数学文卷·2018届四川省雅安中学高三12月月考（2017

数学文卷·2018届四川省雅安中学高三12月月考（2017

雅安中学 2015 级高三上学期月考试题 数学（文史类） （考试用时：120 分 全卷满分：150 分） 第Ι卷（选择题部分，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1.设集合 { | 1}A x x  ，集合 { 2}B a  ，若 A B   ，则实数 a 的取值范围是 A.( , 1]  B. )1,(  C.[ 1, )  D.[1, ) 2.设复数 iziz  1, 21 ，则复数 21 zzz  在复平面内对应的点到原点的距离是 A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2 3.从编号为 1～50 的 50 名学生中随机抽取 5 人来进行学情的测评分析，若采用每部分选取 的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取的 5 名学生的编号可能是 A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43 C．1,2,3,4,5 D．2,4,6, 16,32 4.关于 x 的方程    2 4 4 0x i x ai a R      有实根 b，且 z a bi  ，则复数 z 等于 A. 2 2i B. 2 2i C. 2 2i  D. 2 2i  5.设 ,a b R ，则“  2 0a b a  ”是“ a b ”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在等差数列{an}中，若 2 8 6 41, 2a a a a   ，则 5a 的值是 A． ﹣5 B． C． D． 7．函数 x y       2 11 的值域为 A. ,0 B.  1,0 C. 1,0 D. 1,0 8.已知一个空间几何体的三视图如图所示，这个空间几何体的顶点均在同一个球面上，则 此球的体积与表面积之比为 A．31 B．13 C．41 D．32 9. 如图，是某算法的程序框图，当输出 29＞T 时，正整数 n 的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4 D.5 10.已知点 DCBA ,,, 在同一个球的球面上， 2,2  ACBCAB 若四面体 ABCD 中球心O 恰好在侧棱 DA 上， 14DB ，则这个球的表面积为 A. 25 4  B. 4 C. 8 D.16 11．若将函数   2sin 2 3f x x      的图象向右平移 个单位，所得图象关于 y 轴对称， 则 的最小正值是 A． 5 12  B． 3  C． 2 3  D． 5 6  12. 已知函数 )(xfy  与 )(xFy  的图象关于 y 轴对称，当函数 )(xfy  和 )(xFy  在 区间 ],[ ba 同时递增或同时递减时，把区间 ],[ ba 叫做函数 )(xfy  的“不动区间”，若区 间 1,2]为函数 |2| ty x  的“不动区间”，则实数t 的取值范围是 A. (0，2] B. ),2 1[  C. ]2,2 1[ D. ),4[]2,2 1[  第Ⅱ卷（非选择题部分，共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。 第 22～23 题为选做题，考生根据要求作答。 二、填空题：本题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分 13．设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x﹣y 的最大值为 ． 14.已知点 P 是直线 3 4 2 0x y   上点，点 Q 是圆    2 21 1 1x y    上的任意一点， 则 PQ 的最小值是 . 15. . 已知 1 2 1 1 ,a x dx   则 61( +2 )2a x x      展开式中的常数项为 . 16.一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 060 的方向航行 30 n mile 后到海岛 B ，然后从 B 出发沿南 偏东 060 的方向航行 50 n mile 到达海岛C . 如果下次航行此船沿南偏东 角的方向，直接 从 A 出发到达 C ，则 cos 的值为____________. 三、解答题：本大题共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分 12 分）在 ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c .已知 22 cos cos 2 sina a A B b A  . （1）求C ； （2）若 ABC 的面积为15 3 4 ，周长为 15，求 c . 18.