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文档介绍
高中数学必修2教案:第三章 3_2_1直线的点斜式方程
3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程 [学习目标] 1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义.3.会根据斜截式方程判断两直线的位置关系. [知识链接] 1.两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1=k2.特别地,当直线l1、l2的斜率都不存在时,l1与l2的关系为平行. 2.两条直线垂直 如果两条直线l1,l2斜率存在并设为k1,k2,则l1⊥l2⇔k1·k2=-1.特别地,当直线l1,l2一条斜率为0,另一条斜率不存在时,l1与l2的关系为垂直. [预习导引] 1.直线的点斜式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 点斜式 点P(x0,y0)和斜率k y-y0=k(x-x0) 斜率存在的直线 2.直线l在坐标轴上的截距 (1)直线在y轴上的截距:直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b. (2)直线在x轴上的截距:直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a. 3.直线的斜截式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 斜截式 斜率k和在y轴上的截距b y=kx+b 斜率存在的直线 要点一 直线的点斜式方程 例1 求满足下列条件的直线的点斜式方程. (1)过点P(-4,3),斜率k=-3; (2)过点P(3,-4),且与x轴平行; (3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点. 解 (1)∵直线过点P(-4,3),斜率k=-3, 由直线方程的点斜式得直线方程为y-3=-3(x+4). (2)与x轴平行的直线,其斜率k=0,由直线方程的点斜式可得直线方程为y-(-4)=0×(x-3), 即y+4=0. (3)过点P(-2,3),Q(5,-4)的直线的斜率 kPQ===-1. 又∵直线过点P(-2,3),即x+y-1=0. ∴直线的点斜式方程为 y-3=-(x+2). 规律方法 1.求直线的点斜式方程的步骤:定点(x0,y0)→定斜率k→写出方程y-y0=k(x-x0). 2.点斜式方程y-y0=k·(x-x0)可表示过点P(x0,y0)的所有直线,但x=x0除外. 跟踪演练1 (1)过点(-1,2),且倾斜角为135°的直线方程为________. (2)已知直线l过点A(2,1)且与直线y-1=4x-3垂直,则直线l的方程为________. 答案 (1)x+y-1=0 (2)x+4y-6=0 解析 (1)k=tan 135°=-1, 由直线的点斜式方程得 y-2=-(x+1),即x+y-1=0. (2)方程y-1=4x-3可化为y-1=4, 由点斜式方程知其斜率k=4.又因为l与直线y-1=4x-3垂直,所以直线l的斜率为-.又因为l过点A(2,1),所以直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+4y-6=0. 要点二 直线的斜截式方程 例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2,在y轴上的截距是5; (2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2; (3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解 (1)由直线方程的斜截式可知, 所求直线方程为y=2x+5. (2)∵倾斜角α=150°,∴斜率k=tan 150°=-. 由斜截式可得方程为y=-x-2. (3)∵直线的倾斜角为60°,∴其斜率k=tan 60°=, ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3, ∴直线在y轴上的截距b=3或b=-3. ∴所求直线方程为y=x+3或y=x-3. 规律方法 1.本例(3)在求解过程中,常因混淆截距与距离的概念,而漏掉解“y=x-3”. 2.截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标,它是个数值,可正、可负、可为零. 跟踪演练2 写出下列直线的斜截式方程: (1)斜率是3,在y轴上的截距是-3; (2)倾斜角是60°,在y轴上的截距是5; (3)倾斜角是30°,在y轴上的截距是0. 解 (1)由直线方程的斜截式可得, 所求直线方程为y=3x-3. (2)由题意可知,直线的斜率k=tan 60°=,所求直线的方程为y=x+5. (3)由题意可知所求直线的斜率k=tan 30°=, 由直线方程的斜截式可知,直线方程为y=x. 要点三 直线过定点问题 例3 求证:不论m为何值,直线l:y=(m-1)x+2m+1总过第二象限. 证明 方法一 直线l的方程可化为y-3=(m-1)(x+2), ∴直线l过定点(-2,3), 由于点(-2,3)在第二象限,故直线l总过第二象限. 方法二 直线l的方程可化为m(x+2)-(x+y-1)=0. 令解得 ∴无论m取何值,直线l总经过点(-2,3). ∵点(-2,3)在第二象限,∴直线l总过第二象限. 规律方法 本例两种证法是证明直线过定点的基本方法,方法一体现了点斜式的应用,方法二体现了代数方法处理恒成立问题的基本思想. 跟踪演练3 已知直线y=(3-2k)x-6不经过第一象限,求k的取值范围. 解 由题意知,需满足它在y轴上的截距不大于零,且斜率不大于零,则得k≥. 所以,k的取值范围是. 1.已知直线的方程是y+2=-x-1,则( ) A.直线经过点(-1,2),斜率为-1 B.直线经过点(2,-1),斜率为-1 C.直线经过点(-1,-2),斜率为-1 D.直线经过点(-2,-1),斜率为1 答案 C 解析 ∵方程可变形为y+2=-(x+1), ∴直线过点(-1,-2),斜率为-1. 2.直线y-2=-(x+1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为( ) A.60°,2 B.120°,2- C.60°,2- D.120°,2 答案 B 解析 ∵该直线的斜率为-,当x=0时,y=2-, ∴其倾斜角为120°,在y轴上的截距为2-. 3.