ‎；．‎ ‎（5）了解函数的物理意义；能画出的图像，了解参数对函数图像变化的影响．‎ ‎（6）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．‎ ‎3．和与差的三角函数公式 ‎（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．‎ ‎（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．‎ ‎（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式， 导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．‎ ‎4．简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.‎ ‎5．正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．‎ ‎6．应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几 何计算有关的实际问题．‎ ‎【热门考点展示】‎ 热点1、正弦定理、余弦定理 解三角形主要考察正弦定理、余弦定理及三角形面积公式。往往会涉及三角形面积公式和三角形内角和定理及两角和与差的正弦余弦正切公式，还包括三角函数恒等变形。在利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”。‎ 三角形中的三角变换常用到诱导公式,‎ ‎ , 就是常用的结论。‎ 热点2、三角函数图像与性质 三角函数主要考察正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质。包括定义域、值域、单调性、对称性、周期性及图像的三个变换。尤其要注意周期变换，在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少。‎ 热点3、三角函数和差公式 三角函数和差公式主要结合正弦定理、余弦定理考察。尤其注意两角和与差余弦公式记忆。主要通过异角化同角、异名化同名，根据三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理求出角。‎ 热点4、同角三角函数间的基本关系、诱导公式、倍角公式、三角恒等变换 同角三角函数间的基本关系主要考察是“两个关系：平方关系和商数关系”体现“切角化弦”转化思想。诱导公式主要考查利用“奇变偶不变，符号看象限”解决求值的问题。倍角公式、三角恒等变换考查对公式的灵活应用。‎ 特别的是三角函数求值：‎ ‎①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；‎ ‎②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系。会用诱导公式将不同角化为同角，再 用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式。三角恒等变换要注意“角的关系”，即是“和差关系”，“倍角关系”等。‎ ‎【五年高考考情分布】‎ 年份 题型 考查角度 分值 难度 ‎2016年Ⅰ卷 选择题第4题 余弦定理 ‎5‎ 容易 选择题第6题 三角函数的图象与性质 ‎5‎ 中等 填空题第14题 诱导公式、三角恒等变换、同角三角函数基本关系 ‎5‎ 容易 ‎2016年Ⅱ卷 选择题第3题 三角函数的图象与性质 ‎5‎ 容易 选择题第11题 三角恒等变换、三角函数的性质 ‎5‎ 中等 填空题第15题 正弦定理、两角和的正弦函数、同角三角函数基本关系 ‎5‎ 中等 ‎2016年Ⅲ卷 选择题第6题 同角三角函数基本关系、倍角公式 ‎5‎ 中等 选择题第9题 正弦定理 ‎5‎ 中等 填空题第14题 三角函数图象的平移变换、两角差的正弦函数 ‎5‎ 容易 ‎2015年Ⅰ卷 选择题第8题 三角函数的图象与性质 ‎5‎ 中等 解答题第17题 正弦定理与余弦定理 ‎12‎ 中等 ‎2015年Ⅱ卷 解答题第17题 正弦定理、两角差的正弦函数 ‎12‎ 中等 ‎2014年Ⅰ卷 选择题第2题 三角函数的性质 ‎5‎ 容易 选择题第7题 三角函数的图象与性质 ‎5‎ 困难 填空题第16题 正弦定理 ‎5‎ 中等 ‎2014年Ⅱ卷 选择题第14题 三角函数的图象与性质 ‎5‎ 容易 解答题第17题 正弦定理与余弦定理 ‎12‎ 中等 ‎2013年Ⅰ卷 选择题第9题 三角函数的图象与性质 ‎5‎ 容易 选择题第10题 倍角公式、余弦定理 ‎5‎ 容易 选择题第16题 两角和与差的正弦与余弦函数、三角函数的图象与性质 ‎5‎ 容易 ‎2013年Ⅱ卷 选择题第4题 弦定理 ‎5‎ 容易 选择题第6题 倍角公式、诱导公式 ‎5‎ 中等 填空题第16题 三角函数的图象与性质 ‎5‎ 困难 ‎2012年Ⅰ卷 选择题第9题 三角函数的图象与性质 ‎5‎ 中等 解答题第17题 正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式 ‎12‎ 中等 ‎2012年Ⅱ卷 选择题第9题 三角函数的图象与性质 ‎5‎ 中等 解答题第17题 正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式 ‎12‎ 中等 ‎【命题趋势】‎ ‎1、题型趋势分析：‎ ‎ 题目每年必出，考选择题3-4个或者考选择1-2个小题和大题1个。全国卷在大题设计上如果考数列的大题，则不考三角函数的大题，三角函数只考选择题。如果数列考小题，则三角函数必考大题。从2012-2016年全国卷分析，大概间年考一次大题，主要考解三角形。小题主要考察三角函数图象与性质。‎ ‎2、考点趋势分析：‎ ‎ 从教材三角函数与解三角形安排内容分析，三角函数与解三角形的主要涉及到的考点有：（1）任意角的三角函数；（2）同角三角函数间的基本关系；（3）诱导公式；(4）倍角公式；（5）三角恒等变换；（6）三角函数和差公式（7）三角函数图像与性质(8)正弦定理、余弦定理。‎ 通过全国卷2012-2016高考理科试题统计分析来看：‎ ‎ 主要涉及到的考点为： ‎ ‎ （1）三角函数图像与性质；（2）三角恒等变换；（3）三角函数和差公式(4）正弦定理、余弦定理；（5）同角三角函数间的基本关系、诱导公式。‎ ‎ 5年内涉及到最多的是， 解三角形和三角函数图象与性质。考查知识点比较分散，整体难度不大。‎ ‎【典例1】【2016高考新课标2理数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D 考点：三角恒等变换. ‎ ‎【名师点睛】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：‎ ‎(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．‎ ‎(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．‎ ‎【典例2】【2015高考新课标1，理8】函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D) ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.‎ ‎【考点定位】三角函数图像与性质 ‎【名师点睛】本题考查函数的图像与性质，先利用五点作图法列出关于方程，求出，或利用利用图像先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求使解题的关键.‎ ‎【典例3】【2016高考新课标3理数】在中，， 边上的高等于,则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【案】C 考点：余弦定理．‎ ‎【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．‎ ‎【典例4】【2016高考新课标1卷】 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 ‎ ‎（I）求C；‎ ‎（II）若的面积为,求的周长．‎ ‎【答案】（I）（II）‎ ‎【解析】‎ ‎（II）由已知,．‎ 又,所以．‎ 由已知及余弦定理得,．‎ 故,从而．‎ 所以的周长为．‎ 考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 ‎【思路点拨】三角形中的三角变换常用到诱导公式, ,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”‎