数学文·宁夏中卫一中2017届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）+Word版含解析

数学文·宁夏中卫一中2017届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）+Word版含解析

‎2016-2017学年宁夏中卫一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合M={x|x+1≥0}，N={x|x2＜4}，则M∩N=（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，2） C．（﹣1，2] D．（2，+∞）‎ ‎2．已知复数z=，则z的共轭复数是（　　）‎ A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i ‎3．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则实数λ的值为（　　）‎ A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1‎ ‎4．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知函数f（x）=．若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（　　）‎ A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3‎ ‎6．已知x、y满足线性约束条件：，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（　　）‎ A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4‎ ‎7．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎8．函数f（x）=ax﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣ny﹣1=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，若P=0.9，则输出的n=（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎10．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（　　）‎ A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=‎ ‎11．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．定义在实数集R上的奇函数f（x），对任意实数x都有f（+x）=f（﹣x），且满足f（1）＞﹣2，f（2）=m﹣，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．﹣1＜m＜3 B．0＜m＜3 C．0＜m＜3或m＜﹣1 D．m＞3或m＜﹣1‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.‎ ‎13．函数y=x2﹣2ax﹣3在区间[0，1]上具有单调性，则a的取值范围是　　．‎ ‎14．设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为　　．‎ ‎15．已知奇函数f（x）的定义域为R，且当x＞0时，f（x）=x2﹣3x+2，若函数y=f（x）﹣a有3个零点，则实数a的值是　　．‎ ‎16．已知函数f（x）=2xsincos，有下列四个结论；‎ ‎①函数y=f（x）由无数多个极值点；‎ ‎②∀x∈R，都有f（﹣x）=﹣f（x）成立；‎ ‎③∀M＞0，至少存在一个实数x0，使得f（x0）＞M；‎ ‎④存在常数T≠0，对于∀x∈R，恒有f（x+T）=f（x）成立，‎ 其中正确结论的序号是　　（将所有正确结论的序号都填上）‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=log2a1+log2a2+…+log2an，求（n﹣8）bn≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围．‎ ‎18．性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）‎ 男 女 总计 喜爱 ‎40‎ ‎60‎ ‎100‎ 不喜爱 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 总计 ‎60‎ ‎80‎ ‎140‎ ‎（Ⅰ）从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？‎ ‎（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025%的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（精确到0.001）‎ ‎（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．‎ 附：‎ p（k2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.705‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ k2=．‎ ‎19．如图，四棱锥M﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，MD⊥平面ABCD，且MD=DA=1，E为MA中点．‎ ‎（1）求证：DE⊥MB；‎ ‎（2）若DC=2，求三棱锥M﹣EBC的体积．‎ ‎20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，右焦点为F（c，0）．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）直线l与直线x=2交于点A，与直线x=﹣2交于点B，且•=0，判断并证明直线l与椭圆有多少个交点．‎ ‎21．