数学（理）卷·2017届河北省武邑中学高三上学期周考（11

数学（理）卷·2017届河北省武邑中学高三上学期周考（11

‎ ‎ 数学（理）周测 第Ⅰ卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，集合，则阴影部分所示集合为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知是虚数单位，复数的共轭复数与复平面内的点对应，则复数对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.设等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.当时，函数取得最小值，则函数是（ ）‎ A．奇函数且图象关于直线对称 B．偶函数且图象关于点对称 C.奇函数且图象关于点对称 D．偶函数且图象关于点对称 ‎5.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.若正实数，，满足，则的最大值为（ ） ‎ A．2 B．‎3 C. 4 D．5‎ ‎7.方程，的根存在的大致区间是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.若，满足且仅在点处取得最小值，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知点，，在圆上，满足（其中为坐标原点），又，则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A． B．‎1 C. D．‎ ‎10.如图，在正三棱锥中，、分别是棱、的中点，且，若，则此正三棱锥外接球的体积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.利若直角坐标平面内的两不同点、满足条件：①、都在函数的图象上；②、关于原点对称。则称点对是函数的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”）。已知函数，则此函数的“友好点对”有（ ）对 A．0 B．‎1 C.2 D．3‎ ‎12.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知函数，则的解集为 ．‎ ‎14.已知向量，的夹角为，且，，则 ．‎ ‎15.在直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，以轴为非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义：，称“”为“的正余弦函数”，若，则 ．‎ ‎16.若数列满足，且数列的前项和为，若实数满足对于任意都有，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分10分）在中，三个内角分别为，已知，．‎ ‎⑴求的值；‎ ‎⑵若，为的中点，求的长．‎ ‎18. （本小题满分12分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．‎ ‎⑴求与；‎ ‎⑵设数列满足，求的前项和．‎ ‎19. （本小题满分12分）已知斜三棱柱的底面是直角三角形，，侧棱与底面所成角为，点在底面上身影落在上．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若点恰为中点，且，求的大小；‎ ‎（Ⅲ）若，且当时，求二面角的大小．‎ ‎20. （本小题满分12分）如图，海上有、两个小岛相距，船将保持观望岛和岛所成的视角为，现从船上派下一只小艇沿方向驶至处进行作业，且．设．‎ ‎⑴用分别表示和，并求出的取值范围；‎ ‎⑵晚上小艇在处发出一道强烈的光线照射岛，岛至光线的距离为，求的最大值．‎ ‎21. （本小题满分12分）已知数列中，，且点在直线上．‎ ‎⑴求数列的通项公式；‎ ‎⑵若函数（，且），求函数的最小值；‎ ‎⑶设，表示数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．‎ ‎22. （本小题满分12分）已知．‎ ‎⑴曲线在处的切线恰与直线垂直，求的值；‎ ‎⑵若，求的最大值；‎ ‎⑶若，求证：．‎ 数学试题（理科）答案 一、选择题 ‎1-5:BDCAC 6-10:CBDAB 11、12：BD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：⑴因为，且，，‎ 则．‎ ‎，‎ 所以．‎ ‎18.解：⑴因为，所以，得，（舍），，‎ ‎，…………………………6分 ‎⑵因为，所以 得……………… 12分 ‎19.解：⑴∵，平面，∴，‎ 又∵，，∴………………4分 ‎⑵，‎ ‎∴四边形为菱形，又∵为中点，，‎ ‎∴为侧棱和底面所成的角，∴，‎ ‎∴，即侧棱与底面所成角………………8分 ‎⑶以为原点，为轴，为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，平面的法向量，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，，，‎ ‎∵二面角大小是锐二面角，∴二面角的大小是．……12分 ‎20.解：⑴在中，，，‎ 由余弦定理得，，‎ 又，所以①…………1分 在中，，‎ 由余弦定理得，‎ ‎②………………………………3分 得，‎ 得，即，……4分 又，所以，即，‎ 又，即，所以…………6分 ‎⑵易知，‎ 故………………8分 又，设，‎ 所以，，……………………9分 又，………………………………………… 10分 则在上是增函数，‎ 所以的最大值为，即的最大值为10．………………12分 ‎（利用单调性定义证明在上是增函数，同样给满分；如果直接说出在上是增函数，但未给出证明，扣2分．‎ ‎21.解：⑴∵点在直线上，即，且，‎ ‎∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，‎ ‎∴，也满足，∴．‎ ‎⑵∵，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴是单调递增的，故的最小值是．‎ ‎⑶∵，∴，‎ 即，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴．‎ 故存在关于的整式，使等式对于一切不小于2的自然数恒成立．‎ 法二：先由的情况，猜想出，再用数学归纳法证明．‎ ‎22. ⑴解：由，‎ 得：，则，所以，得．‎ ‎⑵解：令，得，即，‎ 由，得，由，得：．‎ ‎∴在上为增函数，在上为减函数．‎ ‎∴当，即时，，‎ 当，即时，，‎ 当，即时，．‎ ‎⑶证明：由⑵知，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，得：，‎ ‎∴，且，‎ 得，又，，‎ ‎∴．‎