2017-2018学年河北省邢台市高二上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年河北省邢台市高二上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年河北省邢台市高二上学期第三次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．命题“若，则中至少有一个大于”的否命题为（ ）‎ A. 若中至少有一个大于，则 B. 若，则中至多有一个大于 C. 若，则中至少有一个大于 D. 若，则都不大于 ‎【答案】D ‎【解析】“中至少有一个大于”表示“中只有一个大于”或“中两个都大于”，故其否定为“没有一个大于”，所以所给命题的否命题为“若，则都不大于”。选D。‎ ‎2．下列方程表示焦点在轴上且短轴长为的椭圆是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由条件得只有选项A中的椭圆满足短轴长为2，且焦点在y轴上。选A。‎ ‎3．如图，在四棱锥中， 平面，底面是梯形， ,且，则下列判断错误的是（ ）‎ A. 平面 B. 与平面所成的角为 C. D. 平面平面 ‎【答案】C ‎【解析】选项A中，由于， 平面， 平面，所以平面。故A正确。‎ 选项B中， 平面，所以即为与平面所成的角，又，因此，所以B正确。‎ 选项C中，由于根据条件无法得到平面，所以是错误的。故C不正确。‎ 选项D中，可证得平面，又 平面，所以平面平面，因此D正确。‎ 综上选C。‎ ‎4．若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的焦距为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】双曲线方程即为，所以，又，可得，所以。选B。‎ ‎5．设有下面四个命题：‎ 抛物线的焦点坐标为；‎ ‎，方程表示圆；‎ ‎，直线与圆都相交；‎ 过点且与抛物线有且只有一个公共点的直线有条.‎ 那么，下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于：由题意可得，命题为真命题；‎ 对于：当时，方程为，表示圆，故命题为真命题；‎ 对于：由于直线过定点（3,2），此点在圆外，故直线与圆不一定相交，所以命题为假命题；‎ 对于：由题意得点在抛物线上，所以过该点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条，一条是过该点的切线，一条是过该点且与对称轴平行的直线。所以命题为真。‎ 综上可得为真命题，选B。‎ ‎6．若动圆与圆和圆都外切，则动圆的圆心的轨迹（ ）‎ A. 是椭圆 B. 是一条直线 C. 是双曲线的一支 D. 与的值有关 ‎【答案】D ‎【解析】设动圆的半径为r，由两圆外切可得，‎ 所以.‎ ‎①当时，动圆的圆心的轨迹是直线。‎ ‎②当时，所以，此时动圆的圆心的轨迹是双曲线的一支。‎ 综上可得选D。‎ ‎7．当双曲线的离心率取得最小值时， 的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，当且仅当，即时等号成立。此时双曲线的方程为，所以渐近线方程为 ‎。选A。‎ ‎8．过抛物线的焦点作斜率大于的直线交抛物线于 两点（在的上方），且与准线交于点，若，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 如图，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，设。‎ 由得，所以，整理得 ‎。选A。‎ ‎9．已知为正数，则“”是“ ”的 （ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】设，则在上单调递减。‎ 若，则，即；‎ 若，即，则有。‎ 综上可得“”是“ ”的充要条件。‎ 选C。‎ ‎10．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据几何体三视图可以看出原组合体的上面一个四棱锥，下面为圆柱的一半(如图所示)，其体积一个四棱锥的体积和一个半圆柱的体积之和： .‎ ‎【点睛】三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．‎ ‎(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．‎ ‎(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．‎ 本题由正视图和俯视图可以想象出原几何体为组合体，下部分为半个圆柱，由正视图和侧视图可以想象出组合体的上部分为四棱锥，画出几何体的直观图，借助三视图修改直观图并标清数据，利用体积公式求出体积.‎ ‎11．在平面直角坐标系中，已知为函数图象上一点，‎ 若，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得，所以函数图象为双曲线的上支，又点分别为双曲线的上、下焦点。‎ 由双曲线的定义得，又，所以。‎ 在中，由余弦定理得。选C。‎ 点睛：‎ 双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常涉及到正（余）弦定理、双曲线的定义、三角形的面积公式。解题中常用到定义式的平方，再结合余弦定理和三角形的面积公式求解。‎ ‎12．过点的直线与抛物线相交于两点，且，则点到原点的距离为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，过A,B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D,E。‎ ‎∵，∴。‎ 由抛物线的定义得，又，‎ 解得。‎ ‎∴。选D。‎ 点睛：在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义的应用。抛物线定义有两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．‎ 二、填空题 ‎13．若直线与直线垂直，则的倾斜角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得直线的斜率为，所以直线线的倾斜角为。‎ 答案： ‎ ‎14．如图， 是球的直径上一点，平面截球所得截面的面积为，平面， ，且点到平面的距离为1，则球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设球的半径为 且点 到平面 的距离为1， ∴球心 到平面的距离 为1， ∵截球所得截面的面积为 ， ∴截面圆的半径 为3， 故由R ∴球的表面积 点睛：本题考查的知识点是球的表面积公式，若球的截面圆半径为，球心距为，球半径为 ，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理 ‎15．若分别是椭圆短轴上的两个顶点，点是椭圆上异于的任意一点，若直线与直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设点坐标为，则。‎ 由题意得，解得。‎ 所以椭圆的方程为，因此。‎ 答案： ‎ 点睛：求椭圆离心率或其范围的方法 ‎（1）根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解． ‎ ‎（2）由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标等。‎ ‎16．如图，在中， ，点为的中点，点为线段垂直平分线上的一点，且，四边形为矩形，固定边，在平面内移动顶点，使得的内切圆始终与切于线段的中点，且在直线的同侧，在移动过程中，当取得最小值时，点到直线的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设内切圆分别与AC,BC切于点F,G，BE的中点为H，则，所以.‎ ‎∴点C在以A,B为焦点的双曲线的右支上。