数学卷·2018届河南师大附中高二下学期2月月考数学试卷(文科) (解析版)

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

数学卷·2018届河南师大附中高二下学期2月月考数学试卷(文科) (解析版)

‎2016-2017学年河南师大附中高二(下)2月月考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎2.已知角α的终边经过点P(﹣3,﹣4),则sinα=(  )‎ A.﹣ B.﹣ C. D.‎ ‎3.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(  )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎4.设,是向量,则“||=||”是“|+|=|﹣|”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.函数f(x)=ln(x+1)﹣的零点所在的大致区间是(  )‎ A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)‎ ‎6.在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切,则圆C面积的最小值为(  )‎ A.π B.π C.(6﹣2)π D.π ‎7.函数f(x)=sinx+sin(﹣x)的图象的一条对称轴为(  )‎ A.x= B.x=π C.x= D.x=‎ ‎8.设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列{an}的前7项的和为(  )‎ A.63 B.64 C.127 D.128‎ ‎9.从圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两条切线夹角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D.0‎ ‎10.如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.设函数f(x)=ln(1+|x|)﹣,则使得f(x)>f(2x﹣1)成立的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,)∪(1,+∞) B.(,1)‎ C.() D.(﹣∞,﹣,)‎ ‎12.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,a=2,,则b的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.执行如图的程序框图,如果输入x,y∈R,那么输出的S的最大值为  .‎ ‎14.若函数f(x)=x3﹣3bx+3b在(0,1)内有极小值,则b的取值范围为  .‎ ‎15.直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点,则a的取值范围是  .‎ ‎16.已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆(x﹣1)2+(y﹣a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17.己知函数三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(B)=1.‎ ‎(I)求角B的大小;‎ ‎(II)若,求c的值.‎ ‎18.已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,且其图象在x=1处切线斜率为﹣3‎ ‎(1)求函数的单调区间;‎ ‎(2)求函数的极大值与极小值的差.‎ ‎19.设Sn是数列{an}的前n项和,已知.‎ ‎(1)求a2,a3,并求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{nan}的前n项和.‎ ‎20.如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.‎ ‎(1)求证:VB∥平面MOC;‎ ‎(2)求证:平面MOC⊥平面VAB ‎(3)求三棱锥V﹣ABC的体积.‎ ‎21.某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.‎ ‎(1)根据茎叶图计算样本均值;‎ ‎(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人;‎ ‎(3)从抽出的6名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.‎ ‎22.如图,椭圆E: +=1(a>b>0)经过点A(0,﹣1),且离心率为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程;‎ ‎(Ⅱ)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ斜率之和为2.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年河南师大附中高二(下)2月月考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎【考点】集合的确定性、互异性、无序性;集合中元素个数的最值.‎ ‎【分析】利用已知条件,直接求出a+b,利用集合元素互异求出M中元素的个数即可.‎ ‎【解答】解:因为集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},‎ 所以a+b的值可能为:1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8,‎ 所以M中元素只有:5,6,7,8.共4个.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎2.已知角α的终边经过点P(﹣3,﹣4),则sinα=(  )‎ A.﹣ B.﹣ C. D.‎ ‎【考点】任意角的三角函数的定义.‎ ‎【分析】利用三角函数定义求解.‎ ‎【解答】解:∵角α的终边经过点P(﹣3,﹣4),‎ ‎∴x=﹣3,y=﹣4,r==5,‎ ‎∴sinα==﹣.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎3.