已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）当x＞1时，f（x）+＜0恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在第23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4坐标系与参数方程值]‎ ‎22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；‎ ‎（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5不等式选讲]（共1小题，满分0分）‎ ‎23．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）‎ ‎（1）证明：f（x）≥4；‎ ‎（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年宁夏中卫一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合M={x|x+1≥0}，N={x|x2＜4}，则M∩N=（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，2） C．（﹣1，2] D．（2，+∞）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】直接利用两个集合的交集的定义求得M∩N．‎ ‎【解答】解：集合M={x|x+1≥0}={x|x≥﹣1}，N={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，‎ 则M∩N={x|﹣1≤x＜2}，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．已知复数z=，则z的共轭复数是（　　）‎ A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．‎ ‎【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到选项．‎ ‎【解答】解：复数z==‎ 所以它的共轭复数为：1﹣i 故选A ‎　‎ ‎3．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则实数λ的值为（　　）‎ A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1‎ ‎【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎【分析】直接利用向量的垂直的充要条件列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：向量，，若， =（2λ+3，3），=（﹣1，﹣1）‎ 则：（2λ+3）（﹣1）+3（﹣1）=0，‎ 解得λ=﹣3．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型；一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】先解不等式f（x0）≤0，得能使事件f（x0）≤0发生的x0的取值长度为3，再由x0总的可能取值，长度为定义域长度10，得事件f（x0）≤0发生的概率是0.3‎ ‎【解答】解：∵f（x）≤0⇔x2﹣x﹣2≤0⇔﹣1≤x≤2，‎ ‎∴f（x0）≤0⇔﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，‎ ‎∵在定义域内任取一点x0，‎ ‎∴x0∈[﹣5，5]，‎ ‎∴使f（x0）≤0的概率P==‎ 故选C ‎　‎ ‎5．已知函数f（x）=．若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（　　）‎ A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】由分段函数f（x）=，我们易求出f（1）的值，进而将式子f（a）+f（1）=0转化为一个关于a的方程，结合指数的函数的值域，及分段函数的解析式，解方程即可得到实数a的值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=‎ ‎∴f（1）=2‎ 若f（a）+f（1）=0‎ ‎∴f（a）=﹣2‎ ‎∵2x＞0‎ ‎∴x+1=﹣2‎ 解得x=﹣3‎ 故选A ‎　‎ ‎6．已知x、y满足线性约束条件：，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（　　）‎ A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．‎ ‎【解答】解：由z=x﹣2y得y=x﹣，‎ 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分OAB）‎ 平移直线y=x﹣，‎ 由图象可知当直线y=x﹣，过点A时，‎ 直线y=x﹣的截距最大，此时z最小，‎ 由，解得，即A（2，3）．‎ 代入目标函数z=x﹣2y，‎ 得z=2﹣6=﹣4‎ ‎∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣4．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a， a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，‎ 且MA=AB=2a，∠MAB=120°，‎ 则M的坐标为（﹣2a， a），‎ 代入双曲线方程可得，‎ ‎﹣=1，‎ 可得a=b，‎ c==a，‎ 即有e==．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．函数f（x）=ax﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣ny﹣1=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．‎ ‎【考点】基本不等式；指数函数的图象变换．‎ ‎【分析】由指数函数可得A坐标，可得m+n=1，整体代入可得=（）（m+n）=3++，由基本不等式可得．