直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有( ) A.k>0,b>0 B.k>0,b<0 C.k<0,b>0 D.k<0,b<0 答案 B 解析 ∵直线经过一、三、四象限, ∴图形如图所示,由图知,k>0,b<0. 4.斜率为4,经过点(2,-3)的直线方程是________. 答案 4x-y-11=0 5.已知直线l的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的2倍,且过定点P(3,3),则直线l的方程为________. 答案 x=3 解析 直线y=x+1的斜率为1,所以倾斜角为45°,又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍,所以所求直线的倾斜角为90°,其斜率不存在.又直线过定点P(3,3),所以直线l的方程为x=3. 1.建立点斜式方程的依据是:直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同,故有=k,此式是不含点P1(x1,y1)的两条反向射线的方程,必须化为y-y1=k(x-x1)才是整条直线的方程.当直线的斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为x=x1. 2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况,表示过(0,b)点、斜率为k的直线y-b=k(x-0),即y=kx+b,其特征是方程等号的一端只是一个y,其系数是1;等号的另一端是x的一次式,而不一定是x的一次函数.如y=c是直线的斜截式方程,而2y=3x+4不是直线的斜截式方程. 一、基础达标 1.直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)可以表示( ) A.任何一条直线 B.不过原点的直线 C.不与坐标轴垂直的直线 D.不与x轴垂直的直线 答案 D 解析 点斜式方程适用的前提条件是斜率存在,故其可表示不与x轴垂直的直线. 2.经过点(-1,1),斜率是直线y=x-2的斜率的2倍的直线方程是( ) A.x=-1 B.y=1 C.y-1=(x+1) D.y-1=2(x+1) 答案 C 解析 由方程知,已知直线的斜率为, ∴所求直线的斜率是,由直线方程的点斜式可得方程为y-1=(x+1),∴选C. 3.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( ) A.y=x+4 B.y=2x+4 C.y=-2x+4 D.y=-x+4 答案 D 解析 ∵直线y=2x+1的斜率为2, ∴与其垂直的直线的斜率是-, ∴直线的斜截式方程为y=-x+4,故选D. 4.若经过原点的直线l与直线y=x+1的夹角为30°,则直线l的倾斜角是( ) A.0° B.60° C.0°或60° D.60°或90° 答案 C 5.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 答案 A 解析 直线x-2y-2=0的斜率为,又所求直线过点(1,0),故由点斜式方程可得,所求直线方程为y=(x-1),即x-2y-1=0. 6.直线y=kx+2(k∈R)不过第三象限,则斜率k的取值范围是________. 答案 (-∞,0] 解析 当k=0时,直线y=2不过第三象限; 当k>0时,直线过第三象限; 当k<0时,直线不过第三象限. 7.直线l1过点P(-1,2),斜率为-,把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2,求直线l1和l2的方程. 解 直线l1的方程是y-2=-(x+1). 即x+3y-6+=0. ∵k1=-=tan α1,∴α1=150°. 如图,l1绕点P按顺时针方向旋转30°,得到直线l2的倾斜角为α2=150°-30°=120°,∴k2=tan 120°=-, ∴l2的方程为y-2=-(x+1), 即x+y-2+=0. 二、能力提升 8.方程y=ax+表示的直线可能是图中的( ) 答案 B 解析 直线y=ax+的斜率是a,在y轴上的截距.当a>0时,斜率a>0,在y轴上的截距>0,则直线y=ax+过第一、二、三象限,四个选项都不符合;当a<0时,斜率a<0,在y轴上的截距<0,则直线y=ax+过第二、三、四象限,仅有选项B符合.故正确答案为B. 9.直线y=ax-3a+2(a∈R)必过定点________. 答案 (3,2) 解析 ∵y=a(x-3)+2,即y-2=a(x-3) ∴直线过定点(3,2). 10.已知直线y=x+k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1,则实数k的取值范围是________. 答案 k≥1或k≤-1 解析 令y=0,则x=-2k.令x=0,则y=k,则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=|k|·|-2k|=k2. 由题意知,三角形的面积不小于1,可得k2≥1, 所以k的取值范围是k≥1或k≤-1. 11.已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求BC边上的高所在的直线方程. 解 设BC边上的高为AD,则BC⊥AD, ∴kAD·kBC=-1,∴·kAD=-1,解得kAD=. ∴BC边上的高所在的直线方程为y-0=(x+5), 即y=x+3. 三、探究与创新 12.是否存在过点(-5,-4)的直线l,使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5? 解 假设存在过点(-5,-4)的直线l,使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5. 由题意可知直线l的斜率一定存在且不为零,设直线的斜率为k(k≠0), 则直线方程为y+4=k(x+5),则分别令y=0,x=0, 可得直线l与x轴的交点为(,0), 与y轴的交点为(0,5k-4). 因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为5, 所以||·|5k-4|=5, 所以·(5k-4)=±10, 即25k2-30k+16=0(无解)或25k2-50k+16=0, 所以k=或k=,所以存在直线l满足题意, 直线l的方程为y+4=(x+5)或y+4=(x+5),即8x-5y+20=0或2x-5y-10=0. 13.已知直线l:y=kx+2k+1. (1)求证:直线l恒过一个定点; (2)当-3查看更多
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