2012年宜宾中考数学试卷

2012年宜宾中考数学试卷

‎2012年四川省宜宾市中考数学试卷 一．选择题（共8小题）‎ ‎1．（2012宜宾）﹣3的倒数是（　　）‎ ‎　 A． B． 3 C． ﹣3 D． ﹣‎ 考点：倒数。‎ 解答：解：根据倒数的定义得：‎ ‎﹣3×（﹣）=1，‎ 因此倒数是﹣．‎ 故选：D．‎ ‎2．（2012宜宾）下面四个几何体中，其左视图为圆的是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点：简单几何体的三视图。‎ 解答：解：A．圆柱的左视图是矩形，不符合题意；‎ B．三棱锥的左视图是三角形，不符合题意；‎ C．球的左视图是圆，符合题意；‎ D．长方体的左视图是矩形，不符合题意．‎ 故选C．‎ ‎3．（2012宜宾）下面运算正确的是（　　）‎ ‎　 A． 7a2b﹣5a2b=2 B． x8÷x4=x2 C． （a﹣b）2=a2﹣b2 D． （2x2）3=8x6‎ 考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法。‎ 解答：解：A．7a2b﹣5a2b=2a2b，故本选项错误；‎ B．x8÷x4=x4，故本选项错误；‎ C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故本选项错误；‎ D．（2x2）3=8x6，故本选项正确．‎ 故选D．‎ ‎4．（2012宜宾）宜宾今年5月某天各区县的最高气温如下表：‎ 区县 翠屏区 南溪 长宁 江安 宜宾县 珙县 高县 兴文 筠连 屏山 最高气温（℃）‎ ‎32‎ ‎32‎ ‎30‎ ‎32‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎29‎ ‎33‎ ‎30‎ ‎32‎ ‎　‎ A．‎ ‎32，31.5‎ B．‎ ‎32，30‎ C．‎ ‎30，32‎ D．‎ ‎32，31‎ 考点：众数；中位数。‎ 解答：解：在这一组数据中32是出现次数最多的，故众数是32；‎ 按大小排列后，处于这组数据中间位置的数是31、32，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是31.5．‎ 故选：A．‎ ‎5．（2012宜宾）将代数式x2+6x+2化成（x+p）2+q的形式为（　　）‎ ‎　 A． （x﹣3）2+11 B． （x+3）2﹣7 C． （x+3）2﹣11 D． （x+2）2+4‎ 考点：配方法的应用。‎ 解答：解：x2+6x+2=x2+6x+9﹣9+2=（x+3）2﹣7．‎ 故选B．‎ ‎6．（2012宜宾）分式方程的解为（　　）‎ ‎　 A． 3 B． ﹣3 C． 无解 D． 3或﹣3‎ 考点：解分式方程。‎ 解答：解：方程的两边同乘（x+3）（x﹣3），得 ‎12﹣2（x+3）=x﹣3，‎ 解得：x=3．‎ 检验：把x=3代入（x+3）（x﹣3）=0，即x=3不是原分式方程的解．‎ 故原方程无解．‎ 故选C．‎ ‎7．（2012宜宾）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB．AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理。‎ 解答：解：过D作DM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，‎ 即FN∥DM，‎ ‎∵F为AD中点，‎ ‎∴N是AM中点，‎ ‎∴FN=DM，‎ ‎∵DM⊥AB，CB⊥AB，‎ ‎∴DM∥BC，‎ ‎∵DC∥AB，‎ ‎∴四边形DCBM是平行四边形，‎ ‎∴DC=BM，BC=DM，‎ ‎∵AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB．AD的中点，‎ ‎∴设DC=a，AE=BE=b，则AD=AB=2a，BC=DM=2a，‎ ‎∵FN=DM，‎ ‎∴FN=a，‎ ‎∴△AEF的面积是：×AE×FN=ab，‎ 多边形BCDFE的面积是S梯形ABCD﹣S△AEF=×（DC+AB）×BC﹣ab=（a+2a）×2b﹣ab=ab，‎ ‎∴△AEF与多边形BCDFE的面积之比为=．‎ 故选C．‎ ‎8．（2012宜宾）给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，只这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：‎ ‎①直线y=0是抛物线y=x2的切线 ‎②直线x=﹣2与抛物线y=x2 相切于点（﹣2，1）‎ ‎③直线y=x+b与抛物线y=x2相切，则相切于点（2，1）‎ ‎④若直线y=kx﹣2与抛物线y=x2 相切，则实数k=‎ 其中正确命题的是（　　）‎ ‎　 A． ①②④ B． ①③ C． ②③ D． ①③④‎ 考点：二次函数的性质；根的判别式。‎ 解答：解：①∵直线y=0是x轴，抛物线y=x2的顶点在x轴上，∴直线y=0是抛物线y=x2的切线，故本小题正确；‎ ‎②∵抛物线y=x2的顶点在x轴上，开口向上，直线x=2与y轴平行，∴直线x=﹣2与抛物线y=x2 相交，故本小题错误；‎ ‎③∵直线y=x+b与抛物线y=x2相切，∴x2﹣4x﹣b=0，∴△=16+4b=0，解得b=﹣4，把b=﹣4代入x2﹣4x﹣b=0得x=2，把x=2代入抛物线解析式可知y=1，∴直线y=x+b与抛物线y=x2相切，则相切于点（2，1），故本小题正确；‎ ‎④∵直线y=kx﹣2与抛物线y=x2 相切，∴x2=kx﹣2，即x2﹣kx+2=0，△=k2﹣2=0，解得k=±，故本小题错误．‎ 故选B．‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎9．（2012宜宾）分解因式：3m2﹣6mn+3n2= ．‎ 考点：提公因式法与公式法的综合运用。‎ 解答：解：3m2﹣6mn+3n2=3（m2﹣2mn+n2）=3（m﹣n）2．‎ 故答案为：3（m﹣n）2．‎ ‎10．