数学卷·2017届浙江省杭州市高三上学期教学质量检测（2017

数学卷·2017届浙江省杭州市高三上学期教学质量检测（2017

‎2016学年杭州市高三年级第一学期教学质量检测 数学检测试卷 ‎ 选择题部分（共40分）‎ 一、 选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）‎ 1. 若集合，，则集合（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 2. 命题“”是命题“或”的（ ）‎ ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 有五条长度分别为1，3，5，7，9的线段，若从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 4. 设复数（其中是虚数单位），则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知直线经过椭圆的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知（为自然对数的底数），则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.设是的内心，，若，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.若不等式对任意的恒成立，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.在中，，，则（ ）‎ ‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎10.设函数的图象经过点和点，.若，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 非选择题部分（共110分）‎ 二、 填空题（本大题共7小题，第11-14题每小题6分，15-17题每小题4分，共36分）‎ 11. ‎________；=________.‎ 12. 双曲线的渐近线方程是________，离心率是________.‎ 13. 已知随机变量的分布列为：‎ 若，则________，_________.‎ 14. 设函数，则点处的切线方程是________；函数的最小值为_________.‎ 15. 在的二项展开式中，含的奇次幂的项之和为，当时，________.‎ 11. 若实数满足，则由点形成的区域的面积为_________.‎ 12. 设函数，若存在实数，使得对任意不为零的实数均有成立，则的取值范围是________.‎ 三、 解答题（本大题共5小题，共74分）‎ 18. ‎（本题满分14分）设.‎ （1） 求函数的最小正周期与值域；‎ （2） 设内角的对边分别为，为锐角，，若，求.‎ 19. ‎（本题满分15分）在平面直角坐标系内，点，点满足.‎ （1） 若，求点的轨迹方程；‎ （2） 当时，若，求实数的值.‎ ‎20.（本题满分15分）设函数.‎ （1） 证明：；‎ （2） 证明：.‎ 21. ‎（本题满分15分）已知为椭圆上的两点，满足，其中 分别为左右焦点.‎ （1） 求的最小值；‎ （2） 若，设直线的斜率为，求的值.‎ 22. ‎（本题满分15分）设数列满足.‎ （1） 证明：；‎ （2） 证明：.‎ ‎2016学年杭州市高三年级第一学期教学质量检测 数学参考答案及评分标准 一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 C C B C A A A B B A 二、填空题：（本大题共7小题，第11-14题，每小题6分，15-17每小题4分，共36分）‎ ‎11．1,1 12．y＝±x； 13．， 14．y＝x－1；－‎ ‎15．－23023 16．1 17．‎ 三、解答题：（本大题共5小题，共 74分）‎ ‎18．（本题满分14分）‎ 解：（I）化简得：f (x)＝sin(2x－)（x∈R），‎ 所以最小正周期为π，值域为[－1,1]．………………………………7分 ‎（II）因为f (A)＝sin(2A－)＝1．‎ 因为A为锐角，所以2A－∈(－,)，‎ 所以2A－＝，所以A＝．‎ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，‎ 得b2－4b＋4＝0．解得b＝2． ………………………………7分 ‎19．（本题满分15分）‎ 解：（I）设P(x,y)，则＝(x,y－1)，＝(x,y＋1)，＝(x－1,y)．‎ 因为k＝2，所以 ，‎ 所以 (x,y－1)▪(x,y＋1)＝2[(x－1)2＋y2]，‎ 化简整理，得 (x－2)2＋y2＝1，‎ 故点P的轨迹方程为 (x－2)2＋y2＝1．……………………………7分 ‎（II）因为k＝0，所以，‎ 所以 x2＋y2＝1．‎ 所以 |λ＋|2＝λ22＋2‎ ‎＝λ2[x2＋(y－1)2]＋x2＋(y＋1)2‎ ‎＝(2－2λ2) y＋2λ2＋2（y∈[－1,1]）．‎ 当2－2λ2＞0时，即－1＜λ＜1，‎ ‎(|λ＋|max)2＝2－2λ2＋2λ2＋2＝4≠16，不合题意，舍去；‎ 当2－2λ2≤0时，即λ≥1或λ≤－1时，‎ ‎(|λ＋|max)2＝2λ2－2＋2λ2＋2＝16，解得λ＝±2．………………………………8分 ‎20．（本题满分15分）‎ 解：（I）令g(x)＝f (x)－x2＋x－，即g(x)＝＋x－，‎ ‎ 所以，‎ 所以g(x)在上递减，在上递增，‎ ‎ 所以g(x)≥＝0，所以f (x)≥x2－x＋． ………………………………7分 ‎（II）因为，x∈[0,1]，‎ 设h(x)＝2x3＋4x2＋2x－1，h′(x)＝6x2＋8x＋2，‎ 因为h(0)＝－1，h(1)＝7，‎ 所以存在x0∈(0,1)，使得f′(x)＝0，且f (x)在(0, x0)上递减，在(x0,1)上递增，‎ 所以 f (x)max＝{ f (0)，f (1)}＝f (1)＝．‎ ‎ 由（I）知，f (x)≥x2－x＋＝≥，‎ ‎ 又＝，，‎ 所以＜f (x)≤． ………………………………8分 ‎21．（本题满分15分）‎ 解: （I）因为（O为坐标原点），‎ 显然，‎ 所以的最小值为2． ………………………………5分 ‎（II）由题意，可知．‎ 又，所以PQ是两个直角三角形POQ和PF2Q的公共斜边，即得线段PQ的中点到O，F2两点的距离相等，即线段PQ中点的横坐标为．‎ 设直线PQ的方程为y＝kx＋b，联立椭圆方程，得 ‎(1＋2k2)x2＋4kbx＋2b2－2＝0．‎ 设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1＋x2＝－．‎ 又因为 x1＋x2＝1，‎ 所以 1＋2k2＝－4kb， （1）‎ 另一方面，x1x2＝，y1y2＝．‎ 由x1x2＋y1y2＝0，得，‎ 即 4k2b2＋2k3b－2k2＋3b2＋kb－2＝0， （2）‎ 由（1）（2），得－20k4－20k2＋3＝0，解之得．………………10分 ‎22．（本题满分15分）‎ 证明：（I）易知an＞0，所以an＋1＞an＋＞an，‎ 所以 ak＋1＝ak＋＜ak＋，‎ 所以．‎ 所以，当n≥2时，‎ ‎，‎ 所以an＜1．‎ 又，所以an＜1（n∈N*），‎ 所以 an＜an＋1＜1（n∈N*）． ………………………………8分 ‎（II）当n＝1时，显然成立．‎ 由an＜1，知，所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，当n≥2时，‎ ‎，即．‎ 所以（n∈N*）． ………………………………7分