高考数学复习 17-18版 附加题部分 第1章 第59课 二项式定理

高考数学复习 17-18版 附加题部分 第1章 第59课 二项式定理

第59课 二项式定理 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 二项式定理 ‎√‎ ‎1．二项式定理 ‎(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)；‎ ‎(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；‎ ‎(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.‎ ‎2．二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 二项式 系数C 当k<(n∈N＋)时，是递增的 当k>(n∈N＋)时，是递减的 二项式 系数最 大值　‎ 当n为偶数时， 中间的一项取得最大值 当n为奇数时，中间的两项取最大值 ‎3.各二项式系数和 ‎(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.‎ ‎(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋Cn＋C＋…＝2n－1.‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．(　　)‎ ‎(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)‎ ‎(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　)‎ ‎(4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(　　)‎ ‎[解析]　(1)错误．应为第k＋1项．‎ ‎(2)错误．当n为偶数时，为中间一项；n为奇数时，为中间的两项．‎ ‎(3)正确．二项式系数只与n和项数有关．‎ ‎(4)错误．令x＝1，可得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中x2的系数为15，则n＝________.‎ ‎6　[(x＋1)n＝(1＋x)n＝1＋C＋Cx2＋…＋Cxn.依题意，得C＝15，解得n＝6(n＝－5舍去)．]‎ ‎3．在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．‎ ‎7　[由题意知＋1＝5，解得n＝8，8的展开式的通项Tk＋1＝C8－kk ‎＝(－1)k2k－8C.‎ 令8－＝0得k＝6，则展开式中的常数项为(－1)626－8C＝7.]‎ ‎4．(2016·北京高考)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________．(用数字作答)‎ ‎60　[依二项式定理，含x2的项为展开式的第3项．‎ ‎∴展开式中T3＝C(－2x)2＝60x2，则x2的系数为60.]‎ ‎5．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________.‎ ‎－1　[(1＋x)5＝1＋Cx＋Cx2＋Cx3＋Cx4＋Cx5.‎ ‎∴(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的项为(C＋Ca)x2，‎ 依题意得10＋5a＝5，解得a＝－1.]‎ 通项公式及其应用 ‎　(1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________. ‎ ‎【导学号：62172322】‎ ‎(2)(2016·山东高考)若5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.‎ ‎(1)30　(2)－2　[(1)法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，‎ 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.‎ 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.‎ 所以x5y2的系数为CC＝30.‎ 法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.‎ ‎(2)Tr＋1＝C·(ax2)5－rr＝C·a5－rr.令10－r＝5，解得r＝2.又展开式中x5的系数为－80，则有C·a3＝－80，解得a＝－2.]‎ ‎[规律方法]　1.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．‎ ‎2．求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．‎ ‎[变式训练1]　(1)若n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值等于________．‎ ‎(2)(2016·全国卷Ⅰ)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)‎ ‎(1)5　(2)10　[(1)二项展开式的通项 Tr＋1＝C(x6)n－rr＝C，‎ 若Tr＋1是常数项，则6n－＝0，即n＝r.‎ 又n∈N＋，故n的最小值为5.‎ ‎(2)(2x＋)5展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－r·C·.‎ 令5－＝3，得r＝4.‎ 故x3的系数为25－4·C＝2C＝10.]‎ 二项式系数与各项系数和 ‎　(1)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为________．‎ ‎(2)若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3＋a4＝________. ‎ ‎【导学号：62172323】‎ ‎(1)29　(2)0　[(1)∵(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，‎ ‎∴C＝C，解得n＝10.‎ 从而C＋C＋C＋…＋C＝210，‎ ‎∴奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.‎ ‎(2)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1－2)4＝1.‎ 又令x＝0，得a0＝(1－0)4＝1.‎ 因此a1＋a2＋a3＋a4＝0.]‎ ‎[迁移探究1]　若本例(2)中条件不变，问题变为“求a0＋a2＋a4的值”，则结果如何？‎ ‎[解]　在(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，‎ 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.　①‎ 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝34.　②‎ 由①＋②，可得a0＋a2＋a4＝(34＋1)＝41.