中考数学相似难题压轴题汇编

中考数学相似难题压轴题汇编

‎（2010年浙江杭州）提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（，且），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．[来源:Z。xx。k.Com]‎ 背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角 形的“等分积周线”．‎ 尝试解决：‎ ‎ A B C ‎ A B C ‎ 图 1 图 2‎ ‎ （1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．‎ ‎（2） 小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB 于点D．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．‎ ‎（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB＝BC＝5 cm，‎ AC＝6 cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．‎ 解：(1) 作线段AC的中垂线BD即可. ‎ ‎(2) 小华不会成功．‎ 若直线CD平分△ABC的面积 那么 ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 小华不会成功． ‎ ‎（3）① 若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求线段． ‎ ‎ ② 若直线不过顶点，可分以下三种情况：‎ ‎（a）直线与BC、AC分别交于E、F，如图所示 ‎ 过点E作EH⊥AC于点H，过点B作BG⊥AC于点G 易求，BG=4，AG=CG=3‎ 设CF=x，则CE=8-x 由△CEH∽△CBG，可得EH=‎ 根据面积相等，可得 ‎ ‎∴ （舍去，即为①）或 ‎∴ CF=5，CE=3，直线EF即为所求直线． ‎ ‎（b）直线与AB、AC分别交于M、N, 如图所示 ‎ 由 (a)可得，AM=3，AN=5，直线MN即为所求直线．‎ ‎（仿照上面给分）‎ ‎ (c) 直线与AB、BC分别交于P、Q，如图所示 ‎ 过点A作AY⊥BC于点Y，过点P作PX⊥BC于点X 由面积法可得， AY=‎ 设BP=x，则BQ=8-x 由相似，可得PX= ‎ 根据面积相等，可得 ‎ ‎∴ （舍去）或 而当BP时，BQ=，舍去．‎ ‎∴ 此种情况不存在． ‎ 综上所述，符合条件的直线共有三条．‎ ‎（2010年教育联合体）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F．问：‎ ‎(1) 图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由．‎ ‎ (2) 求证：△APE ∽△FPA．‎ ‎ (3) 猜想：线段PC、PE、PF之间存在什么关系？并说明理由．‎ ‎(1) △APD≌△CPD ‎ 理由： ∵四边形ABCD菱形 ‎　　　　∴AD=CD, ∠ADP=∠CDP ‎ 又∵PD=PD ‎ ∴△APD≌△CPD ‎ ‎ (2) 证明：∵△APD≌△CPD ∴∠DAP=∠DCP ‎∵CD∥BF ∴∠DCP=∠F ∴∠DAP= ∠F ‎ 又∵∠APE=∠FPA ∴△APE ∽△FPA ‎ ‎ (3) 猜想： ‎ 理由: ∵△APE ∽△FPA ‎ ∴ ∴ ‎ ‎ ∵△APD≌△CPD ‎∴PA=PC ∴ ‎ ‎(2009年湖州)如图，在正三角形中，，，分别是，，上的点，，，，则的面积与的面积之比等于（ ）‎ A．1∶3 B．2∶3 C．∶2 D．∶3 ‎ ‎【关键词】等边三角形的性质，相似的性质 ‎【答案】A ‎（2009年山西省）如图，在中，的垂直平分线交的延长线于点，则的长为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【关键词】相似三角形判定和性质；勾股定理；线段和角的概念、性质 ‎【答案】B ‎(2009武汉)如图1，在中，，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点．‎ B B A A C O E D D E C O F 图1‎ 图2‎ F ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当为边中点，时，如图2，求的值；‎ ‎（3）当为边中点，时，请直接写出的值．‎ ‎【关键词】相似三角形的判定和性质 ‎ ‎【答案】解：（1），．‎ ‎．‎ B A D E C O F G ‎，‎ ‎，．‎ ‎；‎ ‎（2）解法一：作，交的延长线于．‎ ‎，是边的中点，．‎ 由（1）有，，‎ ‎．‎ ‎，，‎ 又，．‎ ‎，．‎ ‎，，，‎ ‎，．‎ B A D E C O F 解法二：于，‎ ‎．．‎ 设，则，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ 由（1）知，设，，．‎ 在中，．‎ ‎．．‎ ‎（3）．‎ ‎(2009年上海市)已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）．‎ ‎（1）当AD=2，且点与点重合时（如图2所示），求线段的长；‎ ‎（2）在图中，联结．