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文档介绍
浙江省宁波市余姚中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
余姚中学 2019 学年第一学期期中考试高一数学试卷 一、选择题 1.若集合 ,且 ,则集合 可能是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析:由 知 ,故选 考点:集合的交集. 2.函数 的零点所在的一个区间是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 因为 为增函数,故代入区间端点逐个计算,左负右正即可. 【 详 解 】 因 为 为 增 函 数 , 且 , 根据零点存在性定理知 的零点在区间 内. 故选:B 【点睛】本题主要考查零点存在性定理.属于基础题型. 3.已知定义在 上的奇函数 的图象与 轴交点的横坐标分别为 、 、 、 、 ,且 ,则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 { }| 0A x x= ≥ B { }1,2 { }| 1x x ≤ { }1,0,1− R A B B∩ = B A⊆ A ( ) ln 2f x x x+ −= ( )0,1 ( )1,2 ( )2,3 ( )3,4 ( ) ln 2f x x x+ −= ( ) ln 2f x x x+ −= ( )1 ln1 1 2 1 0f + − = − <= ( )2 ln 2 2 2 ln 2 0f + − = >= ( ) ln 2f x x x+ −= ( )1,2 R ( )f x x 1x 2x 3x 2019x 1 2 3 2019x x x x m+ + + + = ( )23 2 1x m x m− + − ≤ 1 ,13 − [ ]0,3 ( ),0−∞ ∅ 设 ,利用奇函数关于原点对称,得出函数 与 轴 交点也 关于原点对称,得出 ,再将 代入不等式解出即可. 【详解】由于函数 是定义在 上的奇函数,则 , 设 ,则函数 与 轴的交点关于原点对称, 则 ,所以 , 不等式 ,即为 ,解得 , 因此,不等式 的解集为 ,故选:A. 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,同时也考查了一元二次不等式的解法,解题的关键就 是利用奇偶性求出零点之和,考查计算能力,属于中等题. 4.函数 的图象为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题中函数知,当 x=0 时,y=0,图象过原点,又依据对数函数的性质知,此函数是减函数, 根据此两点可得答案. 【详解】观察四个图的不同发现,A、C、D 图中的图象过原点, 而当 x=0 时,y=0,故排除 B;又由定义域可知 x<1,排除 D. 又由函数的单调性知,原函数是减函数,排除 A. 故选:C. 【点睛】本题考查对数函数的图象的识别,经常利用函数的性质及特殊函数值进行排除,属 的1 2 3 2019x x x x< < < < ( )y f x= x 0m = 0m = ( )y f x= R ( )0 0f = 1 2 3 2019x x x x< < < < ( )y f x= x ( )2020 0 1,2,3, ,2019i ix x i−+ = = 1 2 3 2019 0m x x x x= + + + + = ( )23 2 1x m x m− + − ≤ 23 2 1 0x x− − ≤ 1 13 x− ≤ ≤ ( )23 2 1x m x m− + − ≤ 1 ,13 − 2( ) log (1 )f x x= − 于基础题. 5.已知幂函数 在 上单调递减,若 , , ,则下列不等关系正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数 为幂函数,并结合已知条件求出实数 的值,再利用指数函数 的单 调性得出 、 、 的大小关系. 【详解】由于函数 幂函数,且在 上单调递减, 则 ,解得 , , , , 由于指数函数 在 上为增函数,因此, ,故选:B. 【点睛】本题考查幂函数的概念与性质,同时也考查了利用指数函数的单调性比较同底数指 数幂的大小关系,在比较指数幂的大小关系时,常用以下几种方法: (1)底数相同时,利用同底数的指数函数单调性比较; (2)指数相同时,利用同指数的幂函数的单调性比较; (3)底数不同,指数也不同时,可利用中间值法来比较. 6.下列函数中,是偶函数且在区间 上单调递增的是( ) A. B. C. D. 为 ( ) ( ) ( )2 5 mf x m m x m Z= − − ∈ ( )0, ∞+ 62 2 m a − = 1 2 2 m b − = 1 2 m c − = b a c< < c b a< < c a b< < b c a< < ( )y f x= m 2xy = a b c ( ) ( ) ( )2 5 mf x m m x m Z= − − ∈ ( )0, ∞+ 2 5 1 0 m m m m Z − − = < ∈ 2m = − 1 116 3 622 2 22 m a − −− = = = 1 1 1 12 2 42 22 2 m b − − − = = = ( )21 21 2 22 m c − − − = = = 2xy = R c b a< < ( )0, ∞+ | |y x x= y x= | |e xy = 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数性质判断偶函数与单调性即可. 