‎ ‎[迁移探究2]　若将本例(2)变为“若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 016x2 016(x∈R)，则＋＋…＋的值为________．”‎ ‎－1　[令x＝0，得a0＝(1－0)2 016＝1.‎ 令x＝，则a0＋＋＋…＋＝0，‎ ‎∴＋＋…＋＝－1.]‎ ‎[规律方法]　1.第(1)小题求解的关键在于求n，本题常因把“n的等量关系表示为C＝C”，错求n＝12；第(2)小题主要是“赋值”求出a0与各项系数的和．‎ ‎2．求解这类问题要注意：‎ ‎(1)区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；‎ ‎(2)根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.‎ ‎[变式训练2]　(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.‎ ‎3　[设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.‎ 令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①‎ 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②‎ ‎①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.]‎ 二项式定理的应用 ‎　(1)设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017＝________.‎ ‎(2)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝________.‎ ‎(1)－1＋i　(2)12　[(1)x＝＝－1＋i，‎ Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017‎ ‎＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝－1＋i.‎ ‎(2)512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝‎ C·522 012－C·522 011＋…＋C·52·(－1)2 011＋‎ C·(－1)2 012＋a，‎ ‎∵C·522 012－C·522 011＋…＋C·52·(－1)2 011能被13整除．‎ 且512 012＋a能被13整除，‎ ‎∴C·(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除．‎ 因此a可取值12.]‎ ‎[规律方法]　1.第(1)题将二项式定理的应用与坐标系中图象点的坐标交汇渗透，命题角度新颖；将图表信息转化为运用二项展开式的系数求待定字母参数，体现数形结合和方程思想的应用．‎ ‎2．第(2)题求解的关键在于将512 012变形为(52－1)2 012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系．(2)运用二项式定理要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数；②二项式定理的逆用．‎ ‎[变式训练3]　设a≠0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图591所示，则a＝________.‎ 图591‎ ‎3　[由题意知A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)．‎ 故a0＝1，a1＝3，a2＝4.‎ 又n的通项公式Tr＋1＝Cr(r＝0,1,2，…，n)．‎ 故＝3，＝4，解得a＝3.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)揭示二项展开式的规律，一定要牢记通项Tr＋1＝Can－rbr是展开式的第r＋1项，不是第r项．‎ ‎2．通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(常用待定系数法)．‎ ‎3．展开式的应用：(1)可求解与二项式系数有关的求值问题，常采用赋值法．(2)可证明整除问题(或求余数)．(3)有关组合式的求值证明，常采用构造法．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．‎ ‎2．(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒．‎ ‎3．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0,1，…，n ‎)．‎ 课时分层训练(三)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．设(5x－)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，求展开式中二项式系数最大的项. 【导学号：62172324】‎ ‎[解]　依题意得，M＝4n＝(2n)2，N＝2n，‎ 于是有(2n)2－2n＝240，(2n＋15)(2n－16)＝0，‎ ‎∴2n＝16＝24，‎ 解得n＝4.‎ 要使二项式系数C最大，只有r＝2，‎ 故展开式中二项式系数最大的项为 T3＝C(5x)2·(－)2＝150x3.‎ ‎2．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，求m的值．‎ ‎[解]　(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C，‎ ‎∴a＝C，同理，b＝C.‎ ‎∵13a＝7b，∴13·C＝7·C.‎ ‎∴13·＝7·.‎ ‎∴m＝6‎ ‎3．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.‎ 求：(1)a1＋a2＋…＋a7；‎ ‎(2)a1＋a3＋a5＋a7；‎ ‎(3)a0＋a2＋a4＋a6；‎ ‎(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 【导学号：62172325】‎ ‎[解]　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①‎ 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②‎ ‎(1)∵a0＝C＝1，‎ ‎∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.‎ ‎(2)(①－②)÷2，‎ 得a1＋a3＋a5＋a7‎ ‎＝＝－1 094.‎ ‎(3)(①＋②)÷2，‎ 得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.‎ ‎(4)法一：∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，‎ ‎∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.