当，且点在线段上时，设点之间的距离为，，其中表示△APQ的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； ‎ ‎（3）当，且点在线段的延长线上时（如图3所示），求的大小．‎ A D P C B Q 图1‎ D A P C B ‎（Q）‎ ‎）‎ 图2‎ 图3‎ C A D P B Q ‎【关键词】等腰直角三角形 相似三角形 共高三角形的面积 直角三角形相似的判定 ‎【答案】（1）∵Rt△ABD中，AB=2，AD=2，‎ ‎∴=1，∠D=45°‎ ‎∴PQ=PC即PB=PC，‎ 过点P作PE⊥BC，则BE=。‎ 而∠PBC=∠D=45°‎ ‎∴PC=PB=‎ ‎（2）在图8中，过点P作PE⊥BC，PF⊥AB于点F。‎ ‎∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE ‎∴Rt△ABD∽Rt△EPB ‎∴‎ 设EB=3k，则EP=4k，PF=EB=3k ‎∴，‎ ‎=‎ ‎∴‎ 函数定义域为 F E F E A D P C B Q 图1‎ D A P C B ‎（Q）‎ ‎）‎ 图2‎ 图3‎ C A D P B Q ‎（3）答：90°‎ 证明：在图8中，过点P作PE⊥BC，PF⊥AB于点F。‎ ‎∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE ‎∴Rt△ABD∽Rt△EPB ‎∴‎ ‎∴=‎ ‎∴Rt△PQF∽Rt△PCE ‎∴∠FPQ=∠EPC ‎∴∠EPC+∠QPE=∠FPQ+∠QPE=90°‎ ‎（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线BC经过点，，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q．‎ ‎（1）四边形OABC的形状是 ，‎ 当时，的值是 ；‎ ‎（2）①如图2，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；‎ ‎②如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积．‎ ‎（Q）‎ C B A O x P ‎（图3）‎ y Q C B A O x P ‎（图2）‎ y C B A O y x ‎（备用图）‎ ‎（第26题）‎ ‎（3）在四边形OABC旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【关键词】相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】解：（1）矩形（长方形）； ‎ ‎．‎ ‎（2）①，，‎ ‎．‎ ‎，即，‎ ‎，．‎ 同理，‎ ‎，即，‎ ‎，． ‎ ‎． ‎ ‎②在和中，‎ ‎．‎ ‎．‎ 设，‎ 在中， ，解得．‎ ‎． ‎ ‎（3）存在这样的点和点，使． ‎ 点的坐标是，． ‎ 对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求．‎ 过点画于，连结，则，‎ ‎，，‎ ‎．‎ Q C B A O x P y H 设，‎ ‎，‎ ‎，‎ ① 如图1，当点P在点B左侧时， ‎ ‎，‎ 在中，，‎ 解得，（不符实际，舍去）．‎Q C B A O x P y H ‎，‎ ‎．‎ ‎②如图2，当点P在点B右侧时，‎ ‎，．‎ 在中，，解得．‎ ‎，‎ ‎．‎ 综上可知，存在点，，使．‎ ‎(2009年义乌)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。‎ ‎ ‎ ‎（1）当时，折痕EF的长为；当点E与点A重合时，折痕EF的长为；‎ ‎（2）请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长；‎ ‎（3）令，当点E在AD、点F在BC上时，写出与的函数关系式。当取最大值时，判断与是否相似？若相似，求出的值；若不相似，请说明理由。‎ ‎【关键词】相似三角形 ‎【答案】‎ 解：（1）3， ‎ ‎（2）．‎ D C B A P E F 图1‎ 当时，如图1，连接，‎ 为折痕，，‎ 令为，则，‎ 在中，，‎ ‎，‎ D C F B A P E O 图2‎ H 解得，此时菱形边长为．‎ ‎（3）如图2，过作，‎ 易证，‎ ‎，‎ D C ‎(F)‎ H B A P E O 图3‎ 当与点重合时，如图3，连接，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 显然，函数的值在轴的右侧随的增大而增大，‎ 当时，有最大值．‎ 此时，．‎ 综上所述，当取最大值时，，（不写不扣分）．‎ ‎（2009恩施市）如图，在中，的面积为25，点为边上的任意一点（不与、重合），过点作，交于点．设，以为折线将翻折（使落在四边形所在的平面内），所得的与梯形重叠部分的面积记为．‎ E D B C A B C A ‎（1）用表示的面积； ‎ ‎（2）求出时与的函数关系式；‎ ‎（3）求出时与的函数关系式；‎ ‎（4）当取何值时，的值最大？最大值是多少？ ‎ ‎【关键词】相似、二次函数 ‎【答案】解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C ‎ ‎ ∴△ADE∽△ABC ∴‎ 即 ‎ ‎(2)∵BC=10 ∴BC边所对的三角形的中位线长为5‎ ‎∴当0﹤ 时 ‎ ‎（3）﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形 ‎∵S△A'DE=S△ADE=‎ ‎∴DE边上的高AH=AH'=‎ 由已知求得AF=5‎ ‎∴A'F=AA'-AF=x-5‎ 由△A'MN∽△A'DE知 ‎∴ ‎ ‎（4）在函数中 ‎∵0﹤x≤5‎ ‎∴当x=5时y最大为： ‎ ‎ 在函数中 当时y最大为： ‎ ‎∵﹤‎ ‎∴当时，y最大为： ‎ ‎（2009泰安）将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图（1）放置，图（2）是由他抽象出的几何图形，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OD。‎ （1） 求证：DB∥CF。‎ （2） 当OD=2时，若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB。‎ ‎【关键词】相似、切线 ‎【答案】证明：‎ ‎（1）连接OF，如图 ‎∵AB且半圆O于F，‎ ‎∴OF⊥AB。‎ ‎∵CB⊥AB ，∴BC∥OF。‎ ‎∵BC=OD，OD=OF，‎ ‎∴BC=OF。‎ ‎∴四边形OBCF是平行四边形，‎ ‎∴DB∥CF。‎ ‎（2）‎ ‎∵以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，∠OFB=∠ABC=90°，‎ ‎∴∠A∠OBF∠BOF ‎∵∠OBF=∠BFC，∠BFC＞∠A，‎ ‎∴∠OBF＞∠A ‎∴∠OBF与∠A不可能是对顶角。‎ ‎∴∠A与∠BOF是对应角。‎ ‎∴∠BOF=30° ∴OB=OF/cos30°=‎ ‎（2009江西）问题背景 在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：‎ 甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm.‎ 乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm.‎ 丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm.‎ 任务要求 ‎（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；‎ ‎（2）如图3，设太阳光线与相切于点.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段的影长；需要时可采用等式）.‎ D D F E ‎900cm 图2‎ B C A ‎60cm ‎80cm 图1‎ G H NE ‎156cm ME OE ‎200cm 图3‎ KE ‎【关键词】相似、光影 ‎【答案】解：（1）由题意可知：‎ ‎∴‎ ‎∴即 ‎∴DE=1200（cm）．‎ 所以，学校旗杆的高度是12m． ‎ ‎（2）解法一：‎ 与①类似得：即 ‎∴GN=208．‎ 在中，根据勾股定理得：‎ ‎∴NH=260． ‎ 设的半径为rcm，连结OM，‎ ‎∵NH切于M，∴‎ 则又 ‎∴∴ ‎ 又．‎ ‎∴解得：r=12．‎ 所以，景灯灯罩的半径是12cm． ‎ D D F E ‎900cm 图2‎ B C A ‎60cm ‎80cm 图1‎ 图3‎ G H NE ‎156cm ME OE ‎200cm KE 解法二：‎ 与①类似得：即 ‎∴GN=208．‎ 设的半径为rcm，连结OM，‎ ‎∵NH切于M，∴ ‎ 则又 ‎∴‎ ‎∴即 ‎∴又． ‎ 在中，根据勾股定理得：‎ 即 解得：（不合题意，舍去）‎ 所以，景灯灯罩的半径是12cm． ‎ ‎（2009年清远）如图，已知一个三角形纸片，边的长为8，边上的高为，和都为锐角，为一动点（点与点不重合），过点作，交于点，在中，设 的长为，上的高为．‎ ‎（1）请你用含的代数式表示．‎ ‎（2）将沿折叠，使落在四边形所在平面，设点落在平面的点为，与四边形重叠部分的面积为，当为何值时，最大，最大值为多少？‎ ‎【关键词】分类讨论思想 ‎【答案】解：（1）‎ ‎（2）‎ 的边上的高为，‎ 当点落在四边形内或边上时，‎ ‎=（0）‎ 当落在四边形外时，如下图，‎ 设的边上的高为，‎ 则 ‎ ‎ 所以 ‎ 综上所述：当时，，取，‎ M N C B E F A A1‎ 当时，，‎ 取，‎ 当时，最大，‎ ‎（2009年济宁市）如图，中，，，.半径为1的圆的圆心以1个单位/的速度由点沿方向在上移动，设移动时间为（单位：）.‎ ‎（1）当为何值时，⊙与相切；‎ ‎（2）作交于点，如果⊙和线段交于点，证明：当时，四边形为平行四边形.‎ ‎【关键词】相似 ‎【答案】(1)解：当⊙在移动中与相切时，设切点为，连，‎ 则.‎ ‎∴∽.∴.‎ ‎∵,,‎ ‎∴.∴.‎ ‎(2)证明：∵，，∴∥. ‎ 当时，.‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵∽,∴.∴，‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴当时，四边形为平行四边形.‎ ‎（2009年广西钦州）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．