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(  )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】由三视图知几何体是一个四棱锥,四棱锥的底面是一个平行四边形,结合三视图的数据,利用体积公式得到结果.‎ ‎【解答】解:由三视图知几何体是一个四棱锥,‎ 四棱锥的底面是一个平行四边形,有两个等腰直角三角形,直角边长为1组成的平行四边形,‎ 四棱锥的一条侧棱与底面垂直,且侧棱长为1,‎ ‎∴四棱锥的体积是.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎4.设,是向量,则“||=||”是“|+|=|﹣|”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】充要条件;向量的模.‎ ‎【分析】根据向量模相等的几何意义,结合充要条件的定义,可得答案.‎ ‎【解答】解:若“||=||”,则以,为邻边的平行四边形是菱形;‎ 若“|+|=|﹣|”,则以,为邻边的平行四边形是矩形;‎ 故“||=||”是“|+|=|﹣|”的既不充分也不必要条件;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.函数f(x)=ln(x+1)﹣的零点所在的大致区间是(  )‎ A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系.‎ ‎【分析】函数f(x)=ln(x+1)﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反.‎ ‎【解答】解:∵f(1)=ln(1+1)﹣2=ln2﹣2<0,‎ 而f(2)=ln3﹣1>lne﹣1=0,‎ ‎∴函数f(x)=ln(x+1)﹣的零点所在区间是 (1,2),‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎6.在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切,则圆C面积的最小值为(  )‎ A.π B.π C.(6﹣2)π D.π ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【分析】如图,设AB的中点为C,坐标原点为O,圆半径为r,由已知得|OC|=|CE|=r,过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF,交AB于D,交直线2x+y﹣4=0于F,则当D恰为AB中点时,圆C的半径最小,即面积最小.‎ ‎【解答】解:如图,设AB的中点为C,坐标原点为O,圆半径为r,‎ 由已知得|OC|=|CE|=r,‎ 过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF,‎ 交AB于D,交直线2x+y﹣4=0于F,‎ 则当D恰为OF中点时,圆C的半径最小,即面积最小 此时圆的直径为O(0,0)到直线2x+y﹣4=0的距离为:‎ d==,‎ 此时r=‎ ‎∴圆C的面积的最小值为:Smin=π×()2=.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.函数f(x)=sinx+sin(﹣x)的图象的一条对称轴为(  )‎ A.x= B.x=π C.x= D.x=‎ ‎【考点】函数的图象与图象变化.‎ ‎【分析】先化简函数,再利用正弦函数的性质,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:f(x)=sinx+sin(﹣x)=sinx+cosx+sinx=sin(x+),‎ ‎∴x=是函数f(x)=sinx+sin(﹣x)的图象的一条对称轴,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列{an}的前7项的和为(  )‎ A.63 B.64 C.127 D.128‎ ‎【考点】等比数列的前n项和.‎ ‎【分析】先由通项公式求出q,再由前n项公式求其前7项和即可.‎ ‎【解答】解:因为a5=a1q4,即q4=16,‎ 又q>0,所以q=2,‎ 所以S7==127.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎9.从圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两条切线夹角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D.0‎ ‎【考点】圆的切线方程.‎ ‎【分析】先求圆心到P的距离,再求两切线夹角一半的三角函数值,然后求出结果.‎ ‎【解答】解:圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的圆心为M(1,1),半径为1,从外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,‎ 则点P到圆心M的距离等于,每条切线与PM的夹角的正切值等于,‎ 所以两切线夹角的正切值为tanθ==,该角的余弦值等于,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎10.如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角.‎ ‎【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B,得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角,在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可.‎ ‎【解答】解.如图,连接BC1,A1C1,‎ ‎∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角,‎ 设AB=a,AA1=2a,∴A1B=C1B=a,A1C1=a,‎ ‎∠A1BC1的余弦值为,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎11.设函数f(x)=ln(1+|x|)﹣,则使得f(x)>f(2x﹣1)成立的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,)∪(1,+∞) B.(,1)‎ C.() D.(﹣∞,﹣,)‎ ‎【考点】对数函数的图象与性质;函数单调性的性质.