2017-2018学年天津市红桥区高二上学期期中数学（文科）试题 解析版

2017-2018学年天津市红桥区高二上学期期中数学（文科）试题 解析版

‎2017-2018学年天津市红桥区高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）‎ ‎1．（4分）直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0平行，则直线l的方程是（　　）‎ A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=0‎ ‎2．（4分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（　　）‎ A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 ‎3．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a=（　　）‎ A．﹣3 B．﹣ C．﹣6 D．‎ ‎4．（4分）在空间，下列命题正确的是（　　）‎ A．如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β．‎ B．如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥β C．如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥β D．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则α∥β ‎5．（4分）若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（4分）若圆心在x轴负半轴上，半径为的圆O，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是（　　）‎ A．（x﹣）2+y2=5 B．（x+）2+y2=5 C．（x﹣5）2+y2=5 D．（x+5）2+y2=5‎ ‎7．（4分）如图所示，在立体图形D﹣ABC中，若AB=BC，AD=CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（　　）‎ A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE ‎8．（4分）函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）‎ ‎9．（4分）圆C：x2+y2+2x+4y=0的圆心到直线3x+4y=4的距离d=　 　．‎ ‎10．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成角的度数是　 　．‎ ‎11．（4分）空间直角坐标系中的点A（2，3，5）与B（3，1，4）之间的距离是　 　．‎ ‎12．（4分）已知x，y满足方程（x﹣2）2+y2=1，则的最大值为　 　．‎ ‎13．（4分）已知两条不同直线m、n，两个不同平面α、β，给出下面四个命题：‎ ‎①m⊥α，n⊥α⇒m∥n；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n ‎③m∥n，m∥α⇒n∥α； ④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．‎ 其中正确命题的序号是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共4小题，满分48分）‎ ‎14．（10分）已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．‎ ‎（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；‎ ‎（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．‎ ‎15．（12分）已知圆C的圆心在直线l：y=2x上，且经过点A（﹣3，﹣1），B（4，6）．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）点P是直线l上横坐标为﹣4的点，过点P作圆C的切线，求切线方程．‎ ‎16．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．求证：‎ ‎（Ⅰ）CD⊥AE；‎ ‎（Ⅱ）PD⊥平面ABE．‎ ‎17．（14分）如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=3，PA⊥底面ABCD，E是PC中点，F是AB中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：BE∥平面PDF；‎ ‎（Ⅱ）求直线PD与平面PFB所成角的正切值；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥P﹣DEF的体积．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年天津市红桥区高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）‎ ‎1．（4分）直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0平行，则直线l的方程是（　　）‎ A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=0‎ ‎【分析】设与直线2x﹣3y+4=0平行的直线方程为 2x﹣3y+c=0，把点（﹣1，2）代入求得c的值，即可求得所求的直线的方程．‎ ‎【解答】解：设与直线2x﹣3y+4=0平行的直线方程为 2x﹣3y+c=0，把点P（﹣1，2）代入可得﹣2﹣6+c=0，c=8，‎ 故所求的直线的方程为 2x﹣3y+8=0，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查利用待定系数法求直线的方程，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（　　）‎ A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 ‎【分析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．‎ ‎【解答】解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．‎ 圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，‎ 两圆的圆心距d==，‎ R+r=5，R﹣r=1，‎ R+r＞d＞R﹣r，‎ 所以两圆相交，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a=（　　）‎ A．﹣3 B．﹣ C．﹣6 D．‎ ‎【分析】由于直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，故它们的斜率相等，故有﹣=3，由此解得a的值．‎ ‎【解答】解：由于直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，故它们的斜率相等，故有﹣=3，解得 a=﹣6，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）在空间，下列命题正确的是（　　）‎ A．如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β．‎ B．