（本题满分 12 分）某学校高三年级 800 名学生在一次百米测试中，成绩全部在 12 秒到 17 秒之间，抽取其中 50 个样本，将测试结果按如下方式分成五 组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组 [16， 17]，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图． （1）若成绩小于 13 秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试 中成绩优秀的人数； （2）请估计本次测试的平均成绩； （3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取 1 名学生组成一个实验组，求所抽取的 2 名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率． 19.（本题满分 12 分）已知数列 na 中， ,21 a 且 ),2(12 1    Nnnaa nn ． （I）求证：数列 1na 是等比数列，并求出数列 na 的通项公式； （Ⅱ）设 )1(  nn anb ，数列 nb 的前 n 项和为 Sn，求证：1≤Sn＜4． 20.（本题满分 12 分）已知椭圆 E ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 3 2 ，顺次连接椭 圆 E 的四个顶点得到的四边形的面积为 16． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）过椭圆 E 的顶点 (0, )P b 的直线l 交椭圆于另一点 M ，交 x 轴于点 N ，若| |PN 、 | |PM 、| |MN 成等比数列，求直线l 的斜率． 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝mx－aln x－m，g(x)＝ x ex－1 ，其中 m，a 均为实数，e 为自然对数的底数． (Ⅰ)求函数 g(x)的极值； (Ⅱ)设 m＝1，a<0，若对任意的 x1，x2∈[3，4](x1≠x2)，|f(x2)－f(x1)|<| 1 g（x2） － 1 g（x1）|恒 成立，求实数 a 的最小值． 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时 请写清题号． 22.（本小题 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，以原点O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为 4 2 cos( )4    ． （1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）过点 P (2,0) 作斜率为 1 直线l 与圆C 交于 ,A B 两点，试求 1 1 PA PB  的值. 23．（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 设函数 5( ) ,2f x x x a x R     ． (Ⅰ)求证：当 2 1a 时，不等式 ln ( ) 1f x  成立． (Ⅱ)关于 x 的不等式 ( )f x a 在 R 上恒成立，求实数a 的最大值． 雅安中学 2015 级高三上学期月考试题 数学（文史类）参考答案 1—5 ABBAB 6—10 CCBCD 11—12 AC 一、8 14. 15. -160 16. 1 7 17.答案：（1） ； （2）7． 解析：（1）首先利用正弦定理化已知条件等式中的边为角，然后利用两角和的正弦公式结 合三角形内角和定理求得 的值，从而求得角 的大小；（2）首先结合（1）利用三角 形面积公式求得 的关系式，然后根据余弦定理求得 的值． 试题解析：（1）由正弦定理可得 sinA＝2sinAcosAcosB－2sinBsin2A …2 分 ＝2sinA(cosAcosB－sinBsinA)＝2sinAcos(A＋B)＝－2sinAcosC． 所以 cosC＝－ 1 2，故 C＝ 2π 3． …6 分 （2）由△ABC 的面积为 3 4得 ab＝15， …8 分 由余弦定理得 a2＋b2＋ab＝c2，又 c＝15－(a＋b)， 解得 c＝7． …12 分 18.解：（1）由频率分布直方图，得成绩小于 13 秒的频率为 0.06， ∴该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为： 0.06×50=3（人）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3 分 （2） 7.1408.05.1632.05.1538.05.1416.05.1306.05.12  ┅┅6 分 （3）由频率分布直方图，得第一组的频率为 0.06，第五组的频率为 0.08， ∴第一组有 50×0.06=3 人，第五组有 50×0.08=4 人，┅┅┅┅┅┅┅┅┅7 分 ∵样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生， ∴第一组中有 1 名女生 2 名男生，第五组中有 3 名女生 1 名男生， 现从第一、第五组中各抽取 1 名学生组成一个实验组， 设第一组中三人分别为 321 ,, aaa ，其中 1a 为女生，第五组中四人分别为 4321 ,,, bbbb ，其中 1b 为男生， 则基本时间空间为 )},)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,{( 433323134232221241312111 babababababababababababa n=12，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9 分 所抽取的 2 名同学中恰好为一名男生和一名女生，包含的基本事件个数 m=7， ∴所求概率为 p= ．