数学文·湖北省荆门市、荆州市、襄阳市、宜昌市四地七校联盟2017届高三数学模拟试卷（文科）（2月份） Word版含解析

数学文·湖北省荆门市、荆州市、襄阳市、宜昌市四地七校联盟2017届高三数学模拟试卷（文科）（2月份） Word版含解析

全*品*高*考*网， 用后离不了！2017年湖北省荆门市、荆州市、襄阳市、宜昌市四地七校联盟高考数学模拟试卷（文科）（2月份）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，则∁U（A∩B）=（　　）‎ A．{﹣2，0} B．{﹣2，0，2} C．{﹣1，1，2} D．{﹣1，0，2}‎ ‎2．复数对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．从数字1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，这个两位数大于20的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在正数数列{an}中，a1=2，且点在直线x﹣9y=0上，则{an}的前n项和Sn等于（　　）‎ A．3n﹣1 B． C． D．‎ ‎5．函数f（x）=（3﹣x2）•ln|x|的大致图象为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB=2，CD=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角的度数为（　　）‎ A．90° B．45° C．60° D．30°‎ ‎7．将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）‎ A．在区间[，]上单调递减 B．在区间[，]上单调递增 C．在区间[﹣，]上单调递减 D．在区间[﹣，]上单调递增 ‎8．设a，b，c均为正数，且2a=，，，则（　　）‎ A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则p的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，直线l经过点F1‎ 及虚轴的一个端点，且点F2到直线l的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），且，记Sn为数列{bn}的前n项和，则S24=（　　）‎ A．294 B．174 C．470 D．304‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．设向量=（1，2m），=（m+1，1），=（2，m），若（+）⊥，则||=　　．‎ ‎14．过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=8分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=　　．‎ ‎15．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为2000元，设备乙每天的租赁费为3000元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为　　元．‎ ‎16．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象的对称中心为M（x0，f（x0）），记函数f（x）的导函数为g（x），则有g'（x0）=0．若函数f（x）=x3﹣3x2，则=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，AC=，△ABC的面积S△ABC=，DC=‎ ‎（Ⅰ）求BC的长；‎ ‎（Ⅱ）求∠ACD的大小．‎ ‎18．某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：‎ 女性用户：‎ 分值区间 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100]‎ 频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎50‎ ‎10‎ 男性用户：‎ 分值区间 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100]‎ 频数 ‎45‎ ‎75‎ ‎90‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不要求计算具体值，给出结论即可）；‎ ‎（Ⅱ）分别求女性用户评分的众数，男性用户评分的中位数；‎ ‎（Ⅲ）如果评分不低于70分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关；‎ 女性用户 男性用户 合计 ‎“认可”手机 ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎“不认可”手机 ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ 合计 ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ P（K2≥x0）‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ x0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ 附：．‎ ‎19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，‎ SA=AB=2，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．‎ ‎（Ⅰ） 求证：SB∥平面ACM； ‎ ‎（Ⅱ） 求点C到平面AMN的距离．‎ ‎20．平面上动点P到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=﹣2的距离小1．‎ ‎（Ⅰ） 求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F作直线与曲线C交于两点A，B，与直线l交于点M，求|MA|•|MB|的最小值．‎ ‎21．已知函数f（x）=ln﹣ax2+x，‎ ‎（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；‎ ‎（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣4ln2．