如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥β C．如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥β D．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则α∥β ‎【分析】在A中，由面面垂直的判定理得α⊥β；在B中，a∥β或a⊂β；在C和D中，必须是两条相交直线才成立．‎ ‎【解答】解：在A中，如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，‎ 则由面面垂直的判定理得α⊥β，故A正确；‎ 在B中，如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥β或a⊂β，故B错误；‎ 在C中，如果直线a与平面β内的两条相交直线都垂直，则a⊥β，故C错误；‎ 在D中，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，则α∥β，故D错误．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用倾斜角、斜率的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设直线的倾斜角为α，则tanα==，‎ 又∵α∈[0，π]，‎ ‎∴α=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了直线的倾斜角．熟练掌握倾斜角、斜率的计算公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）若圆心在x轴负半轴上，半径为的圆O，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是（　　）‎ A．（x﹣）2+y2=5 B．（x+）2+y2=5 C．（x﹣5）2+y2=5 D．（x+5）2+y2=5‎ ‎【分析】设圆心O的坐标为（a，0），a＜0，由题意利用点到直线的距离公式求得a的值，可得圆O的方程．‎ ‎【解答】解：设圆心O的坐标为（a，0），a＜0，‎ 则由题意可得=，∴a=﹣5，‎ 则圆O的方程是（x+5）2+y2=5，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，点到直线的距离公式的应用，关键是求圆心坐标，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）如图所示，在立体图形D﹣ABC中，若AB=BC，AD=CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（　　）‎ A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE ‎【分析】AB=BC，AD=CD，说明对棱垂直，然后推出平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE．‎ ‎【解答】解：BE⊥AC，DE⊥AC⇒AC⊥平面BDE，‎ 故平面ABC⊥平面BDE，‎ 平面ADC⊥平面BDE．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，是基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【分析】函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），由于点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，可得m+n=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），‎ ‎∵点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，‎ ‎∴m+n=1．‎ 则=（m+n）=2+=4，当且仅当m=n=时取等号．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、指数函数的性质，属于基础题．‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）‎ ‎9．（4分）圆C：x2+y2+2x+4y=0的圆心到直线3x+4y=4的距离d=　3　．‎ ‎【分析】先求圆心坐标，然后求圆心到直线的距离即可．‎ ‎【解答】解：圆C：x2+y2+2x+4y=0的圆心（﹣1，﹣2）到直线3x+4y﹣4=0距离为=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】考查点到直线距离公式，圆的一般方程求圆心坐标，是基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成角的度数是　90°　．‎ ‎【分析】平移CN到平面ABB1A1上，根据三角形相似得出两线垂直．‎ ‎【解答】解：取AA1中点P，连接BP，则BP∥CN，‎ 由Rt△ABP≌Rt△BB1M可得∠DMB=∠APB，‎ ‎∴∠DMB+∠DBM=∠APB+∠DBM=90°，‎ ‎∴∠BDM=90°，即B1M⊥BP，‎ ‎∴B1M⊥CN．‎ ‎∴异面直线B1M与CN所成角的度数为90°．‎ 故答案为：90°．‎ ‎【点评】本题考查了异面直线所成角的计算，将直线平移到同一平面内解决问题是关键．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）空间直角坐标系中的点A（2，3，5）与B（3，1，4）之间的距离是　　．‎ ‎【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．‎ ‎【解答】解：空间直角坐标系中的点A（2，3，5）与B（3，1，4）之间的距离：=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查空间两点间的距离公式的应用，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）已知x，y满足方程（x﹣2）2+y2=1，则的最大值为　　．‎ ‎【分析】求出圆的圆心坐标，圆的半径，利用圆心到直线的距离等于半径求出k的值即可．‎ ‎【解答】解：x，y满足方程（x﹣2）2+y2=1，圆的圆心（2，0），半径为1，‎ 设，即kx﹣y=0，要求x，y满足方程（x﹣2）2+y2=1，的最大值，‎ 就是求圆的圆心到直线的距离等于半径，即：，‎ 解得k=，所求的最大值为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，也可以利用表达式的几何意义解答，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）已知两条不同直线m、n，两个不同平面α、β，给出下面四个命题：‎ ‎①m⊥α，n⊥α⇒m∥n；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n ‎③m∥n，m∥α⇒n∥α； ④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．‎ 其中正确命题的序号是　①④　．‎ ‎【分析】在①中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在②中，m与n平行或异面；在③中，n∥α或n⊂α；在④中，由线面垂直的判定定理得n⊥β．