‎ ‎【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵函数f(x)=ln(1+|x|)﹣为偶函数,‎ 且在x≥0时,f(x)=ln(1+x)﹣,‎ 导数为f′(x)=+>0,‎ 即有函数f(x)在[0,+∞)单调递增,‎ ‎∴f(x)>f(2x﹣1)等价为f(|x|)>f(|2x﹣1|),‎ 即|x|>|2x﹣1|,‎ 平方得3x2﹣4x+1<0,‎ 解得:<x<1,‎ 所求x的取值范围是(,1).‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎12.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 ‎,a=2,,则b的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【分析】在锐角△ABC中,利用sinA=,S△ABC=,可求得bc,再利用a=2,由余弦定理可求得b+c,解方程组可求得b的值.‎ ‎【解答】解:∵在锐角△ABC中,sinA=,S△ABC=,‎ ‎∴bcsinA=bc=,‎ ‎∴bc=3,①‎ 又a=2,A是锐角,‎ ‎∴cosA==,‎ ‎∴由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA,‎ 即(b+c)2=a2+2bc(1+cosA)=4+6(1+)=12,‎ ‎∴b+c=2②‎ 由①②得:,‎ 解得b=c=.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.执行如图的程序框图,如果输入x,y∈R,那么输出的S的最大值为 2 .‎ ‎【考点】程序框图;简单线性规划.‎ ‎【分析】算法的功能是求可行域内,目标还是S=2x+y的最大值,画出可行域,求得取得最大值的点的坐标,求出最大值.‎ ‎【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求可行域内,目标还是S=2x+y的最大值,‎ 画出可行域如图:‎ 当时,S=2x+y的值最大,且最大值为2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎14.若函数f(x)=x3﹣3bx+3b在(0,1)内有极小值,则b的取值范围为 (0,1) .‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值.‎ ‎【分析】首先求出函数的导数,然后令导数为零,求出函数的极值,最后确定b的范围.‎ ‎【解答】解:由题意得f′(x)=3x2﹣3b,‎ 令f′(x)=0,则x=±‎ 又∵函数f(x)=x3﹣3bx+b在区间(0,1)内有极小值,‎ ‎∴0<<1,‎ ‎∴b∈(0,1),‎ 故答案为(0,1).‎ ‎ ‎ ‎15.直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点,则a的取值范围是 (1,) .‎ ‎【考点】二次函数的性质.‎ ‎【分析】在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a的图象,观察求解.‎ ‎【解答】解:如图,在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a,‎ 观图可知,a的取值必须满足,‎ 解得.‎ 故答案为:(1,)‎ ‎ ‎ ‎16.已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆(x﹣1)2+(y﹣a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= 4± .‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用.‎ ‎【分析】根据圆的标准方程,求出圆心和半径,根据点到直线的距离公式即可得到结论.‎ ‎【解答】解:圆心C(1,a),半径r=2,‎ ‎∵△ABC为等边三角形,‎ ‎∴圆心C到直线AB的距离d=,‎ 即d=,‎ 平方得a2﹣8a+1=0,‎ 解得a=4±,‎ 故答案为:4±‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17.己知函数三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(B)=1.‎ ‎(I)求角B的大小;‎ ‎(II)若,求c的值.‎ ‎【考点】正弦定理;三角函数中的恒等变换应用.‎ ‎【分析】(I)由二倍角的余弦公式和辅助角公式,化简得f(x)=sin(2x+),因此f(B)=sin(2B+)=1,可得2B+=+2kπ(k∈Z),结合B为三角形的内角即可求出角B的大小;‎ ‎(II)根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB,结合题中的数据建立关于边c的方程,解之即可得到边c的值.‎ ‎【解答】解:(I)∵sinxcosx=sin2x,cos2x=(1+cos2x)‎ ‎∴=sin2x+‎ cos2x=sin(2x+)‎ ‎∵f(B)=1,即sin(2B+)=1‎ ‎∴2B+=+2kπ(k∈Z),可得B=+kπ(k∈Z)‎ ‎∵B∈(0,π),∴取k=0,得B=;‎ ‎(II)根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB,得 ‎12=()2+c2﹣2ccos,‎ 化简整理得c2﹣3c+2=0,解之得c=1或2.‎ 即当时,边c的值等于c=1或2.‎ ‎ ‎ ‎18.已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,且其图象在x=1处切线斜率为﹣3‎ ‎(1)求函数的单调区间;‎ ‎(2)求函数的极大值与极小值的差.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】(1)求出y'=3x2+6ax+3b,由题意得12+12a+3b=0,且k=y′|x=1=3+6a+3b=﹣3,由此能求出a=﹣1,b=0,从而y=x3﹣3x2+c,则y'=3x2﹣6x,由此利用导数性质能求出函数的单调区间.‎ ‎(2)由y'=3x2﹣6x=0,解得x=0,x=2,推导出函数在x=0时取得极大值c,在x=2时取得极小值c﹣4,从而能求出函数的极大值与极小值的差.