天津市河西区2020届高三上学期期中考试数学试题

天津市河西区2020届高三上学期期中考试数学试题

河西区2019-2020学年度第一学期高三年级期中质量调查数学试卷 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设为虚数单位，复数，则的共轭复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先由复数的运算法则求得z的值，然后求解其共轭复数的值即可.‎ ‎【详解】，则，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎2.设全集，集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出全集后可得.‎ ‎【详解】，所以，选C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的补运算，是基础题，解题时注意集合中元素的属性.‎ ‎3.函数的最小周期为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用正切函数的最小正周期公式即可求得函数的最小正周期.‎ ‎【详解】由最小正周期公式可得函数最小正周期为：.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查正切函数的最小正周期公式，属于基础题.‎ ‎4.已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=‎ A. -3 B. -2‎ C 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.‎ ‎【详解】由，，得，则，．故选C．‎ ‎【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．‎ ‎5.对于函数,“的图象关于轴对称”是“=是奇函数”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】由奇函数，偶函数的定义,容易得选项B正确.‎ ‎6.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）‎ A. 16 B. ‎8 ‎C. 4 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值．‎ ‎【详解】设正数的等比数列{an}的公比为，则，‎ 解得，，故选C．‎ ‎【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键。‎ ‎7.已知函数在区间内单调递增，且，若，，，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由f（﹣x）＝f（x）可得f（x）为偶函数，结合函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）上递减，进而又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log23，分析可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，函数y＝f（x）满足f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，‎ 又由函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，则f（x）在（0，+∞）上递减，‎ a＝f（3）＝f（log23），b＝f（2﹣1.2），c＝f（）＝f（2﹣1），‎ 又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log23，‎ 则b＞c＞a，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的奇偶性，属于基础题．‎ ‎8.若实数满足，则的最小值为（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C.‎ 考点：基本不等式 ‎【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎9.已知函数，若集合含有4个元素，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简f（x）的解析式，作出f（x）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间．‎ ‎【详解】f（x）=2sin（ωx﹣），‎ 作出f（x）的函数图象如图所示：‎ 令2sin（ωx﹣）=﹣1得ωx﹣=﹣+2kπ，或ωx﹣=+2kπ，‎ ‎∴x=+，或x=+，k∈Z，‎ 设直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，‎ 则xA=，xB=，‎ ‎∵方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，‎ ‎∴xA＜π≤xB，‎ 即＜π≤，解得．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，多空题对一空得3分，共30分）‎ ‎10.命题“”的否定是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用特称命题的否定方法对所给的命题进行否定即可.‎ ‎【详解】分别否定量词和结论可得命题“”的否定是：.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题.‎ ‎11.在中，若则三个内角中最大角的余弦值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先利用比例关系设出边长，然后利用余弦定理求解最大角的余弦值即可.‎ ‎【详解】由题意不妨设：，‎ 利用大边对大角可知∠A为△ABC中最大的角，‎ 由余弦定理可得：.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理及其应用，大边对大角结论的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12.设函数若，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 由函数解析式，可得即 ，则 ‎ 即答案为3.‎ ‎13.在梯形中，，，，，，若，则的值为_______．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用表示出各向量，根据3，计算，再计算的值．‎ ‎【详解】∵AB∥CD，AB＝4，CD＝2，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴（）•（）3，‎ 即93，∴4．‎ 又，‎ ‎∴•（）9﹣2＝7．‎ 故答案为：7．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的基本定理的应用，考查了数量积的运算性质的应用，属于中档题．‎ ‎14.已知实数，，且，则的最小值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题干得到，则 ，再根据均值不等式得到最值即可.‎ ‎【详解】根据题意得到，变形为，‎ 则 ‎ 因为，故得到 ‎ 当且仅当时等号成立.