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）‎ ‎22．在极坐标系中，已知三点O（0，0），A（2，），B（2，）．‎ ‎（1）求经过O，A，B的圆C1的极坐标方程；‎ ‎（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为（θ是参数），若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）‎ ‎23．已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|．‎ ‎（Ⅰ）求不等式f（x）＜4的解集；‎ ‎（Ⅱ）若不等式f（x）﹣|a﹣1|＜0有解，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017年湖北省荆门市、荆州市、襄阳市、宜昌市四地七校联盟高考数学模拟试卷（文科）（2月份）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，则∁U（A∩B）=（　　）‎ A．{﹣2，0} B．{﹣2，0，2} C．{﹣1，1，2} D．{﹣1，0，2}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】根据交集和补集的定义写出运算结果即可．‎ ‎【解答】解：全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，‎ A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，‎ 则A∩B={﹣2，0}，‎ ‎∴∁U（A∩B）={﹣1，1，2}．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．复数对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【分析】根据所给的复数，需要分子分母同乘以1﹣i，再利用虚数单位i的性质进行化简．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴此复数对应的点是（﹣1，﹣1），即在第三象限，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．从数字1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，这个两位数大于20的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件是从4个数字中选两个数字进行排列，共有A42种结果，两位数大于20的为：21，23，24，31，32，34，41，42，43共9种结果．得到概率．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，‎ 试验发生所包含的事件是从4个数字中选两个数字进行排列，共有A42=12种结果，‎ 两位数大于20的为：21，23，24，31，32，34，41，42，43共9种结果，‎ 因此概率为=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．在正数数列{an}中，a1=2，且点在直线x﹣9y=0上，则{an}的前n项和Sn等于（　　）‎ A．3n﹣1 B． C． D．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】代入点，化简可得数列{an}为首项为2，公比为3的等比数列，由等比数列的求和公式，化简计算即可得到所求和．‎ ‎【解答】解：在正数数列{an}中，a1=2，且点在直线x﹣9y=0上，‎ 可得an2=9an﹣12，即为an=3an﹣1，‎ 可得数列{an}为首项为2，公比为3的等比数列，‎ 则{an}的前n项和Sn等于==3n﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．函数f（x）=（3﹣x2）•ln|x|的大致图象为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊值，判断即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=（3﹣x2）•ln|x|是偶函数，排除A，D选项，‎ ‎（3﹣x2）•ln|x|=0，当x＞0时，解得x=1，或x=，是函数f（x）=（3﹣x2）•ln|x|在x＞0时的两个零点，‎ 当x=时，f（）=（3﹣（）2）•ln||=＜0，‎ 可得选项B不正确，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB=2，CD=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角的度数为（　　）‎ A．90° B．45° C．60° D．30°‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】设G为AD的中点，连接GF，GE，利用三角形中位线定理，可证出EF⊥GF且∠FEG或其补角即为EF与CD所成角．最后在Rt△EFG中，利用正弦的定义算出∠GEF=30°，即得EF与CD所成的角的度数．‎ ‎【解答】解：设G为AD的中点，连接GF，GE，‎ 则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线．‎ 由此可得，GF∥AB且GF=AB=1，‎ GE∥CD，且GE=CD=2，‎ ‎∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成角．‎ 又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF 因此，Rt△EFG中，GF=1，GE=2，‎ 由正弦的定义，得sin∠GEF==，可得∠GEF=30°．‎ ‎∴EF与CD所成的角的度数为30°‎ 故选：D ‎　‎ ‎7．将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）‎ A．在区间[，]上单调递减 B．在区间[，]上单调递增 C．在区间[﹣，]上单调递减 D．在区间[﹣，]上单调递增 ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．‎ ‎【解答】解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，‎ 得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．