（2012宜宾）一元一次不等式组的解是 ．‎ 考点：解一元一次不等式组。‎ 解答：解：，‎ 由①得，x≥﹣3，‎ 由②得，x＜﹣1，‎ ‎∴不等式组的解集为﹣3≤x＜﹣1．‎ 故答案为﹣3≤x＜﹣1．‎ ‎11．（2012宜宾）如图，已知∠1=∠2=∠3=59°，则∠4= ．‎ 考点：平行线的判定与性质。‎ 解答：‎ 解：∵∠1=∠3，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠5+∠4=180°，又∠5=∠2=59°，‎ ‎∴∠4=180°﹣59°=121°．‎ 故答案为：121°‎ ‎12．（2012宜宾）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，则点P的坐标为 ．‎ 考点：坐标与图形变化-旋转。‎ 解答：解：连接AD，‎ ‎∵将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，‎ ‎∴点A旋转后与点D重合，‎ ‎∵由题意可知A（0，1），D（﹣2，﹣3）‎ ‎∴对应点到旋转中心的距离相等，‎ ‎∴线段AD的中点坐标即为点P的坐标，‎ ‎∴点P的坐标为（，），即P（﹣1，﹣1）．‎ 故答案为：（﹣1，﹣1）．‎ ‎13．（2012宜宾）已知P=3xy﹣8x+1，Q=x﹣2xy﹣2，当x≠0时，3P﹣2Q=7恒成立，则y的值为 ．‎ 考点：因式分解的应用。‎ 解答：解：∵P=3xy﹣8x+1，Q=x﹣2xy﹣2，‎ ‎∴3P﹣2Q=3（3xy﹣8x+1）﹣2（x﹣2xy﹣2）=7恒成立，‎ ‎∴9xy﹣24x+3﹣2x+4xy+4=7，‎ ‎13xy﹣26x=0，‎ ‎13x（y﹣2）=0，‎ ‎∵x≠0，‎ ‎∴y﹣2=0，‎ ‎∴y=2；‎ 故答案为：2．‎ ‎14．（2012宜宾）如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC．BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE= ．‎ 考点：正方形的性质；角平分线的性质。‎ 解答：解：过E作EF⊥DC于F，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ ‎∵CE平分∠ACD交BD于点E，‎ ‎∴EO=EF，‎ ‎∵正方形ABCD的边长为1，‎ ‎∴AC=，‎ ‎∴CO=AC=，‎ ‎∴CF=CO=，‎ ‎∴DF=DC﹣CF=1﹣，‎ ‎∴DE==﹣1，‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎15．（2012宜宾）如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是 ．‎ 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。‎ 解答：解：根据图形，当x＜0或1＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y1＞y2．‎ 故答案为：x＜0或1＜x＜4．‎ ‎16．（2012宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：‎ ‎①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．‎ 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．‎ 考点：切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质。‎ 解答：解：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误；‎ 连接BD，如图所示：‎ ‎∵GD为圆O的切线，‎ ‎∴∠GDP=∠ABD，‎ 又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，‎ ‎∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，‎ ‎∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，‎ ‎∴△APF∽△ABD，‎ ‎∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，‎ ‎∴∠GDP=∠GPD，‎ ‎∴GP=GD，选项②正确；‎ ‎∵直径AB⊥CE，‎ ‎∴A为的中点，即=，‎ 又C为的中点，∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠CAP=∠ACP，‎ ‎∴AP=CP，‎ 又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°，‎ ‎∴∠PCQ=∠PQC，‎ ‎∴PC=PQ，‎ ‎∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，‎ ‎∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确；‎ 连接CD，如图所示：‎ ‎∵=，‎ ‎∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA，‎ ‎∴△ACQ∽△BCA，‎ ‎∴=，即AC2=CQ•CB，‎ ‎∵=，‎ ‎∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，‎ ‎∴△ACP∽△ADC，‎ ‎∴=，即AC2=AP•AD，‎ ‎∴AP•AD=CQ•CB，选项④正确，‎ 则正确的选项序号有②③④．‎ 故答案为：②③④‎ 三．解答题（共8小题）‎ ‎17．（2012宜宾）（1）计算：‎ ‎（2）先化简，再求值：，其中x=2tan45°．