【详解】对 A,因为 ,故 为奇函数,不满足 对 B, 定义域为 ,不满足偶函数 对 C, 为偶函数,且在区间 上单调递增,满足题意 对 D, 为偶函数,但在区间 上单调递减,不满足题意. 故选:C 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的判断等,属于基础题型. 7.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总 数 N 约为 1080.则下列各数中与 最接近的是 (参考数据:lg3≈0.48) A. 1033 B. 1053 C. 1073 D. 1093 【答案】D 【解析】 试 题 分 析 : 设 , 两 边 取 对 数 , , 所 以 , 即 最 接 近 ,故选 D. 【名师点睛】本题考查了转化与化归能力,本题以实际问题的形式给出,但本质就是对数的 1ln | |y x = | | | |x x x x− − = − | |y x x= y x= [ )0,+∞ | |e xy = ( )0, ∞+ 1ln ln | || |y xx = = − ( )0, ∞+ M N 361 80 3 10 M xN = = 361 361 80 80 3lg lg lg3 lg10 361 lg3 80 93.2810x = = − = × − = 93.2810x = M N 9310 运算关系,以及指数与对数运算的关系,难点是令 ,并想到两边同时取对数进行求 解,对数运算公式包含 , , . 8.已知 ,设 ,且 ,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数 的图像分析可得 的关系,再代入关系求解 的取值范围即可. 【详解】由题意得 ,根据图像可知 . 故 ,即 . 故 ,又 在 内单调递减,故 故 的取值范围是 故选:B 【点睛】本题主要考查对数函数的图像与零点问题.同时也考查了利用单调性求解函数取值范 围的问题,属于基础题型. 9.已知函数 , ,则以下结论正确的是( ) A. 任意的 , 且 ,都有 361 80 3 10x = log log loga a aM N MN+ = log log loga a a MM N N − = log logn a aM n M= ( ) | ln |f x x= 0 a b< < ( ) ( )f a f b= 2+a b [ )3,+∞ ( )3,+∞ )2 2, +∞ ( )2 2,+∞ ( ) | ln |f x x= ,a b 2+a b ( ) ( )f a f b= 0 1a b< < < ln lna b− = 1 1ln ln , , (0,1)b b aa a = = ∈ 22a b a a + = + 2a a + (0,1)a∈ 2 21 31a a + > + = 2+a b ( )3,+∞ ( ) x xf x e e−= − ( ) x xg x e e−= + 1x 2x R∈ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x − <− B. 任意的 , 且 ,都有 C. 有最小值,无最大值 D. 有最小值,无最大值 【答案】D 【解析】 【分析】 A:根据函数解析式直接判断 的单调性,可判断对错; B:利用奇偶性判断 的单调性,即可判断对错; C:利用奇偶性和单调性判断最值情况; D:利用奇偶性和单调性判断最值情况. 【详解】A: 在 上均是增函数,所以 是 上增函数,故错误; B:因为 ,所以 是偶函数,所以 在 上不可能是 减函数,故错误; C:因为 ,所以 是奇函数,又 在 上是增 函数,所以 无最值,故错误; D:任意的 , 且 ,所以 , 因为 , ,所以 ,所以 ,所以 在 上单调递增, 因为 是偶函数,所以 在 上单调递减,所以 ,无最大值, 故正确. 故选:D. 【点睛】本题考查函数的单调性、最值、奇偶性的综合应用,难度一般.奇函数在对称区间上 的单调性是相同的,并且在对称区间上如果有最值,则最值互为相反数;偶函数在对称区间 1x 2x R∈ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2 1 2 0g x g x x x − <− ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x ( ) ( )21 ,x xff x exe −== − R ( )f x R ( ) ( )( )x xg x e e g x x R−− = + = ∈ ( )g x ( )g x R ( ) ( ) ( )( )x xf x e e f x x R−− = − − = − ∈ ( )f x ( )f x R ( )f x 1x [ )2 0,x ∈ +∞ 1 2x x< ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 21 2 1x x x x x x x x x x x x x x e e e e g x g x e e e e e e e e e e − − − − − − − = + − + = − + − = 1 2 1 0x xe e − > 1 2 0x xe e− < ( ) ( )1 2 0g x g x− < ( ) ( )1 2g x g x< ( )g x [ )0,+∞ ( )g x ( )g x ( ),0−∞ ( ) ( )min 0f x f= 上的单调性相反,并且在对称区间上如果有最值,则最值相等. 