高中数学必修2教案：3_1_1倾斜角与斜率

高中数学必修2教案：3_1_1倾斜角与斜率

‎3.1.1 倾斜角与斜率 ‎（一）教学目标 ‎1．知识与技能 ‎（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.‎ ‎（2）理解直线倾斜角的唯一性.‎ ‎（3）理解直线斜率的存在性.‎ ‎（4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.‎ ‎2．过程与方法 引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法.‎ ‎3．情感、态度与价值观 ‎（1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.‎ ‎（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.‎ ‎（二）教学重点与难点 直线的倾斜角、斜率的概念和公式.‎ ‎（三）教学方法 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 提出问题引入 我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图，过一点P可作无数多条直线a，b，c，…易见，答案是否定的，这些直线有什么联系呢？‎ 直线的倾斜角的概念.‎ 学生回答（不能确定）‎ ‎（1）它们都经过点P.‎ ‎（2）它们的倾斜程度不同.‎ 接着教师提出：怎样描述这种倾斜程度的不同？由此引入课题.‎ 设疑激趣导入课题 概念形成 ‎1．直线倾斜角的概念 当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定.‎ 教师提问：‎ 倾斜角的取值范围是什么？‎ 当直线l与x轴重合时 ‎（由学生结合图形回答）‎ 概念深化 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.‎ 教师提问：‎ 如左图，直线a∥b∥c，那么它们的倾斜角相等吗？‎ 学生回答后作出结论.‎ 一个倾斜角不能确定一条直线，进而得出. 确定一条直线位置的几何要素.‎ 通过这种师生互动引导学生明确确定一条直线位置的两个几何要素 y a b c x O 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角.‎ 概念形成 ‎2．直线的斜率 一条直线的倾斜角（≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即.‎ 由此可知，一条直线l的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在. 例如= 45°时 k = tan45°= 1‎ ‎= 135°时 k = tan135°= –1 ‎ 教师提问：（由学生讨论后回答）‎ ‎（1）当直线l与x轴平行或重合时，k为多少？‎ k = tan0°= 0‎ ‎（2）当直线l与x轴垂直时，k还存在吗？‎ ‎= 90°，k不存在 设疑激发学生思考得出结论 概念形成 ‎3．直线的斜率公式 对于上面的斜率公式要注意下面四点：‎ ‎（1）当x1 = x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角= 90°，直线与x轴垂直；‎ ‎（2）k与P1、P2的顺序无关，即y1、y2和x1、x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；‎ ‎（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；‎ ‎（4）当y1 = y2时，斜率k =‎ 教师提出问题：‎ 给定两点P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)，x1≠x2，如何用两点的坐标来表示直线P1、P2的斜率？‎ 可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种情况，并引导学生如何作辅助线，共同完成斜率公式的推导.‎ 借助多媒体演示让学生亲自体会斜率公式的推导过程.‎ ‎ 0，直线的倾斜角= 0°，直线与x轴平行或重合.‎ ‎（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.‎ 应用举例 例1 已知A (3，2)，B (–4，1)，C (0，–1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.（用计算机作直线，图略）‎ 分析：已知两点坐标，而且x1 ≠ x2，由斜率公式代入即可求得k的值；‎ 而当时，倾斜角是钝角；‎ 而当时，倾斜角是锐角；‎ 而当时，倾斜角是0°.‎ 例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，–1，2及–3的直线a，b，c，1.‎ 分析：要画出经过原点的直线a，只要再找出a上的另个一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定；或者k = tan=1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可.‎ 学生分析求解 ，教师板书 例1 略解：直线AB的斜率k1 = 1/7＞0，所以它的倾斜角是锐角.‎ 直线BC的斜率k2 = –0.5＜0，所以它的倾斜角是锐角. ‎ 例2 略解：设直线a上的另个一点M的坐标为(x，y)，根据斜率公式有1 = (y – 0)/(x – 0)‎ 所以 x = y 可令x = 1，则y = 1，于是点M的坐标为(1，1).此时过原点和点M(1，1)，可作直线a.‎ 同理，可作直线b，c，1.（用计算机作动画演示画直线过程）‎ 课堂练习：P91 1题、2题、3题、4题.‎ 通过应用进一步理解倾斜角，斜率的有关定义 归纳总结 ‎（1）直线的倾斜角和斜率的概念.‎ ‎（2）直线的斜率公式.‎ 师生共同总结——交流——完善 引导学生学会自己总结 课后作业 布置作业 见习案3.1第一课时 由学生独立完成 巩固深化 备选例题 例1 求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.‎ ‎（1）(1，1)，(2，4)； （2）(–3，5)，(0，2)； ‎ ‎（3）(2，3)，(2，5)； （4）(3，–2)，(6，–2) ‎ ‎【解析】（1），所以倾斜角是锐角；‎ ‎（2），所以倾斜角是钝角；‎ ‎（3）由x1 = x2 = 2得：k不存在，倾斜角是90°‎ ‎（4），所以倾斜角为0°‎ 例2 已知点P点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则Q点的坐标为 .‎ ‎【解析】因为点Q在y轴上，则可设其坐标为(0，6)‎ 直线PQ的斜率k = tan120°= ‎ ‎∴ ∴b = –2，即Q点坐标为