‎ 以AB所在的直线为x轴，以ED所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，‎ 则B(2,0)，D(0,3)，易得，故点C在双曲线的右支上。‎ ‎∵,所以当三点共线时，且C在线段BD上时， 取得最小值。‎ 将直线的方程与联立消去y整理得，解得。结合图形可得取得最小值时点C的横坐标为，即点C到AH的距离为。‎ 答案： ‎ 点睛：本题的综合性较强，解题时首先要从题意出发分析得到点C的轨迹，然后根据几何图形的性质得到，并由此得到当三点共线时可得最小值，这些地方都体现了解析几何与平面几何联系十分紧密，解题时要充分考虑平面几何知识的运用。‎ 三、解答题 ‎17．已知； 方程表示焦点在轴上的椭圆.‎ ‎（1）当时，判断的真假；‎ ‎（2）若为假，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 真 (2) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ 由题意可得当为真时，当为真时。（1）当时可得假真，故为真。（2）从为假的对立考虑，可得为真时，从而可得当为假时。‎ 试题解析：‎ 因为，‎ 所以若为真，则，‎ 由得，‎ 若为真，则，解得。‎ ‎（1）当时， 为假命题为真命题，故为真命题；‎ ‎（2）若为真，则 ，‎ 所以，若为假，则或，‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎18．在平面直角坐标系中，已知，动点满足，记动点的轨迹为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若直线与交于两点，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）设出点M的坐标，由可得到x,y的关系式，即为的方程。（2）根据直线和圆相交时的弦长的计算方法可以得到圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式求得。‎ 试题解析：‎ ‎（1）设点的坐标为，‎ 则，‎ 所以，即，‎ 所以的方程为，.‎ ‎（2）由（1）知为圆心是，半径是的圆，‎ 设到直线的距离为，则，‎ 因为，‎ 所以，‎ 由点到直线的距离公式得，‎ 解得.‎ ‎19．已知椭圆的一个焦点为，设椭圆的焦点为椭圆短轴的顶点，且椭圆过点.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于两点，求.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意得，设椭圆的方程为，则有，由椭圆过点可得，由以上两式解得即可得到的方程。（2）将直线方程、椭圆方程联立消元后得到，由弦长公式可得。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由椭圆的一个焦点为，‎ 得.‎ 设椭圆的方程为，‎ 则，①‎ 又，②‎ 由①②解得，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）由，消去整理得，‎ 设，‎ 则，‎ 所以。‎ ‎20．如图，四边形是正四棱柱的一个截面，此截面与棱交于点 ， ,其中分别为棱上一点.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）为线段上一点，若四面体与四棱锥的体积相等，求的长.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意得，可得平面，从而，可证得平面，于是可得平面平面。（2）由题意可得四面体的体积. 取的中点，连，可得，又有，故平面。过作，交于，则平面，从而由可得，所以。‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：在正四棱柱中， 底面， 底面 ‎，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以平面，‎ 又平面 所以，‎ 因为，‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎(2)解：在中， ,所以，‎ 因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 又，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以四面体的体积.‎ 取的中点，连，因为，所以，‎ 又平面，所以，‎ 所以平面,‎ 过作，交于，则平面，‎ 所以.‎ 故.‎ 又,‎ 所以.‎ ‎21．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，使得，再过作直线，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意得，根据离心率为可得，故可得到C的方程。（2）由为线段的中点。设，当时，由“点差法”可得直线的斜率为，从而直线的方程可求得为 ‎，过定点；当时， 过点。故可得直线过点。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意知，‎ 又椭圆的离心率为，所以，‎ 所以，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）因为直线的方程为，设 ，‎ ‎①当时，设，显然，‎ 由可得，即,‎ 又，所以为线段的中点，‎ 故直线的斜率为，‎ 又，‎ 所以直线的方程为 即，显然恒过定点，‎ ‎②当时， 过点，‎ 综上可得直线过定点.‎ 点睛：圆锥曲线中定点问题的常见解法 ‎（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；‎ ‎（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．‎ ‎22．已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与抛物线交于两点，过这两点分别作抛物线的切线，且这两条切线相交于点.‎ ‎（1）若的坐标为，求的值；‎ ‎（2）设线段的中点为，点的坐标为，过的直线与线段为直径的圆相切，切点为，且直线与抛物线交于两点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）抛物线的焦点到准线的距离为可得 ‎，从而得到抛物线的方程，然后设出切线切线的方程为，由求得，由切点在抛物线上可得到，即为所求。（2）由（1）得到以线段为直径的圆为圆。由题意只需考虑斜率为正数的直线即可，根据几何知识得，故的方程为，由弦长公式可得，又，所以，最后根据可得。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由抛物线的焦点到准线的距离为，得，‎ 则抛物线的方程为.‎ 设切线的方程为，代入得，‎ 由得，‎ 当时，点的横坐标为，‎ 则，‎ 当时，同理可得.‎ 综上得。‎ ‎（2）由（1）知， ，‎ 所以以线段为直径的圆为圆，‎ 根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线即可，‎ 因为为直线与圆的切点，‎ 所以， ，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以直线的方程为，‎ 由消去整理得，‎ 因为直线与圆相交，所以。‎ 设，则，‎ 所以，‎ 所以，‎ 设，因为，所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 点睛：‎ ‎（1）求抛物线的切线和弦长问题可用代数法求解，注意联立消元后判别式在解题中的应用。另外，解决解析几何问题还要注意平面几何知识的应用。‎ ‎（2）圆锥曲线中的范围问题，解决时可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：‎ ‎①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；‎ ‎②利用基本不等式求出参数的取值范围；‎ ‎③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