‎ ‎（1）填空：点C的坐标是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_；‎ ‎（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；‎ ‎（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【关键词】二次函数、相似三角形.‎ ‎【答案】‎ 解：（1）（0，－3），b＝－，c＝－3．‎ ‎（2）由（1），得y＝x2－x－3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．‎ ‎∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．‎ 由题意，得△BHP∽△BOC，‎ ‎∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，‎ ‎∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，‎ ‎∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．‎ ‎∴OH＝OB－HB＝4－4t．‎ 由y＝x－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．‎ ‎∴OQ＝4t．‎ ‎①当H在Q、B之间时，‎ QH＝OH－OQ ‎＝（4－4t）－4t＝4－8t．‎ ‎②当H在O、Q之间时，‎ QH＝OQ－OH ‎＝4t－（4－4t）＝8t－4．‎ 综合①，②得QH＝｜4－8t｜；‎ ‎（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似．‎ ‎①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t，‎ 若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，‎ ‎∴t＝．‎ 若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，‎ 即t2＋2t－1＝0．‎ ‎∴t1＝－1，t2＝－－1（舍去）．‎ ‎②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．‎ 若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，‎ ‎∴t＝．‎ 若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，‎ 即t2－2t＋1＝0．‎ ‎∴t1＝t2＝1（舍去）．‎ 综上所述，存在的值，t1＝－1，t2＝，t3＝．‎ ‎（2009临沂）如图，抛物线经过三点．‎ ‎（1）求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．‎ ‎【关键词】抛物线的解析式，相似的性质，二次函数的最值问题 ‎【答案】解：（1）该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为．‎ 将，代入，‎ 得解得 此抛物线的解析式为．‎ ‎（2）存在．‎ 如图，设点的横坐标为，‎ 则点的纵坐标为，‎ 当时，‎ ‎，．‎ 又，‎ ‎①当时，‎ ‎，‎ 即．‎ 解得（舍去），．‎ ‎②当时，，即．‎ 解得，（均不合题意，舍去）‎ 当时，．‎ 类似地可求出当时，．‎ 当时，．‎ 综上所述，符合条件的点为或或．‎ ‎（3）如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为．‎ 过作轴的平行线交于．‎ 由题意可求得直线的解析式为．‎ 点的坐标为．‎ ‎．‎ ‎．‎ 当时，面积最大．‎ ‎（2009泰安）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F。‎ （1） 求证：FD2=FB●FC。‎ （2） 若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由。‎ ‎【关键词】相似、垂直 ‎【答案】证明：（1）∵E是Rt△ACD斜边中点 ‎∴DE=EA ‎∴∠A=∠2 ‎ ‎∵∠1=∠2‎ ‎∴∠1=∠A…‎ ‎∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A ‎∴∠FDC=∠FBD ‎∵F是公共角 ‎∴△FBD∽△FDC ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎（2）GD⊥EF 理由如下：‎ ‎∵DG是Rt△CDB斜边上的中线，‎ ‎∴DG=GC ‎∴∠3=∠4‎ 由（1）得∠4=∠1‎ ‎∴∠3=∠1 ‎ ‎∵∠3+∠5=90°‎ ‎∴∠5+∠1=90°‎ ‎∴DG⊥EF ‎ ‎（2009年中山）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；‎ ‎（3）当点运动到什么位置时，求的值．‎ ‎【关键词】相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】（1）在正方形中，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 在中，，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，取最大值，最大值为10．