‎ 法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|，‎ 即(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1，‎ ‎∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.‎ ‎4．已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.‎ ‎(1)求n；‎ ‎(2)求展开式中的常数项．‎ ‎[解]　(1)由题意得C＋C＋C＋…＋C＝256，∴2n＝256，解得n＝8.‎ ‎(2)该二项展开式中的第r＋1项为 Tr＋1＝C()8－r·r＝C·x，‎ 令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28.‎ ‎5．若n展开式中前三项的系数成等差数列，求：‎ ‎(1)展开式中所有x的有理项；‎ ‎(2)展开式中系数最大的项．‎ ‎[解]　易求得展开式前三项的系数为1，C，C.‎ 据题意得2×C＝1＋C⇒n＝8.‎ ‎(1)设展开式中的有理项为Tr＋1，‎ 由Tr＋1＝C()8－rr＝rCx，‎ ‎∴r为4的倍数，‎ 又0≤r≤8，∴r＝0,4,8.‎ 故有理项为T1＝0Cx＝x4，‎ T5＝4Cx＝x，‎ T9＝8Cx＝.‎ ‎(2)设展开式中Tr＋1项的系数最大，则：‎ rC≥r＋1C且rC≥r－1C⇒r＝2或r＝3.‎ 故展开式中系数最大的项为T3＝2Cx＝7x，‎ T4＝3Cx＝7x.‎ ‎6．(1)已知2n＋2·3n＋5n－a能被25整除，求正整数a的最小值；‎ ‎(2)求1.028的近似值．(精确到小数点后三位)‎ ‎[解]　(1)原式＝4·6n＋5n－a＝4(5＋1)n＋5n－a ‎＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52＋C5＋C)＋5n－a ‎＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52)＋25n＋4－a，‎ 显然正整数a的最小值为4.‎ ‎(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C·0.02＋C·0.022＋C·0.023≈1.172.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·苏州期中)设f(x，n)＝(1＋x)n，n∈N＋.‎ ‎(1)求f(x,6)的展开式中系数最大的项；‎ ‎(2)n∈N＋，化简C4n－1＋C4n－2＋C4n－3＋…＋C40＋C4－1；‎ ‎(3)求证：C＋2C＋3C＋…＋nC＝n×2n－1.‎ ‎[解]　(1)展开式中系数最大的项是第4项为Cx3＝20x3.‎ ‎(2)C4n－1＋C4n－2＋C4n－3＋…＋C40＋C4－1‎ ‎＝[C4n＋C4n－1＋C4n－2＋…＋C4＋C]＝(4＋1)n＝.‎ ‎(3)证明：因为kC＝nC，‎ 所以C＋2C＋3C＋…＋nC＝n(C＋C＋C＋…C)＝n×2n－1.‎ ‎2．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N＋)的展开式中x的系数为11.‎ ‎(1)求x2的系数取最小值时n的值；‎ ‎(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．‎ ‎[解]　(1)由已知得C＋2C＝11，∴m＋2n＝11，‎ x2的系数为 C＋22C＝＋2n(n－1)‎ ‎＝＋(11－m) ‎＝2＋.‎ ‎∵m∈N＋，∴m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.‎ ‎(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，‎ m＝5，n＝3，‎ ‎∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.‎ 设这时f(x)的展开式为 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，‎ 令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33＝59，‎ 令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，‎ 两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，‎ 故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.‎ ‎3．(2017·南京模拟)设集合S＝{1,2,3，…，n}(n∈N＋，n≥2)，A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数小于集合B中的最小数，记满足条件的集合对(A，B)的个数为Pn.‎ ‎(1)求P2，P3的值；‎ ‎(2)求Pn的表达式．‎ ‎[解]　(1)当n＝2时，即S＝{1,2}，此时A＝{1}，B＝{2}，所以P2＝1.‎ 当n＝3时，即S＝{1,2,3}．若A＝{1}，则B＝{2}，或B＝{3}，或B＝{2,3}；‎ 若A＝{2}或A＝{1,2}，则B＝{3}．所以P3＝5.‎ ‎(2)当集合A中的最大元素为“k”时，集合A的其余元素可在1,2，…，k－1中任取若干个(包含不取)，所以集合A共有C＋C＋C＋…＋C＝2k－1种情况．‎ 此时，集合B的元素只能在k＋1，k＋2，…，n中任取若干个(至少取1个)，所以集合B共有C＋C＋C＋…＋C＝2n－k－1种情况，‎ 所以，当集合A中的最大元素为“k”时，‎ 集合对(A，B)共有2k－1(2n－k－1)＝2n－1－2k－1对．‎ 当k依次取1,2,3，…，n－1时，可分别得到集合对(A，B)的个数，求和可得 Pn＝(n－1)·2n－1－(20＋21＋22＋…＋2n－2)＝(n－2)·2n－1＋1.‎ ‎4．(2017·苏锡常镇调研一)在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如图592所示．‎ 图592‎ ‎(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；‎ ‎(2)已知n、r为正整数，且n≥r＋3.‎ 求证：任何四个相邻的组合数C，C，C，C不能构成等差数列．‎ ‎[解]　(1)杨辉三角形的第n行由二项式系数C，k＝0,1,2，…，n组成．‎ 如果第n行中有＝＝，＝＝，‎ 那么3n－7k＝－3,4n－9k＝5，‎ 解这个联立方程组，得k＝27，n＝62.‎ ‎ 即第62行有三个相邻的数C，C，C的比为3∶4∶5.‎ ‎(2)假设有n，r(n≥r＋3)，使得C，C，C，C成等差数列，‎ 则2C＝C＋C，2C＝C＋C，‎ 即＝＋，‎ ＝＋.‎ 所以有＝＋，‎ ＝＋，‎ 经整理得到n2－(4r＋5)n＋4r(r＋2)＋2＝0，n2－(4r＋9)n＋4(r＋1)(r＋3)＋2＝0. ‎ 两式相减可得n＝2r＋3，‎ ‎ 于是C，C，C，C成等差数列，‎ 而由二项式系数的性质可知C＝C＜C＝C，‎ 这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立．‎