┅┅┅┅┅┅┅┅12 分 19.解：（1）由题意知： ,10 2 n nT 即得 2 nan ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4 分 （2） 1tan)2tan()3tan(1 )2tan()3tan()]2()3tan[(   nn nnnn ┅┅┅┅┅┅8 分 11tan )2tan()3tan()2tan()3tan(  nnnn ┅┅┅┅┅┅┅┅10 分 nnn nnSn   )]2tan()3tan(...)22tan()32tan()21tan()31[tan(1tan 1 )3tan()2tan(...)32tan()22tan()31tan()21tan( nn  1tan 3tan)3tan( ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分 20.解：（Ⅰ）由题意可得： 2 16ab  ，① 又由 3 2 ce a   ， 2 2 2c a b  ，得 2a b ，② 解①②的 4a  ， 2b  ，所以椭圆 E 的方程为 2 2 116 4 x y  ． （Ⅱ）由题意 2| | | | | |PM PN MN  ，故点 N 在 PM 的延长线上， 当直线l 的斜率不存在时， 2| | | | | |PM PN MN  ，不合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 2y kx  ， 令 0y  ，得 2 Nx k   ， 将直线l 的方程代入椭圆 E 的方程 2 2 116 4 x y  ， 得 2 2(4 1) 16 0k x kx   ， 因为 0px  ，解得 2 16 4 1M kx k    ， 由 | | | | | | | | PM MN PN PM  ，得 M NP M P N P M x xx x x x x x    ，即 2 2 2 16 2 16 4 1 4 1 2 16 4 1 k k k k k k k k    ， 解得 3 1 80k  ，即 4 1 2 5 k   ． 21.解析：(Ⅰ)由题得，g′(x)＝1－x ex－1 ，令 g′(x)＝0，得 x＝1， 列表如下： x (－∞，1) 1 (1＋∞) g′(x) 大于 0 0 小于 0 g(x)  极大值  ∴当 x＝1 时，g(x)取得极大值 g(1)＝1，无极小值；(4 分) (Ⅱ)当 m＝1，a<0 时，f(x)＝x－aln x－1，x∈(0，＋∞)， ∵f′(x)＝x－a x >0 在区间[3，4]上恒成立， ∴f(x)在区间[3，4]上为增函数，设 h(x)＝ 1 g（x） ＝ex－1 x ， ∵h′(x)＝ex－1（x－1） x2 >0 在区间[3，4]上恒成立，∴h(x)在区间[3，4]上为增函数，不妨 设 x2>x1， 则|f(x2)－f(x1)|<| 1 g（x2） － 1 g（x1）|等价于 f(x2)－f(x1)3 4 e2>1，∴v′(x)<0，则 v(x)在区间[3，4]上为减函数， ∴v(x)在区间[3，4]上的最大值 v(3)＝3－2 3 e2，∴a≥3－2 3 e2， ∴实数 a 的最小值为 3－2 3 e2.(12 分) 22. 解：（1）由 )4(24   Cos 得：  SinCos 44  ,  SinCos 442  即： 04422  yxyx ,C 的直角坐标方程为：    822 22  yx A．设 A,B 两点对应的参数分别为 21,tt ，直线 t ty x         2 2 2 22 和圆的方程联立得： ,04222  tt 所以, 4,22 2121  tttt <0 所以, 2 61111 21 21 21  tt tt ttPBPA 23.（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 23.解析：(1)证明：由 5 1( ) | | | |2 2f x x x    12 2 2 1 53 2 2 52 2 2 x x x x x               2 分 得函数 ( )f x 的最小值为 3，从而 ( ) 3f x e  ，所以 ln ( ) 1f x  成立. 5 分 (2) 由绝对值的性质得 5 5 5( ) | | | | | ( ) ( ) | | |2 2 2f x x x a x x a a          ， 7 分 所以 ( )f x 最小值为 5| |2 a ，从而 5| |2 a a  ， 8 分 解得 5 4a  ， 9 分 因此 a 的最大值为 5 4 . 10 分