‎ ‎（3），‎ 要使，必须有，‎ 由（1）知，‎ ‎，‎ 当点运动到的中点时，，此时．‎ ‎（2009年牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且 ‎ （1）求的值．‎ ‎ （2）若为轴上的点，且求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？‎ ‎ （3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ x y A D B O C ‎【关键词】三角函数，一次函数，菱形，相似三角形的综合应用 ‎【答案】（1）解得 ‎ ‎ 在中，由勾股定理有 ‎（2）∵点在轴上，‎ 由已知可知D（6，4）‎ 设当时有 解得 同理时，‎ 在中，‎ 在中，‎ ‎（3）满足条件的点有四个 ‎(2009年宁德市)如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．‎ ‎（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；‎ ‎（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；‎ N M B E C D F G 图（1）‎ ‎（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．‎ ‎【关键词】四边形中三角形全等和相似的运用 解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形 ‎ ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90º ‎∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD ‎∴∠BAE＝∠DAG ‎∴△ BAE≌△DAG ‎ M B E A C N D F G 图（1）‎ H ‎（2）∠FCN＝45º ‎ 理由是：作FH⊥MN于H ‎ ‎ ∵∠AEF＝∠ABE＝90º ‎ ∴∠BAE +∠AEB＝90º，∠FEH+∠AEB＝90º ‎ ∴∠FEH＝∠BAE ‎ ‎ 又∵AE=EF，∠EHF＝∠EBA＝90º ‎∴△EFH≌△ABE ‎ ‎∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH ‎∵∠FHC＝90º，∴∠FCH＝45º ‎ ‎（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变， ‎ 理由是：作FH⊥MN于H ‎ 由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90º 结合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG 又∵G在射线CD上 ‎∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90º ‎ ∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE ‎ ‎ ∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE，‎ ‎∴＝＝ ‎∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝ ‎ ‎∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝ ‎（09湖南怀化）如图11，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点．‎ ‎（1）求与轴的另一个交点D的坐标；‎ ‎（2）如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值． ‎ ‎【关键词】圆的基本性质、三角形相似的判定和性质 ‎【答案】解 （1）易求得点的坐标为 由题设可知是方程即 的两根，‎ 所以，‎ 所 如图3，∵⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，设它们的交点为点O，连结DB，∴△AOC∽△DOC，则 由题意知点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，‎ 所以点D的坐标为（0，1）‎ ‎（2）因为AB⊥CD， AB又恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，‎ 所以点的坐标为，即 又，‎ 所以解得 ‎（09湖北宜昌）（09湖北宜昌）已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D，C重合)， MN为折痕，点M，N分别在边BC， AD上，连接AP，MP，AM， AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P．‎ ‎(1)请你在图1中作出⊙O(不写作法，保留作图痕迹)；‎ ‎(2)与 是否相等？请你说明理由；‎ ‎(3)随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．