‎ ‎【解答】解:(1)∵函数y=x3+3ax2+3bx+c,‎ ‎∴y'=3x2+6ax+3b,‎ ‎∵函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,‎ ‎∴当x=2时,y′=0,即12+12a+3b=0,①‎ ‎∵函数图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行,‎ ‎∴k=y′|x=1=3+6a+3b=﹣3,②‎ 联立①②,解得a=﹣1,b=0,‎ ‎∴y=x3﹣3x2+c,则y'=3x2﹣6x,‎ 令y'=3x2﹣6x>0,解得x<0或x>2,‎ 令y'=3x2﹣6x<0,解得0<x<2,‎ ‎∴函数的单调递增区间是(﹣∞,0),(2,+∞),单调递减区间是(0,2);‎ ‎(2)由(1)可知,y'=3x2﹣6x,‎ 令y′=0,即3x2﹣6x=0,解得x=0,x=2,‎ ‎∵函数在(﹣∞,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,‎ ‎∴函数在x=0时取得极大值c,在x=2时取得极小值c﹣4,‎ ‎∴函数的极大值与极小值的差为c﹣(c﹣4)=4.‎ ‎ ‎ ‎19.设Sn是数列{an}的前n项和,已知.‎ ‎(1)求a2,a3,并求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{nan}的前n项和.‎ ‎【考点】数列的求和.‎ ‎【分析】(1)利用数列的递推关系式求出数列的a2,a3,判断数列是等比数列,求出通项公式.‎ ‎(2)利用错位相减法求解数列的和即可.‎ ‎【解答】解:(1)令n=1,得2a1﹣a1=a12.即a1=a12,‎ ‎∵a1≠0,∴a1=1,‎ 令n=2,得2a2﹣1=1•(1+a2),解得a2=2,‎ 当n≥2时,由2an﹣1=Sn得,2an﹣1﹣1=Sn﹣1,‎ 两式相减得2an﹣2an﹣1=an,即an=2an﹣1,‎ ‎∴数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,‎ ‎∴an=2n﹣1,即数列{an}的通项公式an=2n﹣1;‎ ‎(2)由(1)知,nan=n•2n﹣1,设数列{nan}的前n项和为Tn,‎ 则Tn=1+2×2+3×22+…+n×2n﹣1,①‎ ‎2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,②‎ ‎①﹣②得,﹣Tn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n ‎=2n﹣1﹣n•2n,‎ ‎∴Tn=1+(n﹣1)2n.‎ ‎ ‎ ‎20.如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.‎ ‎(1)求证:VB∥平面MOC;‎ ‎(2)求证:平面MOC⊥平面VAB ‎(3)求三棱锥V﹣ABC的体积.‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.‎ ‎【分析】(1)利用三角形的中位线得出OM∥VB,利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC;‎ ‎(2)证明:OC⊥平面VAB,即可证明平面MOC⊥平面VAB ‎(3)利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积.‎ ‎【解答】(1)证明:∵O,M分别为AB,VA的中点,‎ ‎∴OM∥VB,‎ ‎∵VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC,‎ ‎∴VB∥平面MOC;‎ ‎(2)∵AC=BC,O为AB的中点,‎ ‎∴OC⊥AB,‎ ‎∵平面VAB⊥平面ABC,OC⊂平面ABC,‎ ‎∴OC⊥平面VAB,‎ ‎∵OC⊂平面MOC,‎ ‎∴平面MOC⊥平面VAB ‎(3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,∴AB=2,OC=1,‎ ‎∴S△VAB=,‎ ‎∵OC⊥平面VAB,‎ ‎∴VC﹣VAB=•S△VAB=,‎ ‎∴VV﹣ABC=VC﹣VAB=.‎ ‎ ‎ ‎21.某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.‎ ‎(1)根据茎叶图计算样本均值;‎ ‎(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人;‎ ‎(3)从抽出的6名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式;茎叶图.‎ ‎【分析】(1)由茎叶图能求出样本均值.‎ ‎(2)由抽取的6名工人中有2名为优秀工人,得到12名工人中有4名优秀工人.‎ ‎(3)设“从该车间6名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人”为事件A,由等可能事件概率计算公式能求出恰有1名优秀工人的概率.‎ ‎【解答】解:(1)样本均值为=22.‎ ‎(2)抽取的6名工人中有2名为优秀工人,‎ 所以12名工人中有4名优秀工人.‎ ‎(3)设“从该车间6名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人”为事件A,‎ 所以P(A)==.‎ ‎ ‎ ‎22.如图,椭圆E: +=1(a>b>0)经过点A(0,﹣1),且离心率为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程;‎ ‎(Ⅱ)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ斜率之和为2.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.‎ ‎【分析】(Ⅰ)运用离心率公式和a,b,c的关系,解方程可得a,进而得到椭圆方程;‎ ‎(Ⅱ)由题意设直线PQ的方程为y=k(x﹣1)+1(k≠0),代入椭圆方程+y2=1,运用韦达定理和直线的斜率公式,化简计算即可得到结论.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题设知, =,b=1,‎ 结合a2=b2+c2,解得a=,‎ 所以+y2=1;‎ ‎(Ⅱ)证明:由题意设直线PQ的方程为y=k(x﹣1)+1(k≠0),‎ 代入椭圆方程+y2=1,‎ 可得(1+2k2)x2﹣4k(k﹣1)x+2k(k﹣2)=0,‎ 由已知得(1,1)在椭圆外,‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,‎ 则x1+x2=,x1x2=,‎ 且△=16k2(k﹣1)2﹣8k(k﹣2)(1+2k2)>0,解得k>0或k<﹣2.‎ 则有直线AP,AQ的斜率之和为kAP+kAQ=+‎ ‎=+=2k+(2﹣k)(+)=2k+(2﹣k)•‎ ‎=2k+(2﹣k)•=2k﹣2(k﹣1)=2.‎ 即有直线AP与AQ斜率之和为2.‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档