‎ ‎【解答】解：当x﹣1=0即x=1时，ax﹣1﹣2恒等于﹣1，‎ 故函数f（x）=ax﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，﹣1），‎ 由点A在直线mx﹣ny﹣1=0上可得m+n=1，‎ 由m＞0，n＞0可得=（）（m+n）‎ ‎=3++≥3+2=3+2‎ 当且仅当=即m=﹣1且n=2﹣时取等号，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，若P=0.9，则输出的n=（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=+++=时，不满足条件S＜P，退出循环，输出n的值为5．‎ ‎【解答】解：执行程序框图，有 P=0.9，n=1，S=0‎ 满足条件S＜P，有S=，n=2；‎ 满足条件S＜P，有S=+，n=3；‎ 满足条件S＜P，有S=++，n=4；‎ 满足条件S＜P，有S=+++=，n=5；‎ 不满足条件S＜P，退出循环，输出n的值为5．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（　　）‎ A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=‎ ‎【考点】对数函数的定义域；对数函数的值域与最值．‎ ‎【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．‎ ‎【解答】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），‎ 函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；‎ 函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；‎ 函数y=2x的定义域为R，值域为R（0，+∞），不满足要求；‎ 函数y=的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；‎ 故选：D ‎　‎ ‎11．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】由已知和余弦定理可得ab及cosC的方程，再由面积公式可得ab和sinC的方程，由同角三角函数基本关系可解cosC，可得角C ‎【解答】解：由题意可得c2=（a﹣b）2+6=a2+b2﹣2ab+6，‎ 由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，‎ 两式联立可得ab（1﹣cosC）=3，‎ 再由面积公式可得S=absinC=，‎ ‎∴ab=，代入ab（1﹣cosC）=3可得sinC=（1﹣cosC），‎ 再由sin2C+cos2C=1可得3（1﹣cosC）2+cos2C=1，‎ 解得cosC=，或cosC=1（舍去），‎ ‎∵C∈（0，π），∴C=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．定义在实数集R上的奇函数f（x），对任意实数x都有f（+x）=f（﹣x），且满足f（1）＞﹣2，f（2）=m﹣，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．﹣1＜m＜3 B．0＜m＜3 C．0＜m＜3或m＜﹣1 D．m＞3或m＜﹣1‎ ‎【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】先由题意求出函数为3为周期的周期函数，再根据函数为奇函数得到f（2）＜2，代入解不等式即可．‎ ‎【解答】解：∵f（+x）=f（﹣x），‎ 用x+代换x得，‎ ‎∴f（x+）=f（﹣x）=﹣f（x），‎ 再用x+代换x得，‎ ‎∴f（x+3）=﹣f（x+）=f（x），‎ ‎∴函数为以3为周期的周期函数，‎ ‎∴f（x）=﹣f（﹣x），f（1）=﹣f（﹣1），f（﹣1）=f（2），‎ ‎∴﹣f（2）=﹣f（﹣1）=f（1）＞﹣2，‎ ‎∴f（2）＜2，‎ ‎∴f（2）=m﹣＜2，‎ 解得0＜m＜3，或m＜﹣1，‎ 故选：C ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.‎ ‎13．函数y=x2﹣2ax﹣3在区间[0，1]上具有单调性，则a的取值范围是　（﹣∞，0]∪[1，+∞）　．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】根据函数的单调性判断函数对称轴与区间的关系得出结论．‎ ‎【解答】解：y=x2﹣2ax﹣3的对称轴为x=a，‎ ‎∵函数y=x2﹣2ax﹣3在区间[0，1]上具有单调性，‎ ‎∴a≤0或a≥1．‎ 故答案为（﹣∞，0]∪[1，+∞）．‎ ‎　‎ ‎14．设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为　4π　．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积．‎ ‎【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，‎ ‎∵直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，且|AB|=2，‎ ‎∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=，‎ 即=，‎ 解得：a2=2，‎ 故圆的半径r=2．‎ 故圆的面积S=4π，‎ 故答案为：4π ‎　‎ ‎15．已知奇函数f（x）的定义域为R，且当x＞0时，f（x）=x2﹣3x+2，若函数y=f（x）﹣a有3个零点，则实数a的值是　±　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】根据奇函数的性质作出f（x）的函数图象，根据函数图象判断f（x）=a的解的个数．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（x）的图象关于原点对称，且f（0）=0，‎ 做出f（x）的函数图象如图所示：‎ 由图象可知当a=±时，方程f（x）=a有3解，‎ 故答案为：±．‎ ‎　‎ ‎16．