数学理卷·2018届北京四中高三下学期第二次模拟考试（2018

数学理卷·2018届北京四中高三下学期第二次模拟考试（2018

北京四中2018届高三第二次模拟考试卷 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．[2018·太原期末]已知，都是实数，那么“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．[2018·豫南九校]抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．[2018·牡丹江一中]十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ）‎ A．24种 B．16种 C．12种 D．10种 ‎4．[2018·行知中学]设，满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．[2018·三门峡期末]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．[2018·龙岩质检]大致的图象是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．[2018·安庆一中]函数在上单调递增，则的取值不可能为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．[2018·三门峡期末]运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为，从集合中任取一个元素，则函数，是增函数的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．[2018·西城期末]已知，是函数的图象上的相异两点，若点，到直线的距离相等，则点，的横坐标之和的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．[2018·天一大联考]在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．[2018·江西联考]设是函数的极值点，‎ 数列满足，，，若表示不超过的最大整数，则 ‎=（ ）‎ A．2017 B．2018 C．2019 D．2020‎ ‎12．[2018·周口期末]已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．[2018·天津期末]已知为虚数单位，则__________．‎ ‎14．[2018·菏泽期末]已知等比数列中，，，则的前6项和为__________．‎ ‎15．[2018·湖师附中]在矩形中，，，为的中点，若为该矩形内（含边界）任意一点，则的最大值为__________．‎ ‎16．[2018·漳州调研]设F为双曲线：(，)的右焦点，过F且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，且，则双曲线的离心率为_____．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．[2018·宜昌一中]已知，．‎ ‎（1）求的最大值、最小值；‎ ‎（2）为的内角平分线，已知，，，求．‎ ‎18．[2018·漳州期末]随着科学技术的飞速发展，手机的功能逐渐强大，很大程度上代替了电脑、电视．为了了解某高校学生平均每天使用手机的时间是否与性别有关，某调查小组随机抽取了名男生、名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示：‎ 平均每天使用手机超过小时 平均每天使用手机不超过小时 合计 男生 女生 合计 ‎（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关？‎ ‎（2）在这名女生中，调查小组发现共有人使用国产手机，在这人中，平均每天使用手机不超过小时的共有人．从平均每天使用手机超过小时的女生中任意选取人，求这人中使用非国产手机的人数的分布列和数学期望．‎ 参考公式：‎ ‎19．[2018·晋中调研]如图，已知四棱锥，平面，底面中，，，且，为的中点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）问在棱上是否存在点，使平面，若存在，请求出二面角的余弦值；若不存在，请说明理由．‎ ‎20．[2018·池州期末]已知定点、，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在求出坐标；若不存在请说明理由．‎ ‎21．[2018·龙岩质检]已知函数，．‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．‎ ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．[2018·赤峰期末]选修4-4：极坐标系与参数方程(10分)‎ 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将曲线上各点的横坐标都缩短为原来的倍,纵坐标坐标都伸长为原来的倍,得到曲线,在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴非负半轴为极轴)中,直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最大值．‎ ‎23．[2018·太原期末]选修4-5：不等式选讲 设函数，．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设不等式的解集为，当时，证明：．‎ 理科数学答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】D ‎【解析】：，：，与没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”．故选D．‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】化为标准方程得，故焦点坐标为．故选B．‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行车路线共有种，故选C．‎ ‎4．【答案】A ‎【解析】如图，过时，取最小值，为．故选A．‎ ‎5．