‎ 设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．(图2，3供参考) ‎ 图1 图2 图3‎ ‎【关键词】矩形的性质与判定、线段的比和比例线段 ‎【答案】解：(1)如图； ‎ ‎(2)与不相等．‎ 假设，则由相似三角形的性质，得MN∥DC． ‎ ‎∵∠D=90°，∴DC⊥AD，∴MN⊥AD．‎ ‎∵据题意得，A与P关于MN对称，∴MN⊥AP．‎ ‎∵据题意，P与D不重合，‎ ‎∴这与“过一点（A）只能作一条直线与已知直线（MN）垂直”矛盾． ‎ ‎∴假设不成立．‎ ‎∴不成立． ‎ ‎(2) 解法2：与不相等．‎ 理由如下：‎ ‎∵P， A关于MN对称，∴MN垂直平分AP．‎ ‎∴cos∠FAN=． ‎ ‎∵∠D=90°， ∴cos∠PAD=．‎ ‎∵∠FAN=∠PAD，∴=．‎ ‎∵P不与D重合，P在边DC上;∴AD≠AP．‎ ‎∴≠;从而≠． ‎ ‎(3)∵AM是⊙O的切线，∴∠AMP=90°，‎ ‎∴∠CMP＋∠AMB=90°．‎ ‎∵∠BAM＋∠AMB=90°，∴∠CMP=∠BAM．‎ ‎∵MN垂直平分，∴MA=MP，‎ ‎∵∠B=∠C=90°， ∴△ABM≌△MCD． ‎ ‎∴MC=AB=4， 设PD=x，则CP=4－x，‎ ‎∴BM=PC=4－x． (5分)‎ 连结HO并延长交BC于J．‎ ‎∵AD是⊙O的切线，∴∠JHD=90°．‎ ‎∴矩形HDCJ． (7分)‎ ‎∴OJ∥CP， ∴△MOJ∽△MPC， ‎ ‎∴OJ:CP=MO:MP=1:2，‎ ‎∴OJ=(4－x)，OH=MP=4－OJ=(4＋x)． ‎ ‎∵MC2= MP2－CP2，∴(4＋x)2－(4－x)2=16． ‎ 解得:x=1．即PD=1，PC=3，‎ ‎∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7．‎ 由此画图(图形大致能示意即可)． ‎ ‎（3）解法2：‎ 连接HO，并延长HO交BC于J点，连接AO． ‎ 由切线性质知，JH⊥AD，∵BC∥AD，∴HJ⊥BC，‎ ‎∴OJ⊥MC，∴MJ=JC． ‎ ‎∵AM，AH与⊙O相切于点M，H，‎ ‎∴∠AMO=∠AHO=90°，‎ ‎∵OM=OH， AO=AO，‎ ‎∴Rt△AMO≌Rt△AHO． ‎ ‎∴设AM=x，则 AM=AH=x，‎ 由切线性质得，AM⊥PM，‎ ‎∴∠AMP=90°，∴∠BMA+∠CMP=90°．‎ ‎∵∠BMA+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMP ，‎ ‎∵∠B=∠MCP=90°，‎ ‎∵MN为AP的中垂线，∴AM=MP．‎ ‎∴△ABM≌△MCP ． ‎ ‎∴四边形ABJH为矩形，得BJ=AH=x，‎ Rt△ABM中，BM=，‎ ‎∴MJ==JC，（9分）‎ ‎∴AB=MC．∴4=2()，∴ ‎ ‎∴AD=BC==7，‎ ‎∴PC==3． ‎ 由此画图(图形大致能示意即可)．‎ ‎（2009年茂名市）如图，在中，点是边上的动点（点与点不重合），过动点作交于点 ‎ （1）若与相似，则是多少度？ （2分）‎ ‎ （2）试问：当等于多少时，的面积最大？最大面积是多少？ （4分）‎ ‎ （3）若以线段为直径的圆和以线段为直径的圆相外切，求线段的长．（4分）‎ ‎【关键词】二次函数、圆、相似综合题 ‎【答案】（1）当△ABC 与△DAP 相似时，∠APD的度数是60°或30°．‎ ‎（2）设，∵，，∴， ‎ 又∵，∴，， ‎ ‎∴，而， ‎ ‎∴ ‎ ‎． ‎ ‎∴PC 等于12时，的面积最大，最大面积是． ‎ ‎（3）设以和为直径的圆心分别为、，过 作 于点， ‎ 设的半径为，则．显然，，∴，∴， ‎ ‎∴，‎ ‎， ‎ 又∵和外切，‎ ‎∴． ‎ 在中，有， ‎ ‎∴， ‎ 解得：， ∴．‎ ‎（2009年山东青岛市）如图，在梯形ABCD中，，，，，点由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交于Q，连接PE．若设运动时间为（s）（）．解答下列问题：‎ ‎（1）当为何值时，？‎ ‎（2）设的面积为（cm2），求与之间的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．‎ ‎（4）连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由．‎ ‎【关键词】全等三角形的性质与判定、相似三角形判定和性质、平行四边形有关的计算 ‎【答案】解：（1）∵‎ ‎∴．‎ 而，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴当． ‎ ‎（2）∵平行且等于，‎ ‎∴四边形是平行四边形．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎．‎ ‎∴．‎ 过B作，交于，过作，交于．‎ ‎．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎． ‎ ‎（3）．‎ 若，‎ 则有，‎ 解得．‎ ‎（4）在和中，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎∴在运动过程中，五边形的面积不变． ‎ ‎（2009年广东省）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点， 当点在上运动时，保持和垂直，‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；‎ ‎（3）当点运动到什么位置时，求此时的值．