已知函数f（x）=2xsincos，有下列四个结论；‎ ‎①函数y=f（x）由无数多个极值点；‎ ‎②∀x∈R，都有f（﹣x）=﹣f（x）成立；‎ ‎③∀M＞0，至少存在一个实数x0，使得f（x0）＞M；‎ ‎④存在常数T≠0，对于∀x∈R，恒有f（x+T）=f（x）成立，‎ 其中正确结论的序号是　①③　（将所有正确结论的序号都填上）‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】①先化简函数f（x），求函数的导数f′（x），得到f′（x）=0的根有无数个，‎ ‎②函数为偶函数，‎ ‎③判断函数f（x）存在大于0的实数，‎ ‎④根据函数的周期性进行判断．‎ ‎【解答】解：f（x）=2xsincos=xsinx，则函数f（x）为偶函数，‎ 函数的导数f′（x）=sinx+xcosx，‎ 由f′（x）=0得sinx+xcosx=0，得sinx=﹣xcosx，当cosx=0时，sinx=±1，此时方程无解，‎ 则cosx≠0，即tanx=﹣x，此时方程tanx=﹣x有无数多个解，则函数y=f（x）由无数多个极值点，故①正确，‎ ‎∵f（x）=xsinx为偶函数，∴∀x∈R，都有f（﹣x）=f（x）成立，故②错误，‎ 当x＞0，且sinx＞0时，f（x）=xsinx＞0，则③∀M＞0，至少存在一个实数x0，使得f（x0）＞M成立，故③正确，‎ 函数f（x）不是周期函数，故∀x∈R，恒有f（x+T）=f（x）不成立，故④错误，‎ 故答案为：①③‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=log2a1+log2a2+…+log2an，求（n﹣8）bn≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）首先利用递推关系式求出数列是等比数列，进一步求出数列的通项公式．‎ ‎（2）利用（1）的通项公式求出数列的和，进一步利用恒成立问题求出参数的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由Sn=2an﹣2，‎ 当n=1时，求得：a1=2，‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，‎ 所以：（常数），‎ 所以：数列{an}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列．‎ 所以：．…‎ ‎（2）已知：bn=log2a1+log2a2+…+log2an，‎ ‎=1+2+3+…+n=，‎ 由于（n﹣8）bn≥nk对任意n∈N*恒成立，‎ 所以对任意的n∈N+恒成立．‎ 设，则当n=3或4时，cn取最小值为﹣10．‎ 所以：k≤﹣10．…‎ ‎　‎ ‎18．性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）‎ 男 女 总计 喜爱 ‎40‎ ‎60‎ ‎100‎ 不喜爱 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 总计 ‎60‎ ‎80‎ ‎140‎ ‎（Ⅰ）从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？‎ ‎（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025%的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（精确到0.001）‎ ‎（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．‎ 附：‎ p（k2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.705‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ k2=．‎ ‎【考点】独立性检验．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由抽样比例求样本中的数据；（Ⅱ）代入公式求出k2的值，查表得结论；（Ⅲ）列出所有的基本事件，用古典概型概率公式求值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）抽样比为=，‎ 则样本中喜爱的观从有40×=4名；不喜爱的观众有6﹣4=2名．‎ ‎（Ⅱ）假设：观众性别与喜爱乐嘉无关，由已知数据可求得，‎ k2==≈1.167＜5.024；‎ ‎∴不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．‎ ‎（Ⅲ）记喜爱乐嘉的4名男性观众为a，b，c，d，不喜爱乐嘉的2名男性观众为1，2；则基本事件分别为：‎ ‎（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），‎ ‎（b，c），（b，d），（b，1），（b，2），‎ ‎（c，d），（c，1），（c，2），‎ ‎（d，1），（d，2），‎ ‎（1，2）．‎ 其中选到的两名观众都喜爱乐嘉的事件有6个，‎ 故其概率为P（A）==0.4．‎ ‎　‎ ‎19．如图，四棱锥M﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，MD⊥平面ABCD，且MD=DA=1，E为MA中点．‎ ‎（1）求证：DE⊥MB；‎ ‎（2）若DC=2，求三棱锥M﹣EBC的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）根据线面垂直的性质定理证明DE⊥平面MAB即可．‎ ‎（2）取AD的中点H，连接EH，EH是三棱锥E﹣ABD的高，根据割补法得到三棱锥M﹣EBC的体积VM﹣EBC=VM﹣ABCD﹣VE﹣ABD，分别根据三棱锥的体积公式进行求解即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵MD=DA=1，E为MA中点，‎ ‎∴DE⊥MA，‎ ‎∵MD⊥平面ABCD，MD⊂平面MAD，‎ ‎∴平面MAD⊥平面ABCD，‎ ‎∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥平面MAD，‎ ‎∵DE⊂平面MAD，‎ ‎∴AB⊥DE，‎ ‎∵MA∩AB=A，‎ ‎∴DE⊥平面MAB，‎ ‎∵MB⊂平面MAB，‎ ‎∴DE⊥MB．‎ ‎（2）取AD的中点H，连接EH，则EH∥DM，且EH=MD=，‎ 则EH⊥平面ABCD，‎ 即EH是三棱锥E﹣ABD的高，‎ 若DC=2，则S△ABD=AB•AD=×1×2=1，SABCD=AB•AD=1×2=2，‎ 则VE﹣ABD=S△ABD•EH=×1×=，VM﹣ABCD=SABCD•MD=2×1=2，‎ 则三棱锥M﹣EBC的体积VM﹣EBC=VM﹣ABCD﹣VE﹣ABD=2﹣=．