【答案】D ‎【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：‎ 其中平面，∴，，，∴，，．该几何体最长棱的棱长为．故选D．‎ ‎6．【答案】D ‎【解析】由于函数是偶函数，故它的图象关于轴对称，再由当趋于时，函数值趋于零，故答案为：D．‎ ‎7．【答案】D ‎【解析】∵，‎ ‎∴令，，即，，‎ ‎∵在上单调递增，∴且，‎ ‎∴，故选D．‎ ‎8．【答案】A ‎【解析】由框图可知，其中基本事件的总数为5，设集合中满足“函数，是增函数”为事件E，当函数，是增函数时，，事件E包含基本事件的个数为3，则．故选：A．‎ ‎9．【答案】B ‎【解析】设，，不妨设，函数为单调增函数，若点，到直线的距离相等，则，即．有．由基本不等式得：，整理得，解得．（因为，等号取不到）．故选B．‎ ‎10．【答案】C ‎【解析】如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分别为，，，则，三式相加得：，所以该四面体的外接球直径为长方体的体对角线长，故外接球体积为：．‎ ‎11．【答案】A ‎【解析】由题意可得，∵是函数的极值点，‎ ‎∴，即．∴，‎ ‎∴，，，，，‎ 以上各式累加可得．∴．‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎∴．选A．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】当时，在上为减函数，在上为增函数，且恒成立，若函数在区间上单调递增，‎ 则在区间上单调递增，则，解得，‎ 当时，在区间上单调递增，满足条件．‎ 当时，在上单调递增，令，则，‎ 则在上为减函数，在上为增函数，‎ 则，解得，综上所述，实数的取值范围，故选C．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】．故答案为：．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】，，则，．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】如图所示：‎ 设与的夹角为，则，由投影的定义知，只有点取点时，取得最大值．,故填．‎ ‎16．【答案】或 ‎【解析】若，则由图1可知，渐近线的斜率为，，在中，由角平分线定理可得，所以，，所以，．若，则由图可知，渐近线为边的垂直平分线，故为等腰三角形，故可以求出，根据的方程：和准线方程：，可以求出点，根据，求出，，即该双曲线的离心率为或．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）·······3分 ‎∵在上↑，上↓，∴，·······6分 ‎（2）中，，中，，‎ ‎∵，，，‎ ‎∵·······9分 中，，‎ 中，，‎ ‎∴，·······12分 ‎18．【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）．·······3分 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关．·······4分 ‎（2）可取0，1，2，3．·······6分 ‎，·······7分 ‎，·······8分 ‎，·······9分 ‎，·······10分 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎．·······12分 ‎19．【答案】（1）见解析；（2）存在点，．‎ ‎【解析】∴以为原点，射线，，分别为，，轴的正半轴，建立空间直角坐标系如图所示：‎ ‎，‎ ‎，，，，，‎ ‎，，‎ 为的中点，∴，．·······2分 ‎（1），，‎ ‎∴，．·······4分 平面，平面，且，‎ ‎∴平面．·······5分 平面，∴平面⊥平面．·······6分 ‎（2）存在点使平面，在内，过做垂足为，‎ 由（1）平面，平面，，‎ ‎，平面，·······8分 设平面的一个法向量为，‎ 则，，‎ 取．·······10分 平面，‎ 是平面的一个法向量．·······11分 由图形知二面角的平面角是锐角，‎ 故，‎ 所以二面角余弦值为·······12分 ‎20．【答案】（1）曲线的方程为；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）设动点，则，，‎ ‎，·······2分 即．‎ 化简得：，‎ 由已知，故曲线的方程为．·······4分 ‎（2）由已知直线过点，‎ 设的方程为，则联立方程组，‎ 消去得,‎ 设，，则，·······6分 直线与斜率分别为，，·······8分 ‎．·······10分 当时，；当时，．‎ 所以存在定点，使得直线与斜率之积为定值．·······12分 ‎21．【答案】（1）见解析；（2）的取值范围为．‎ ‎【解析】（1），‎ ‎，·······1分 ‎∵的定义域为．‎ ‎①即时，在上递减，在上递增，‎ ‎，无极大值．·······2分 ‎②即时，在和上递增，在上递减，‎ ‎，．·······3分 ‎③即时，在上递增，没有极值．·······4分 ‎④即时，在和上递增，在上递减，‎ ‎∴，．·······5分 综上可知：时，，无极大值；‎ 时，，；‎ 时，没有极值；‎ 时，，．··6分 ‎（2）设，，‎ 设，则，，，‎ ‎∴在上递增，∴的值域为，·······8分 ‎①当时，，为上的增函数，‎ ‎∴，适合条件．·······9分 ‎②当时，∵，∴不适合条件．·······10分 ‎③当时，对于，，‎ 令，，‎ 存在，使得时，，‎ ‎∴在上单调递减，∴，‎ 即在时，，∴不适合条件．‎ 综上，的取值范围为．·······12分 ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】（1）因为直线的极坐标方程为,‎ 所以有，即直线的直角坐标方程为：·······2分 因为曲线的的参数方程为(为参数),经过变换后为(为参数)‎ 所以化为直角坐标方程为：·······5分 ‎（2）因为点在曲线上,故可设点的坐标为，‎ 从而点到直线的距离为·······8分 由此得,当时,取得最大值,且最大值为·······10分 ‎23．【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】（1），‎ 则有①或②或③·······3分 解①得，解②得，解③得，‎ 则不等式的解集为．·······5分 ‎（2），解得，则，所以．‎ 当时，，，‎ 由，有，则成立．‎ 当时，，，‎ 由，有，则．‎ 综上，成立．·······10分