‎ ‎【关键词】正方形的性质；相似三角形判定和性质；直角梯形；与二次函数有关的面积问题；二次函数的极值问题；相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】‎ 解：（1）在正方形中，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 在中，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎，‎ 当时，取最大值，最大值为10．‎ ‎（3），‎ 要使，必须有，‎ 由（1）知，‎ ‎，‎ 当点运动到的中点时，，此时．‎ A D B E O C F x y y ‎（G）‎ ‎（2009年山西省）如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．‎ ‎（1）求的面积；‎ ‎（2）求矩形的边与的长；‎ ‎（3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．‎ ‎【关键词】一次函数的几何应用；一次函数与二元一次方程；矩形的性质；特殊平行四边形相关的面积问题；相似三角形有关的计算 ‎【答案】（1）解：由得点坐标为 由得点坐标为 ‎∴‎ 由解得∴点的坐标为 ‎∴‎ ‎ （2）解：∵点在上且 ‎ ∴点坐标为 又∵点在上且 ‎∴点坐标为 ‎∴‎ ‎ （3）解法一：当时，如图1，矩形与重叠部分为五边形（时，为四边形）．过作于，则 A D B E O R F x y y M ‎（图3）‎ G C A D B E O C F x y y G ‎（图1）‎ R M A D B E O C F x y y G ‎（图2）‎ R M ‎∴即∴‎ ‎∴‎ 即 ‎ 当时，如图2，为梯形面积，∵G（8－t,0）∴GR=,‎ ‎∴‎ 当时，如图3,为三角形面积，‎ Q P C B A O ‎（2009年绵阳市）如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC =∠BPC = 60°，‎ AB与PC交于Q点．‎ ‎（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）若∠ABP = 15°，△ABC的面积为4，求PC的长．‎ ‎【关键词】圆的性质，相似三角形，三角函数 ‎【答案】（1） ∵ ∠ABC =∠APC = 60°，∠BAC =∠BPC = 60°，‎ ‎∴ ∠ACB = 180°－∠ABC－∠BAC = 60°，‎ ‎∴ △ABC是等边三角形．‎ ‎（2）如图，过B作BD∥PA交PC于D，则 ∠BDP =∠APC = 60°．‎ 又 ∵ ∠AQP =∠BQD，∴ △AQP∽△BQD， ．‎ ‎∵ ∠BPD =∠BDP = 60°， ∴ PB = BD． ∴ ．‎ ‎（3）设正△ABC的高为h，则 h = BC· sin 60°．‎ ‎∵ BC · h = 4， 即BC · BC· sin 60° = 4，解得BC = 4．‎ 连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E．‎ 由△ABC是正三角形知∠BOC = 120°，从而得∠OCE = 30°，‎ ‎∴ ．‎ 由∠ABP = 15° 得 ∠PBC =∠ABC +∠ABP = 75°，于是 ∠POC = 2∠PBC = 150°．‎ ‎∴ ∠PCO =（180°－150°）÷2 = 15°．‎ 如图，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G，使∠GNM = 15°，则∠RNG = 30°，作GH⊥RN，垂足为H．设GH = 1，则 cos∠GNM = cos15° = MN．‎ ‎∵ 在Rt△GHN中，NH = GN · cos30°，GH = GN · sin30°．‎ 于是 RH = GH，MN = RN · sin45°，∴ cos15° =．‎ 在图中，作OF⊥PC于E，∴ PC = 2FD = 2 OC ·cos15° =．‎ ‎(2009年梅州市)如图 ，梯形ABCD中，，点在上，连与的延长线交于点G．‎ D C F E A B G ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）当点F是BC的中点时，过F作交于点，若，求的长．‎ ‎【关键词】相似三角形 ‎【答案】（1）证明：∵梯形，， ‎ ‎∴， ‎ ‎∴． ‎ ‎（2） 由（1），‎ 又是的中点，‎ ‎∴， ‎ ‎∴ ‎ 又∵，， ‎ ‎∴，得． ‎ ‎ ∴， ‎ ‎∴．‎ ‎9、(2008 湖南 益阳)△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上.‎ Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF；‎ A B C D E F G 图 (3)‎ G′‎ F′‎ E′‎ D′‎ A B C D E F G 图 (1)‎ A B C D E F G 图 (2)‎ Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.