‎ ‎【解答】解：由两条不同直线m、n，两个不同平面α、β，知：‎ 在①中，m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理得m∥n，故①正确；‎ 在②中，α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故②错误；‎ 在③中，m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故③错误；‎ 在④中，α∥β，m∥n，m⊥α，由线面垂直的判定定理得n⊥β，故④正确．‎ 故答案为：①④．‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共4小题，满分48分）‎ ‎14．（10分）已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．‎ ‎（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；‎ ‎（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．‎ ‎【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径r，‎ ‎（1）当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；‎ ‎（2）联立圆C和直线l的方程，消去y后，得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出AB的长度，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．‎ ‎【解答】解：将圆C的方程x2+y2﹣8y+12=0配方得标准方程为x2+（y﹣4）2=4，‎ 则此圆的圆心为（0，4），半径为2．‎ ‎（1）若直线l与圆C相切，则有．解得．‎ ‎（2）联立方程并消去y，‎ 得（a2+1）x2+4（a2+2a）x+4（a2+4a+3）=0．‎ 设此方程的两根分别为x1、x2，‎ 所以x1+x2=﹣，x1x2=‎ 则AB===2‎ 两边平方并代入解得：a=﹣7或a=﹣1，‎ ‎∴直线l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0．‎ 另解：圆心到直线的距离为d=，‎ AB=2=2，可得d=，‎ 解方程可得a=﹣7或a=﹣1，‎ ‎∴直线l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0．‎ ‎【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．‎ ‎　‎ ‎15．（12分）已知圆C的圆心在直线l：y=2x上，且经过点A（﹣3，﹣1），B（4，6）．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）点P是直线l上横坐标为﹣4的点，过点P作圆C的切线，求切线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设圆心C（a，2a），由圆经过点A（﹣3，﹣1），B（4，6），可得|CA|2=|CB|2，由此求得a的值，可得圆心和半径，从而求得圆的标准方程．‎ ‎（Ⅱ）求出P（﹣4，﹣8），分类讨论，利用点到直线的距离公式，即可求切线方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的圆心在直线l：y=2x上，∴设C（a，2a），‎ 由圆经过点A（﹣3，﹣1），B（4，6），可得|CA|2=|CB|2，‎ 即 （a+3）2+（2a﹣+1）2=（a﹣4）2+（2a﹣6）2，解得 a=1．‎ 故圆心C（1，2），半径为r=|CA|=5，‎ 故圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=25；‎ ‎（Ⅱ）由题意，P（﹣4，﹣8），则 切线斜率不存在时，则切线方程为x=﹣4；‎ 切线斜率存在时，设方程为y+8=k（x+4），即kx﹣y+4k﹣8﹣0，‎ 圆心到切线的距离=5，∴k=，‎ ‎∴切线方程为3x﹣4y﹣20=0，‎ 综上所述，切线方程为x=﹣4或3x﹣4y﹣20=0．‎ ‎【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．求证：‎ ‎（Ⅰ）CD⊥AE；‎ ‎（Ⅱ）PD⊥平面ABE．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先证明CD⊥平面PAC，然后证明CD⊥AE；‎ ‎（Ⅱ）要证PD⊥平面ABE，只需证明PD垂直平面ABE内的两条相交直线AE与AB即可．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，PA∩AC=A，‎ 故CD⊥平面PAC．‎ 又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．‎ ‎（Ⅱ）由题意：AB⊥AD，‎ ‎∴AB⊥平面PAD，从而AB⊥PD．‎ 又AB=BC，且∠ABC=60°，‎ ‎∴AC=AB，从而AC=PA．‎ 又E为PC之中点，∴AE⊥PC．‎ 由（Ⅰ）知：AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而AE⊥PD．‎ 又AB∩AE=A，‎ 故PD⊥平面ABE．‎ ‎【点评】本题考查直线与直线的垂直，直线与平面的垂直，考查直线与平面垂直判定定理的应用，考查空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎17．（14分）如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=3，PA⊥底面ABCD，E是PC中点，F是AB中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：BE∥平面PDF；‎ ‎（Ⅱ）求直线PD与平面PFB所成角的正切值；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥P﹣DEF的体积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取PD中点M，连结ME，MF，推导出四边形FBEM是平行四边形，从而BE∥FM，由此能证明BE∥平面PDF．‎ ‎（Ⅱ）推导出PA⊥DF，AF⊥DF，从而∠DPF为直线PD与平面PFB所成角，由此能求出直线PD与平面PFB所成角的正切值．‎ ‎（Ⅲ）三棱锥P﹣DEF的体积VP﹣DEF=VC﹣DEF=VE﹣CDF，由此能求出结果．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）取PD中点M，连结ME，MF，‎ ‎∵E，M分别是PC、PD中点，∴EF=，EM∥CD，且F是AB中点，‎ BF=，BF∥CD，且EM∥BF，‎ ‎∴四边形FBEM是平行四边形，‎ ‎∴BE∥FM，‎ ‎∵BE⊄平面PDF，FM⊂平面PDF，‎ ‎∴BE∥平面PDF．‎ 解：（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，DF⊂底面ABCD，∴PA⊥DF，‎ 又∵底面ABCD是菱形，AD=2，AF=1，∠FAD=60°，‎ ‎∴DF=，AF2+DF2=AD2，∴AF⊥DF，‎ ‎∵PA∩AF=A，∴DF⊥平面PFD，‎ ‎∴PF是PD在平面PFD内的射影，‎ ‎∴∠DPF为直线PD与平面PFB所成角，‎ tan∠DFP===．‎ ‎∴直线PD与平面PFB所成角的正切值为．‎ ‎（Ⅲ）∵E是PC的中点，点P到平面DEF的距离等于点C到平面DEF的距离，‎ E到平面CDF的距离h=，‎ S△CDF=，‎ ‎∴三棱锥P﹣DEF的体积：‎ VP﹣DEF=VC﹣DEF=VE﹣CDF=．‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎　‎