数学理卷·2018届山东省临沂市第十九中学高三下学期第十二次质量检测（2018

数学理卷·2018届山东省临沂市第十九中学高三下学期第十二次质量检测（2018

‎2018届山东省临沂市第十九中学 高三下学期第十二次质量检测 数学（理）试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知i为虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝(　　)‎ A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}‎ ‎3．已知向量＝(1，m)，＝(3，－2)，且()⊥，则m＝(　　)‎ A．－8 B．－6 C．6 D．8‎ ‎4．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为(　　)‎ A. B．4 C．2 D. ‎5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎6．若将函数的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则φ最小时，tanφ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于(　　)‎ A．21 B．19 C．9 D．－11‎ ‎8.设随机变量X服从二项分布X～B(5，)，则函数＋X 存在零点的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎9．如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，其中侧棱长为8cm，底面边长为12cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为（　　）‎ A．36πcm2 B．64πcm2 C． 80πcm2 D．100πcm2‎ ‎10. 如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，则该几何体的侧视图为(　　)‎ ‎11．已知双曲线与双曲线的离心率相同，且双曲线C2的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF2，，则双曲线C2的实轴长为（　　）‎ A．4 B． C．8 D． ‎ ‎12．函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定φ（A，B）=叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”．设曲线y=ex上不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t•φ（A，B）＜3恒成立，则实数t的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，3] B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，1] D．[1，3]‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 若x，y满足则2x＋y的最大值为 ‎ ‎14. (x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)‎ ‎15．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1 的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m=56，那么可以估计π≈　　．（用分数表示）‎ ‎16．设函数，，对任意，∈(0，＋∞)，不等式恒成立，则正数的取值范围是________．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．‎ ‎18．某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲，乙，丙三地实施人工降雨，其实验统计结果如下 方式 实施地点 大雨 中雨 小雨 模拟实验次数【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A 甲 ‎2次 ‎6次 ‎4次 ‎12次 B 乙 ‎3次 ‎6次 ‎3次 ‎12次 C 丙 ‎2次 ‎2次 ‎8次 ‎12次 假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，且不考虑洪涝灾害，请根据统计数据：‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；‎ ‎（Ⅱ）考虑不同地区的干旱程度，当雨量达到理想状态时，能缓解旱情，若甲、丙地需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，记“甲，乙，丙三地中缓解旱情的个数”为随机变量X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎19. 如图1，在直角梯形 ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图2.‎ ‎(1)证明：CD⊥平面A1OC；‎ ‎(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎20. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点．‎ ‎(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；‎ ‎(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程．‎ ‎21.已知， ‎ ‎(1)对一切∈(0，＋∞)，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎(2)证明：对一切∈(0，＋∞)，都有成立．‎ 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．作答时请写清题号．‎ ‎22．(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：，曲线C2：（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）曲线C3：（ρ＞0，）分别交C1，C2于A，B两点，当取何值时， 取得最大值．‎ ‎23．(本小题满分10分)选修45：不等式选讲 已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集．‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.‎ 临沂第十九中学高三年级第十二次质量检测 理科数学 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C C D C C B C C B B D A ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎16．解析　因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立，所以≥.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 因为g(x)＝，所以g′(x)＝e2－x(1－x)．当00；当x>1时，g′(x)<0，‎ 所以g(x)在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．所以当x＝1时，g(x)取到最大值，即g(x)max＝g(1)＝e.又f(x)＝e2x＋≥2e(x>0)．当且仅当e2x＝，即x＝时取等号，故f(x)min＝2e.所以＝＝，应有≥，又k>0，所以k≥1.‎ 三、解答题（本大题共6题，合计70分.）‎ ‎17解　(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，‎ 由得∴{bn}的通项公式bn＝b1qn－1＝3n－1，‎ 又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.‎ ‎∴{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1,2,3，…)．‎ ‎(2)设数列{cn}的前n项和为Sn.∵cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，‎ ‎∴Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1＝2(1＋2＋…＋n)－n＋＝2×－n＋＝n2‎ ‎＋.‎ ‎18解：（Ⅰ）设事件M：“甲、乙、丙三地都恰为中雨”，则…..‎ ‎（Ⅱ）设事件A、B、C分别表示“甲、乙、丙三地能缓解旱情”，则由题知 且X 的可能取值为0，1，2，3‎ ‎…分布列如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎3‎ P ‎19. (1)证明　在题图1中，连接EC，因为AB＝BC＝1，AD＝2，‎ ‎∠BAD＝，AD∥BC，E为AD中点，所以BC綊ED，BC綊AE，‎ 所以四边形BCDE为平行四边形，故有CD∥BE，所以四边形ABCE为正方形，所以BE⊥AC，‎ 即在题图2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，且A1O∩OC＝O，从而BE⊥平面A1OC，又CD∥BE，‎ 所以CD⊥平面A1OC.‎ ‎(2)解　由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，又由(1)知，BE⊥OA1，BE⊥OC，‎ 所以∠A1OC为二面角A1BEC的平面角，所以∠A1OC＝.‎ 如图，以O为原点，以OB，OC，OA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 因为A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，BC∥ED，所以B，E，‎ A1，C，得＝，＝，‎ ＝＝(－，0,0)，设平面A1BC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2＝(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD夹角为θ，‎ 则得取n1＝(1,1,1)；得取n2＝(0,1,1)，从而cos θ＝|cosn1，n2|＝＝，即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为.‎ ‎20．解　(1)由已知得b＝4，且＝，即＝，∴＝，解得a2＝20，∴椭圆方程为＋＝1.则4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立，消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝，∴所求弦长|MN|＝|x2－x1|＝.‎ ‎(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，‎ 由三角形重心的性质知＝2，又B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，故得x0＝3，y0＝－2，即Q的坐标为(3，－2)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，‎ 且＋＝1，＋＝1，以上两式相减得＋＝0，∴kMN＝＝－· ‎＝－×＝，故直线MN的方程为y＋2＝(x－3)，即6x－5y－28＝0.‎ ‎21(1)解　∀x∈(0，＋∞)，有2xln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋，‎ 设h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)，则h′(x)＝，‎ x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，‎ 所以h(x)min＝h(1)＝4.因为对一切x∈(0，＋∞)，‎ ‎2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4.‎ ‎(2)证明　问题等价于证明 xln x>－(x∈(0，＋∞))．‎ f(x)＝xln x(x∈(0，＋∞))的最小值是－，‎ 当且仅当x＝时取到，设m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，‎ 则m′(x)＝，易知m(x)max＝m(1)＝－，‎ 当且仅当x＝1时取到．‎ 从而对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．‎ ‎22．解：（Ⅰ）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，C1的极坐标方程为，‎ C2的普通方程为x2+（y﹣1）2=1，即x2+y2﹣2y=0，对应极坐标方程为ρ=2sinθ．‎ ‎（Ⅱ）曲线C3的极坐标方程为θ=α（ρ＞0，）‎ 设A（ρ1，α），B（ρ2，α），则，ρ2=2sin所以===‎ 又，，所以当，即时，取得最大值．‎