‎ 考点：分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算。‎ 解答：解：（1）原式=﹣2﹣1+1 ‎ ‎=﹣；‎ ‎（2）原式=•﹣‎ ‎=﹣‎ ‎=‎ 当x=2tan45°时，‎ 原式=2．‎ ‎18．（2012宜宾）如图，点A．B．D．E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F．求证：AC=EF．‎ 考点：全等三角形的判定与性质。‎ 解答：证明：∵AD=EB ‎∴AD﹣BD=EB﹣BD，即AB=ED …（1分）‎ 又∵BC∥DF，∴∠CBD=∠FDB …（2分）‎ ‎∴∠ABC=∠EDF …（3分）‎ 又∵∠C=∠F，‎ ‎∴△ABC≌△EDF …（5分）‎ ‎∴AC=EF …（6分）‎ ‎19．（2012宜宾）为了解学生的艺术特长发展情况，某校音乐组决定围绕“在舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．‎ 请你根据统计图解答下列问题：‎ ‎（1）在这次调查中一共抽查了 名学生，其中，喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为 ，喜欢“戏曲”活动项目的人数是 人；‎ ‎（2）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”活动项目任选两项设立课外兴趣小组，请用列表或画树状图的方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项活动的概率．‎ 考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法。‎ 解答：解：（1）根据喜欢声乐的人数为8人，得出总人数=8÷16%=50，‎ 喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为：×100%=24%，‎ 喜欢“戏曲”活动项目的人数是：50﹣12﹣16﹣8﹣10=4，‎ 故答案为：50，24%，4；‎ ‎（2）（用树状图）设舞蹈、乐器、声乐、戏曲的序号依次是①②③④，‎ 故恰好选中“舞蹈、声乐”两项活动的概率是；‎ ‎（用列表法）‎ ‎ 舞蹈 ‎ 乐器 ‎ 乐声 ‎ 戏曲 ‎ 舞蹈 ‎ 舞蹈、乐器 ‎ 舞蹈、乐声 ‎ 舞蹈、戏曲 ‎ 乐器 ‎ 乐器、舞蹈 ‎ 乐器、乐声 ‎ 乐器、戏曲 ‎ 乐声 ‎ 乐声、舞蹈 ‎ 乐声、乐器 ‎ 乐声、戏曲 ‎ 戏曲 ‎ 戏曲、舞蹈 ‎ 戏曲、乐器 ‎ 戏曲、乐声 ‎20．（2012宜宾）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A（0，3）、B（﹣4，0）．‎ ‎（1）求经过点C的反比例函数的解析式；‎ ‎（2）设P是（1）中所求函数图象上一点，以P、O、A顶点的三角形的面积与△COD的面积相等．求点P的坐标．‎ 考点：反比例函数综合题。‎ 解答：解：（1）由题意知，OA=3，OB=4‎ 在Rt△AOB中，AB=‎ ‎∵四边形ABCD为菱形 ‎∴AD=BC=AB=5，‎ ‎∴C（﹣4，5）．‎ 设经过点C的反比例函数的解析式为，∴，k=20‎ ‎∴所求的反比例函数的解析式为．‎ ‎（2）设P（x，y）‎ ‎∵AD=AB=5，‎ ‎∴OA=3，‎ ‎∴OD=2，S△=‎ 即，‎ ‎∴|x|=，‎ ‎∴‎ 当x=时，y=，当x=﹣时，y=﹣‎ ‎∴P（）或（）．‎ ‎21．（2012宜宾）某市政府为落实“保障性住房政策，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2013年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设．‎ ‎（1）求到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；‎ ‎（2）设（1）中方程的两根分别为x1，x2，且mx12﹣4m2x1x2+mx22的值为12，求m的值．‎ 考点：一元二次方程的应用；根与系数的关系。‎ 解答：解：（1）设到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率为x，‎ 根据题意得：‎ ‎3+3（x+1）+3（x+1）2=10.5…（3分）‎ ‎（2）由（1）得，x2+3x﹣0.5=0…（4分）‎ 由根与系数的关系得，x1+x2=﹣3，x1x2=﹣0.5…（5分）‎ 又∵mx12﹣4m2x1x2+mx22=12‎ m[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣4m2x1x2=12‎ m[9+1]﹣4m2（﹣0.5）=12‎ ‎∴m2+5m﹣6=0‎ 解得，m=﹣6或m=1…（8分）‎ ‎22．（2012宜宾）如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．‎ ‎（1）求抛物线顶点A的坐标；‎ ‎（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C．D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；‎ ‎（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A．B．D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 解答：解：（1）∵顶点A的横坐标为x==1，且顶点A在y=x﹣5上，‎ ‎∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，‎ ‎∴A（1，﹣4）．‎ ‎（2）△ABD是直角三角形．