‎ 即y=3sin（2x﹣）．‎ 当函数递增时，由，得．‎ 取k=0，得．‎ ‎∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．设a，b，c均为正数，且2a=，，，则（　　）‎ A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c ‎【考点】对数值大小的比较．‎ ‎【分析】比较大小 可以借助图象进行比较，观察题设中的三个数a，b，c，可以借助函数图象的交点的位置进行比较．‎ ‎【解答】解：分别作出四个函数y=，‎ y=2x，y=log2x的图象，观察它们的交点情况．‎ 由图象知：‎ ‎∴a＜b＜c．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知：该几何体由上下两部分组成，上面是一个球的，下面是一个半圆柱．‎ ‎【解答】解：由三视图可知：该几何体由上下两部分组成，上面是一个球的，下面是一个半圆柱．‎ ‎∴该几何体的体积V=+‎ ‎=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则p的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n 的值，当直到退出循环，输出n的值为4，从而可解得p的取值范围．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 n=1，S=0‎ 满足条件S＜P，S=，n=2‎ 满足条件S＜P，S==，n=3‎ 满足条件S＜P，S=+=，n=4，‎ 不满足条件，退出循环，输出n的值为4，‎ ‎∴p的取值范围是，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，直线l经过点F1及虚轴的一个端点，且点F2到直线l的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用点F2到直线l的距离等于实半轴的长，可得=a，得出a与c之间的等量关系，进而求出离心率．‎ ‎【解答】解：由题意，直线l的方程为y=x+b，即bx﹣cy+bc=0，‎ ‎∵点F2到直线l的距离等于实半轴的长，‎ ‎∴=a，‎ ‎∴4（c2﹣a2）c2=a2（2c2﹣a2），‎ ‎∴4e4﹣6e2+1=0，‎ ‎∵e＞1，∴e=，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎12．数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），且，记Sn为数列{bn}的前n项和，则S24=（　　）‎ A．294 B．174 C．470 D．304‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】nan+1=（n+1）an+n（n+1），可得﹣=1，利用等差数列的定义通项公式可得an=n2，bn=n2，可得b3k﹣2=（3k﹣2）2=﹣（3k﹣2）2，同理可得b3k﹣1=﹣（3k﹣1）2，‎ b3k=（3k）2，k∈N*．即可得出．‎ ‎【解答】解：∵nan+1=（n+1）an+n（n+1），‎ ‎∴﹣=1，‎ ‎∴数列是等差数列，公差与首项都为1．‎ ‎∴=1+（n﹣1），可得an=n2．‎ ‎∵，‎ ‎∴bn=n2，‎ ‎∴b3k﹣2=（3k﹣2）2=﹣（3k﹣2）2，‎ 同理可得b3k﹣1=﹣（3k﹣1）2，‎ b3k=（3k）2，k∈N*．‎ ‎∴b3k﹣2+b3k﹣1+b3k═﹣（3k﹣2）2﹣（3k﹣1）2+（3k）2=9k﹣，‎ 则S24=9×（1+2+…+8）﹣=304．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．设向量=（1，2m），=（m+1，1），=（2，m），若（+）⊥，则||=　　．‎ ‎【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量的坐标运算．‎ ‎【分析】由=（1，2m），=（m+1，1），=（2，m），知=（3，3m），由（+）⊥，知（）=3（m+1）+3m=0，由此能求出|．‎ ‎【解答】解：∵=（1，2m），=（m+1，1），=（2，m），‎ ‎∴=（3，3m），‎ ‎∵（+）⊥，‎ ‎∴（）=3（m+1）+3m=0，‎ ‎∴m=﹣，即 ‎∴=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=8分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=　　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路．‎ ‎【解答】解：由题意，点P（1，）在圆（x﹣2）2+y2=8的内部，‎ 圆心为C（2，0），要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥CP，‎ 所以k=﹣=，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎15．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为2000元，设备乙每天的租赁费为3000元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为　23000　元．‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】设需租赁甲种设备x天，乙种设备y天，可得 ‎，画出可行域，作出目标函数为z=2000x+3000y．‎ ‎【解答】解：设需租赁甲种设备x天，乙种设备y天，‎ 则 目标函数为z=2000x+3000y．‎ 作出其可行域，易知当x=4，y=5时，‎ z=2000x+3000y有最小值23000元．‎ 故答案为：23000．‎ ‎　‎ ‎16．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象的对称中心为M（x0，f（x0）），记函数f（x）的导函数为g（x），则有g'（x0）=0．若函数f（x）=x3﹣3x2，则=　﹣8066　．‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】推导出函数f（x）=x3﹣3x2的对称中心为（1，﹣2），由此能求出的值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x3﹣3x2，∴g（x）=3x2﹣6x，∴g′（x）=6x﹣6，‎ ‎∵g′（x0）=6x0﹣6=0，∴x0=1，∴f（x0）=f（1）=f（1）=1﹣3=﹣2，‎ ‎∴函数f（x）=x3﹣3x2的对称中心为（1，﹣2），‎ ‎∴f（x）+f（2﹣x）=﹣4，‎ ‎∴=﹣4×2016+f（1）=﹣8064+1﹣3=﹣8066．‎ 故答案为：﹣8066．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，AC=，△ABC的面积S△ABC=，DC=‎ ‎（Ⅰ）求BC的长；‎ ‎（Ⅱ）求∠ACD的大小．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】设∠BAC=α，∠CAD=β，由条件可得，‎ ‎（1）由题意和三角形的面积公式求出sinα，由条件和平方关系求出cosα，由余弦定理求出BC的值；‎ ‎（2）由条件和诱导公式求出sinβ，由条件和平方关系求出cosβ，由条件和正弦定理求出sinD，由平方关系求出cosD，由两角和的正弦公式求出sin∠ACD，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出∠ACD．‎ ‎【解答】解：设∠BAC=α，∠CAD=β，因AB⊥AD，则，‎ ‎（1）在△ABC中，S△ABC=，‎ 所以，解得，‎ 则…‎ 由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cosα=4，‎ 即BC=2； …‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，…‎ 在△ACD中，由正弦定理得得：‎ ‎，则…‎ ‎∴sin∠ACD=sin[π﹣（β+D）]=sin（β+D）‎ ‎=sinβcosD+sinDcosβ==，‎ 因为，所以． …‎ ‎　‎ ‎18．某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：‎ 女性用户：‎ 分值区间 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100]‎ 频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎50‎ ‎10‎ 男性用户：‎ 分值区间 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100]‎ 频数 ‎45‎ ‎75‎ ‎90‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不要求计算具体值，给出结论即可）；‎ ‎（Ⅱ）分别求女性用户评分的众数，男性用户评分的中位数；‎ ‎（Ⅲ）如果评分不低于70分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关；‎ 女性用户 男性用户 合计 ‎“认可”手机 ‎　140　‎ ‎　180　‎ ‎　320　‎ ‎“不认可”手机 ‎　60　‎ ‎　120　‎ ‎　180　‎ 合计 ‎　200　‎ ‎　300　‎ ‎　500　‎ P（K2≥x0）‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ x0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ 附：．‎ ‎【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用所给数据，可得频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小；‎ ‎（Ⅱ）由女性用户频率分布直方图知，女性用户评分的众数；在男性用户频率分布直方图中，中位数两边的面积相等，求出男性用户评分的中位数；‎ ‎（Ⅲ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：‎ 由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大． …‎ ‎（Ⅱ）由女性用户频率分布直方图知，女性用户评分的众数为75； …‎ 在男性用户频率分布直方图中，中位数两边的面积相等．设中位数为x，则70＜x＜80‎ 于是10×0.015+10×0.025+（x﹣70）×0.03=0.5，解得…‎ ‎（Ⅲ）2×2列联表如下图：‎ 女性用户 男性用户 合计 ‎“认可”手机 ‎140‎ ‎180‎ ‎320‎ ‎“不认可”手机 ‎60‎ ‎120‎ ‎180‎ 合计 ‎200‎ ‎300‎ ‎500‎ ‎，所以有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关． …‎ ‎　‎ ‎19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=2，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．‎ ‎（Ⅰ） 求证：SB∥平面ACM； ‎ ‎（Ⅱ） 求点C到平面AMN的距离．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连结BD交AC于E，连结ME，推导出ME∥SB，由此能证明SB∥平面ACM． ‎ ‎（Ⅱ）推导出CN为点C到平面AMN的距离，由此能求出点C到平面AMN的距离．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）连结BD交AC于E，连结ME．‎ ‎∵ABCD是正方形，∴E是BD的中点．‎ ‎∵M是SD的中点，∴ME是△DSB的中位线．‎ ‎∴ME∥SB． …‎ 又∵ME⊂平面ACM，SB⊄平面ACM，‎ ‎∴SB∥平面ACM． …‎ 解：（Ⅱ）由条件有DC⊥SA，DC⊥DA，‎ ‎∴DC⊥平面SAD，∴AM⊥DC．‎ 又∵SA=AD，M是SD的中点，∴AM⊥SD．‎ ‎∴AM⊥平面SDC．∴SC⊥AM．…‎ 由已知SC⊥AN，∴SC⊥平面AMN．‎ 于是CN⊥面AMN，则CN为点C到平面AMN的距离 …‎ 在Rt△SAC中，，‎ 于是 ‎∴点C到平面AMN的距离为． …‎ ‎　‎ ‎20．平面上动点P到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=﹣2的距离小1．‎ ‎（Ⅰ） 求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F作直线与曲线C交于两点A，B，与直线l交于点M，求|MA|•|MB|的最小值．‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系；轨迹方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ） 利用平面上动点P到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=﹣2的距离小1，建立方程，即可求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）与方向相同，故，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理及基本不等式，即可求|MA|•|MB|的最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），由题意知：，且y≥0，‎ ‎∴，化简得：x2=4y，‎ 即为动点P轨迹C的方程； …‎ ‎（Ⅱ）设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，﹣2），‎ 由题意直线AB的斜率k 存在且k≠0，设其方程为y=kx+1，则，得 由，消去y得x2﹣4kx﹣4=0，‎ 于是△=16（k2+1）＞0恒成立，且x1+x2=4k，x1x2=﹣4，‎ 又，‎ ‎…‎ ‎∵与方向相同，故，，‎ ‎=，‎ 当且仅当时取等号，‎ 故|MA|•|MB|的最小值为．…‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=ln﹣ax2+x，‎ ‎（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；‎ ‎（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣4ln2．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值的个数；‎ ‎（2）根据x1，x2是方程2ax2﹣x+1=0的两根，得到，，求出f（x1）+f（x2），根据函数的单调性证明即可．‎ ‎【解答】解：（1）由，‎ 得：，‎ ‎（ⅰ）a=0时，，‎ x∈（0，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，‎ 所以x=1，f（x）取得极小值，x=1是f（x）的一个极小值点．‎ ‎（ⅱ）a＜0时，△=1﹣8a＞0，令f′（x）=0，得 显然，x1＞0，x2＜0，‎ ‎∴，‎ f（x）在x=x1取得极小值，f（x）有一个极小值点．‎ ‎（ⅲ）a＞0时，△=1﹣8a≤0即时，f′（x）≤0，‎ f（x）在（0，+∞）是减函数，f（x）无极值点．‎ 当时，△=1﹣8a＞0，令f′（x）=0，得 当x∈（0，x1）和x∈（x2，+∞）f′（x）＜0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0，‎ ‎∴f（x）在x1取得极小值，在x2取得极大值，所以f（x）有两个极值点．‎ 综上可知：（ⅰ）a≤0时，f（x）仅有一个极值点；‎ ‎（ⅱ） 当时，f（x）无极值点；‎ ‎（ⅲ）当时，f（x）有两个极值点．‎ ‎（2）证明：由（1）知，当且仅当a∈（0，）时，f（x）有极小值点x1和极大值点x2，‎ 且x1，x2是方程2ax2﹣x+1=0的两根，‎ ‎∴，，‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=，‎ 设，‎ ‎，‎ ‎∴时，g（a）是减函数，，‎ ‎∴，‎ ‎∴f（x1）+f（x2）＞3﹣4ln2．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）‎ ‎22．在极坐标系中，已知三点O（0，0），A（2，），B（2，）．‎ ‎（1）求经过O，A，B的圆C1的极坐标方程；‎ ‎（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为（θ是参数），若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．‎ ‎【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）求出圆C1的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程；‎ ‎（2）将圆C2化成普通方程，根据两圆外切列出方程解出a．‎ ‎【解答】解：（1）将O，A，B三点化成普通坐标为O（0，0），A（0，2），B（2，2）．‎ ‎∴圆C1的圆心为（1，1），半径为，‎ ‎∴圆C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，‎ 将代入普通方程得ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0，‎ ‎∴ρ=2sin（）．‎ ‎（2）∵圆C2的参数方程为（θ是参数），‎ ‎∴圆C2的普通方程为（x+1）2+（y+1）2=a2．∴圆C2的圆心为（﹣1，﹣1），半径为|a|，‎ ‎∵圆C1与圆C2外切，∴2=+|a|，解得a=±．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）‎ ‎23．已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|．‎ ‎（Ⅰ）求不等式f（x）＜4的解集；‎ ‎（Ⅱ）若不等式f（x）﹣|a﹣1|＜0有解，求a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；‎ ‎（Ⅱ）根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，问题转化为|a﹣1|＞f（x）min，求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x+1|+|x﹣1|＜4‎ ‎⇔或或，‎ 解得：﹣2＜x≤﹣1或﹣1＜x≤1或1＜x＜2，‎ 故不等式的解集为（﹣2，2）； …‎ ‎（Ⅱ）∵f（x）=|x+1|+|x﹣1|≥|（x+1）﹣（x﹣1）|=2，‎ ‎∴f（x）min=2，当且仅当（x+1）（x﹣1）≤0时取等号，‎ 而不等式f（x）﹣|a﹣1|＜0有解⇔|a﹣1|＞f（x）min=2，‎ 又|a﹣1|＞2⇔a﹣1＜﹣2或a﹣1＞2‎ 故a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）． …‎ ‎　‎ ‎2017年3月2日