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，右焦点为F（c，0）．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）直线l与直线x=2交于点A，与直线x=﹣2交于点B，且•=0，判断并证明直线l与椭圆有多少个交点．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的性质及其运算律．‎ ‎【分析】（1）由2a=4，e==，求得a和c的值，由椭圆的性质可知b2=a2﹣c2=1，即可求得b，求得椭圆C的方程；‎ ‎（2）设直线方程，求得A和B坐标，由•=0，根据向量的坐标表示，求得b2=1+4k2，将直线代入椭圆方程，由△=0，直线l与椭圆有1个交点．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知：2a=4，a=2，e==，‎ ‎∴c=，‎ b2=a2﹣c2，b=1，‎ ‎∴椭圆方程为：；‎ ‎（2）显然，直线l的斜率存在，设直线方程为l：y=kx+b，‎ 则：A（2，2k+b），B（﹣2，﹣2k+b），‎ 由•=0，可知：（2﹣，2k+b）•（﹣2﹣，﹣2k+b）=﹣1﹣4k2+b2=0，‎ 即b2=1+4k2，‎ 将直线l：y=kx+b与椭圆联立，x2+4（kx+b）2=4，‎ ‎∴（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，‎ ‎△=64k2b2﹣4（1+4k2）（4b2﹣4）‎ ‎=64k2（1+4k2）﹣4（1+4k2）（4+16k2﹣4）=0，‎ 所以直线和椭圆恰有一个交点．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）当x＞1时，f（x）+＜0恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求导数得f′（x）=+b，由导数几何意义得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=，且f（1）=，联立求得a=1，b=﹣，从而确定f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不等式等价于lnx﹣+＜0，参变分离为k＜﹣xlnx，利用导数求右侧函数的最小值即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=alnx+bx，∴f′（x）=+b．‎ ‎∵直线x﹣2y﹣2=0的斜率为，且曲线y=f（x）过点（1，﹣），‎ ‎∴即解得a=1，b=﹣．‎ 所以f（x）=lnx﹣x； ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得当x＞1时，f（x）+＜0恒成立即lnx﹣+＜0，等价于k＜﹣xlnx．‎ 令g（x）=﹣xlnx，则g′（x）=x﹣1﹣lnx．‎ 令h（x）=x﹣1﹣lnx，则h′（x）=1﹣．‎ 当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，故h（x）＞h（1）=0．‎ 从而，当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，‎ 故g（x）＞g（1）=．‎ 因此，当x＞1时，k＜﹣xlnx恒成立，则k≤．‎ ‎∴k的取值范围是（﹣∞，]．‎ ‎　‎ 请考生在第23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4坐标系与参数方程值]‎ ‎22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；‎ ‎（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用可得直角坐标方程．直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入+m消去参数t即可得出．‎ ‎（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为： +m2﹣2m=0，由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|•|PB|=t1t2，即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．‎ 直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．‎ ‎（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为： +m2﹣2m=0，‎ 由△＞0，解得﹣1＜m＜3．‎ ‎∴t1t2=m2﹣2m．‎ ‎∵|PA|•|PB|=1=|t1t2|，‎ ‎∴m2﹣2m=±1，‎ 解得，1．又满足△＞0．‎ ‎∴实数m=1，1．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5不等式选讲]（共1小题，满分0分）‎ ‎23．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）‎ ‎（1）证明：f（x）≥4；‎ ‎（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由m＞0，由f（x）的解析式利用绝对值三角不等式证得结论．‎ ‎（Ⅱ）分当＜2时和当≥2时两种情况，分别根据f（2）＞5，求得m的范围，再把所得m的范围取并集，即得所求．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由m＞0，有f（x）=|x﹣|+|x+m|≥|﹣（x﹣）+x+m|=+m≥4，‎ 当且仅当=m，即m=2时取“=”，所以f（x）≥4成立．‎ ‎（Ⅱ）f（2）=|2﹣|+|2+m|．‎ 当＜2，即m＞2时，f（2）=m﹣+4，由f（2）＞5，求得m＞．‎ 当≥2，即0＜m≤2时，f（2）=+m，由f（2）＞5，求得0＜m＜1．‎ 综上，m的取值范围是（0，1）∪（，+∞）．‎ ‎　‎ ‎2016年10月30日