‎ 将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，‎ ‎∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）‎ 当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3‎ ‎∴C（﹣1，0），D（3，0），‎ BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，‎ BD2+AB2=AD2，‎ ‎∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．‎ ‎（3）存在．‎ 由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点A（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）‎ ‎∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3‎ ‎∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形 ‎∴BD∥l，即PA∥BD 则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，‎ 过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点C 设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）‎ 则PC=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|‎ PA=BD=3‎ 由勾股定理得：‎ ‎（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2，4‎ ‎∴P（﹣2，﹣7），P（4，﹣1）‎ 存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A．B．D．P为顶点的四边形是平行四边形．‎ ‎23．（2012宜宾）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C．D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A．B，连接AP、BP、AC．DB，且AC与DB的延长线交于点E．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若PQ=2，试求∠E度数．‎ 考点：相交两圆的性质；三角形内角和定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。‎ 解答：（1）证明：∵⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=，‎ ‎∴PC=4，PD=2，‎ ‎∵CD⊥PQ，‎ ‎∴∠PQC=∠PQD=90°，‎ ‎∴PC．PD分别是⊙O1、⊙O2的直径，‎ 在⊙O1中，∠PAB=∠PCD，‎ 在⊙O2中，∠PBA=∠PDC，‎ ‎∴△PAB∽△PCD，‎ ‎∴===，‎ 即=．‎ ‎（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2，‎ ‎∴cos∠CPQ=，‎ ‎∴∠CPQ=60°，‎ ‎∵在Rt△PDQ中，PD=2r2=2，PQ=2，‎ ‎∴sin∠PDQ=，‎ ‎∴∠PDQ=45°，‎ ‎∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，‎ 又∵PD是⊙O2的直径，‎ ‎∴∠PBD=90°，‎ ‎∴∠ABE=90°﹣∠PBQ=45°‎ 在△EAB中，∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°，‎ 答：∠E的度数是75°．‎ ‎24．（2012宜宾）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．‎ ‎（1）求证：△ABE∽△ECM；‎ ‎（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；‎ ‎（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；勾股定理。‎ 解答：（1）证明：∵AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠C，‎ ‎∵△ABC≌△DEF，‎ ‎∴∠AEF=∠B，‎ 又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，‎ ‎∴∠CEM=∠BAE，‎ ‎∴△ABE∽△ECM；‎ ‎（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，‎ ‎∴∠AME＞∠AEF，‎ ‎∴AE≠AM；‎ 当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，‎ ‎∴CE=AB=5，‎ ‎∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，‎ 当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，‎ ‎∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，‎ 即∠CAB=∠CEA，‎ 又∵∠C=∠C，‎ ‎∴△CAE∽△CBA，‎ ‎∴，‎ ‎∴CE=，‎ ‎∴BE=6﹣=；‎ ‎（3）解：设BE=x，‎ 又∵△ABE∽△ECM，‎ ‎∴，‎ 即：，‎ ‎∴CM=﹣+x=﹣（x﹣3）2+，‎ ‎∴AM=﹣5﹣CM═（x﹣3）2+，‎ ‎∴当x=3时，AM最短为，‎ 又∵当BE=x=3=BC时，‎ ‎∴点E为BC的中点，‎ ‎∴AE⊥BC，‎ ‎∴AE==4，‎ 此时，EF⊥AC，‎ ‎∴EM==，‎ S△AEM=．‎