10.已知 , 都是偶函数,且在 上单调递增,设函数 ,若 ,则( ) A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 试题分析:由题意得, , ∴ , , ∵ ,∴ ,∴ , ∴若 : , ,∴ , 若 : , ,∴ , 若 : , ,∴ , 综上可知 ,同理可知 ,故选 A. 考点:1.函数的性质;2.分类讨论的数学思想. 【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质,避免了由于单调性不同导致 与 大小不明确的讨论,从而使解题过程得以优化,另外,不要忘记定义域,如果要研究奇 函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题,通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言) 或某一周期内(对周期函数而言)考虑,然后推广到整个定义域上. 二、填空题 ( )f x ( )g x [ )0,+∞ ( ) ( ) (1 ) ( ) (1 )F x f x g x f x g x= + − − − − 0a > ( ) ( )F a F a− ≥ ( ) ( )1 1F a F a+ ≥ − ( ) ( )F a F a− ≥ ( ) ( )1 1F a F a+ ≤ − ( ) ( )F a F a− ≤ ( ) ( )1 1F a F a+ ≥ − ( ) ( )F a F a− ≤ ( ) ( )1 1F a F a+ ≤ − 2 (1 ), ( ) (1 )( ) {2 ( ), ( ) (1 ) g x f x g xF x f x f x g x − ≥ −= < − 2 (1 ), ( ) ( ) (1 )( ) {2 ( ), ( ) ( ) (1 ) g a f a f a g aF a f a f a f a g a + = − ≥ +− = − = − < + 2 (1 ), ( ) (1 )( ) {2 ( ), ( ) (1 ) g a f a g aF a f a f a g a − ≥ −= < − 0a > 2 2( 1) ( 1) 4 0a a a+ − − = > 1 1 (1 ) (1 )a a g a g a+ > − ⇒ + > − ( ) (1 )f a g a> + ( ) 2 (1 )F a g a− = + ( ) 2 (1 )F a g a= − ( ) ( )F a F a− > (1 ) ( ) (1 )g a f a g a− ≤ ≤ + ( ) 2 ( ) 2 ( )F a f a f a− = − = ( ) 2 (1 )F a g a= − ( ) ( )F a F a− ≥ ( ) (1 )f a g a< − ( ) 2 ( ) 2 ( )F a f a f a− = − = ( ) 2 ( )F a f a= ( ) ( )F a F a− = ( ) ( )F a F a− ≥ (1 ) (1 )F a F a+ ≥ − 1 a− 1 a+ 11.计算: ________; ________. 【答案】 (1). (2). 2 【解析】 【分析】 根据指数对数与根式的运算化简即可. 【详解】 故答案为:(1) , (2) 2 【点睛】本题主要考查指数对数的基本运算,包括换底公式等,属于基础题型. 12.函数 的定义域为________,值域为________. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 (1)利用分母不为 0 进行计算. (2)先求出指数 的范围,再根据指数函数的反正求解值域即可. 【详解】(1)由分母不为 0 有 ,即 (2)因为 为 往右平移 2 个单位所得,故 故 【点睛】本题主要考查了指数型复合函数的定义域与值域问题等,属于基础题型. 13.若 , ,则函数 的图象恒过定点________;当 时, 函数 的单调递减区间是________. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 (1)令 中真数 求解即可. ( )1 2 038 1 2 π+ − − = 3 92log 6 log 16− = 2 ( )1 12 0 33 38 1 2 (2 ) 1 2 1 2 2 1 1 2π+ − − = + − − = + − − = 2 2 2 3 9 3 3 3 3 33 22log 6 log 16 2log 6 log 4 log 6 log 4 lo 36 9 24g log2 − = − = − = = = 2 ( ) 1 22 xf x −= ( ) ( ),2 2,−∞ +∞ ( ) ( )0,1 1,+∞ 1 2x − 2 0x − ≠ ( ) ( ),2 2,x∈ −∞ +∞ 1 2x − 1 x 1 ( ,0) (0, )2x ∈ −∞ ∪ +∞− ( ) ( ) ( )1 2 0, ,2 1 1xf x − ∈ ∞= + 0a > 1a ≠ ( ) ( )23 log 1af x x= + + 1a > ( )f x ( )0,3 ( ),0−∞ ( ) ( )23 log 1af x x= + + 2 1 1x + = (2)利用同增异减的关系, 的单调递减区间与 的单调递减区间相同即可. 