‎ 故 ‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎15.已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先研究函数的性质，然后结合函数的性质数形结合得到关于a的不等式，求解不等式即可确定实数a的取值范围.‎ ‎【详解】当时，函数在区间上单调递增，‎ 很明显，且存在唯一的实数满足，‎ 当时，由对勾函数的性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 结合复合函数的单调性可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且当时，，‎ 考查函数在区间上的性质，‎ 由二次函数的性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 函数有6个零点，即方程有6个根，‎ 也就是有6个根，即与有6个不同交点，‎ 注意到函数关于直线对称，则函数关于直线对称，‎ 绘制函数的图像如图所示，‎ 观察可得：，即.‎ 综上可得，实数的取值范围是.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的应用，复合函数的单调性，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎16.在中，内角所对的边分别为.已知，.‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，‎ 进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.‎ 试题解析：（Ⅰ）解：由，及，得.‎ 由，及余弦定理，得.‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.‎ 由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，‎ ‎，故 ‎.‎ 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形 ‎【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.‎ ‎17.已知函数最小正周期为.‎ ‎（1）求的值及函数的对称轴方程；‎ ‎（2）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数解析式为，求的单调递增区间.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先将函数的解析式整理为的形式，然后利用最小正周期公式求得的值，最后由函数的解析式求解其对称轴方程即可；‎ ‎(2)结合(1)中的解析式首先求得函数的解析式，然后求解其单调递增区间即可.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，‎ ‎∵函数的最小正周期为 ， ‎ ‎∴，，‎ ‎ 对称轴方程，‎ ‎（2），‎ 单调递增区间：‎ 解得：，‎ 所以的单调递增区间为.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数对称轴的求解三角函数式的化简，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎18.已知函数=.‎ ‎（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；‎ ‎（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）已知，若方程在有解，求实数 的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意首先求得a的值，然后求解二次不等式即可得到不等式的解集；‎ ‎(2)首先将原问题转化为二次函数求最值的问题，然后结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，求解不等式组即可求得实数a的取值范围；‎ ‎(3)首先整理所给的方程，分离参数得到关于的二次函数，结合二次函数的值域即可确定实数a的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由的解集是，可得有2个不等的实根1和2，‎ ‎ 由韦达定理，可得 ‎ 此时等价于，‎ 即，解得或 所以不等式的解集是或；‎ ‎（2）对于任意的，不等式恒成立，‎ 也即 对任意的恒成立，‎ 因为二次函数开口向上，最大值在或处取得，‎ 所以只需满足，解得：，据此可得；‎ 综上可得，实数a的取值范围是：.‎ ‎（3）若方程在有解，‎ 可得到在有实数根.‎ 参数分离得，则，‎ 结合二次函数性质可得，‎ 所以，也即.‎ 综上可得，实数a的取值范围是：.‎ ‎【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．‎ ‎19.在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和，求； ‎ ‎（3）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列的首项即可确定数列的通项公式；‎ ‎(2)由题意首先确定数列的通项公式，然后利用等比数列前n项和公式即可求得；‎ ‎(3)由题意结合(1)中的通项公式裂项求和即可求得的值.‎ ‎【详解】（1）由成等比数列，可得 ‎，解得或(舍)‎ ‎.‎ ‎（2） ，利用等比数列前n项和公式可得： ；‎ ‎（3）,‎ 所以.‎ 即.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，等比数列前n项和公式，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）若曲线存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）求的单调区间；‎ ‎（3）设函数，求证：当时， 在上存在极小值.‎ ‎【答案】(1) .(2)答案见解析；(3)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：‎ ‎（1）求出函数的导数，问题转化为存在大于的实数根，根据在时递增，求出的范围即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，判断导数的符号，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（3）求出函数，根据，得到存在，满足，从而让得到函数单调区间，求出函数的极小值，证处结论即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由得.‎ 由已知曲线存在斜率为-1的切线，所以存在大于零的实数根，‎ 即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，‎ 所以实数a的取值范围.‎ ‎（2）由可得 当时， ，所以函数的增区间为；‎ 当时，若， ，若， ，‎ 所以此时函数的增区间为，减区间为.‎ ‎（3）由及题设得，‎ 由可得，由（2）可知函数在上递增，‎ 所以，取，显然，‎ ‎，所以存在满足，即存在满足，所以， 在区间（1，+∞）上的情况如下：‎ ‎ ‎ ‎ － 0 +‎ ‎ ↘ 极小 ↗‎ 所以当-1

查看更多