‎ 小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分.‎ Ⅱa. 小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了. ‎ 设△ABC的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .‎ Ⅱb. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是：‎ ‎ ①在AB边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；‎ ‎②连结BF’并延长交AC于F；‎ ‎③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求.‎ 你认为小明的作法正确吗？说明理由.‎ ‎10、(2008 湖北 恩施) 如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.‎ ‎（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.‎ ‎（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.‎ ‎ （3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE.‎ G y x O F E D C B A G F E D C B A ‎ （4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A B C D E R P H Q ‎（第1题图）‎ ‎11、 （08浙江温州）如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重合时，点停止运动．设，．‎ ‎（1）求点到的距离的长；‎ ‎（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；‎ ‎（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎12、（08山东省日照市）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x． ‎ ‎（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； ‎ ‎（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？ ‎ ‎（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？‎ A B C M N P 图 1‎ O ‎18、在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x． ‎ ‎（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； ‎ ‎（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？ ‎ ‎（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？‎ A B C M N D 图 2‎ O A B C M N P 图 3‎ O A B C M N P 图 1‎ O ‎9、Ⅰ.证明：∵DEFG为正方形，‎ ‎∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°‎ ‎ ∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°‎ ‎ ∴△BDG≌△CEF(AAS) ‎ ‎ Ⅱa.解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，‎ A B C D E F G 解图 (2)‎ H 求得 由△AGF∽△ABC得：‎ 解之得：(或) ‎ ‎　　　　　　　‎ 解法二：设正方形的边长为x，则 ‎　　　　　　　　　在Rt△BDG中，tan∠B=，‎ ‎∴‎ A B C D E F G 解图 (3)‎ G’‎ F’‎ E’‎ D’‎ 解之得：(或) ‎ 解法三：设正方形的边长为x，‎ 则 ‎ 由勾股定理得：‎ ‎ 解之得：‎ Ⅱb.解： 正确 ‎ 由已知可知，四边形GDEF为矩形 ‎ ∵FE∥F’E’ ， ‎ ‎∴，‎ 同理，‎ ‎∴‎ ‎ 又∵F’E’=F’G’， ‎ ‎∴FE=FG 因此，矩形GDEF为正方形 ‎10、解:(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA ‎ ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°‎ ‎ ∴∠BAE=∠CDA ‎ 又∠B=∠C=45°‎ ‎ ∴∆ABE∽∆DCA ‎ (2)∵∆ABE∽∆DCA ‎ ∴‎ ‎ 由依题意可知CA=BA=‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴m=‎ ‎ 自变量n的取值范围为1

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