【详解】(1)令 又 ,又 ,故图象恒过定点 (2) 当 时 为增函数,故 的单调递减区间与 的单调递 减区间相同,为 故答案为:(1) (2). 【点睛】本题主要考查了对数函数的定点问题,复合函数的单调性问题,属于基础题型. 14.已知函数 , 有三个零点 、 、 ,则实数 a 的取值范围是 ________; 的取值范围是________. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 (1)令 ,则 ,设函数 画出图像再分析与 的交点个数即可. (2)根据图像分析得 ,再分析 的范围即可. 【详解】(1)令 ,则 ,设函数 , 画出函数 的图像.易得当 为抛物线上顶点为 又 有三个零点 、 、 ,即 与 有三个交点,故 ( )f x 2 1x + 2 1 1x + = 0x = ( ) ( )20 3 log 0 1 3af = + + = ( )0,3 1a > loga x ( ) ( )23 log 1af x x= + + 2 1x + ( ),0−∞ ( )0,3 ( ),0−∞ ( ) | 1|f x x x a= − − x∈R 1x 2x 3x 1 2 3x x x+ + 10 4a< < 3 22, 2 + ( ) | 1| 0f x x x a= − − = | 1|x x a− = ( ) | 1|g x x x= − y a= 1 2 1x x =+ 3x ( ) | 1| 0f x x x a= − − = | 1|x x a− = ( 1), 1( ) 1 (1 ), 1 x x xg x x x x x x − ≥= − = − < ( )g x 1 2x = 1 1( , )2 4 ( )f x 1x 2x 3x ( )g x y a= 10 4a< < (2)有图像得 ,即 ,当 时, 即 ,此时 ,故 故 故答案为:(1). (2). 【点睛】本题主要考查了数形结合的思想以及绝对值函数的分段方法等,同时也考查了根据图 像求零点的范围问题,属于中等题型. 15.已知函数 是定义在 上的奇函数,当 时 ,对任意的 , 恒有 ,则实数 的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】 写出函数 的解析式,判断出函数 在 上单调递减,由 , 结合 ,可得出 在区间 上恒成立,于是得出 ,从而解出实数 的取值范围,得出 的最大值. 【 详 解 】 由 于 函 数 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 , 当 时 , , ,易知函数 在 上单调递减, 又 ,由 ,得 , 即 在 上恒成立,则 , 化简得 ,解得 ,因此,实数 的最大值为 , 1 2 1 2 2 x x+ = 1 2 1x x =+ 1 4a = 21 1 1( 1) ,4 4 2x x x x− = − + = 21 1( )2 2x − = 3 2 1 2x += 3 2 1(1, )2x +∈ 1 2 3 3 2(2, )2x x x ++ + ∈ 10 4a< < 3 22, 2 + ( )f x R 0x ≤ ( ) 2f x x= [ ]1, 1x a a∈ − + ( ) ( )2 3f x a f x+ ≥ a 3 3 − ( )y f x= ( )y f x= R ( ) ( )3 3f x f x= ( ) ( )2 3f x a f x+ ≥ 2 3x a x+ ≤ [ ]1, 1a a− + ( ) ( )( ) min 2 3 1 3 1 1a x a ≤ − = − − a a ( )f x R 0x > ( ) ( ) ( )2 2f x f x x x= − − = − − = − ( ) 2 2 , 0 , 0 x xf x x x ≤∴ = − > ( )y f x= R ( ) ( )3 3f x f x= ( ) ( ) ( )2 3 3f x a f x f x+ ≥ = 2 3x a x+ ≤ ( )2 3 1a x≤ − [ ]1, 1x a a∈ − + ( ) ( )( ) min 2 3 1 3 1 1a x a ≤ − = − − ( ) ( )3 3 3 1a− ≤ − − 3 3a ≤ − a 3 3 − 故答案为: . 【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题,解题时要充分分析函数单调性与奇偶性,并将不 等式转化为 ,利用函数 的单调性求解,考查化归与转化思想的应用, 属于难题. 16.对于定义在 R 上的函数 ,如果存在实数 a,使得 对任意实数 恒成立,则称 为关于 a 的“ 函数”.已知定义在R 上的函数 是关于 0 和 1 的“ 函数”,且当 时, 的取值范围为 ,则当 时, 的取 值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意列出 和 再代换求出函数的周期,再将自变量 转换到 内分析即可. 【详解】当 时, ,所以 . 当 时, ,故 ,故函数 是以 2 为周期的周期函数. 又当 时, ,所以 . 又 ,所以 . 所以当 时, ,结合周期性知, 当 时 故答案为: 【点睛】本题主要考查抽象函数的周期性运用,需要代换自变量到合适的区间进行周期性的判 定以及函数范围的判定.属于中等题型. 3 3 − ( ) ( )1 2f x f x≤ ( )y f x= ( )f x ( ) ( ) 1f a x f a x+ ⋅ − = x∈R ( )f x τ ( )f x τ [ ]0,1x∈ ( )f x [ ]1,2 [ ]2,2x∈ − ( )f x 1 ,22 ( ) ( ) 1f x f x⋅ − = ( ) ( )1 1 1f x f x+ ⋅ − = [ ]0,1x∈ 1a = ( ) ( )1 1 1f x f x+ ⋅ − = ( ) ( )2 1f x f x+ ⋅ − = 0a = ( ) ( ) 1f x f x⋅ − = ( ) ( )2f x f x+ = ( )f x [ ]1,2x∈ [ ]2 0,1x− ∈ ( ) [ ]22 1,f x− ∈ ( ) ( )2 1f x f x+ ⋅ − = ( ) [ ]1 ,11( ,(2 1,2 )2)f x f x x ∈ = ∈− [ ]0,2x∈ 1 ,22( )f x ∈ [ ]2,2x∈ − 1 ,22( )f x ∈ 1 ,22 17.已知 满足 ,若对任意的 , 恒成 立,则实数 k 的最小值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】 观察 可构造函数 ,分析其性质得 出 的关系再进行不等式恒成立的运用即可. 【详解】设 ,则 为 往右平移两个单位得 来. 又 为单调递增的奇函数,且关于 对称. 故 为单调递增的函数且关于 对称. 又 可知 关于 对称.故 , 即 .又对任意的 , 恒成立. 即 恒成立.故判别式 ,得 .故 的最小值为 4. 故答案 :4 【点睛】本题主要考查函数 对称性与恒成立问题.其中构造函数 进行分析是关键,属于难题. 三、解答题 18.设全集 ,集合 , , (1)若 ,求 , ; (2)若 ,求实数 的取值范围. 【答案】(1) , ,(2) 【解析】 为 的 ,x y R∈ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2019 2 1 2 2019 2 1 x x y y − + − = − + − = − 0t > kt x yt + ≥ + ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2019 2 1 2 2019 2 1 x x y y − + − = − + − = − 3( ) ( 2) 2019( 2)f x x x= − + − ,x y 3( ) ( 2) 2019( 2)f x x x= − + − ( )f x 3( ) 2019g x x x= + 3( ) 2019g x x x= + (0,0) 3( ) ( 2) 2019( 2)f x x x= − + − (2,0) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2019 2 1 2 2019 2 1 x x y y − + − = − + − = − ( ,1),( , 1)x y − (2,0) 22 x y+ = 4x y+ = 0t > 4kt x yt + ≥ + = 2 4 0t t k− + ≥ 24 4 0k∆ = − ≤ 4k ≥ k 3( ) ( 2) 2019( 2)f x x x= − + − U = R { }|1 4A x x= <≤ { }2 2| 5 6 0B x x ax a= + + ≤ 1a = − B A∩ UB C A∩ A B A∪ = a [ ]2,3B A∩ = UB C A∩ = ∅ 4 1 3 2a− < ≤ − 试题分析:(1)代入 ,得到集合 ,即可求解集合 和 ; (2)由 ,则 ,分类 , 和 讨论,即可求解实数 的取值范 围. 试题解析: (1)当 时,此时 , 所以 , 又 或 ,所以 . (2)由 ,则 , 当 时, ,此时不满足题意,舍去; 当 时, ,此时不满足题意,舍去; 当 时, ,则满足 , 解得 ,即 , 综上所述,实数 的取值范围是 . 19.某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润 y 与投资 x 成正比, 其关系如图甲,B 产品的利润 y 与投资 x 的算术平方根成正比,其关系如图乙 注:利润与投 资单位为万元 分别将 A,B 两种产品的利润 y 表示为投资 x 的函数关系式; 1a = − B B A∩ UB C A∩ A B A∪ = B A⊆ 0a = 0a > 0a < a 1a = − { }2| 5 6 0 { | 2 3}B x x x x x= − + ≤ = ≤ ≤ { | 2 3}B A x x∩ = ≤ ≤ { | 1UC A x x= < 4}x ≥ UB C A φ∩ = A B A∪ = B A⊆ 0a = { } { }2| 0 0B x x= ≤ = 0a > { | 3 2 }B x a x a= − ≤ ≤ − 0a < { | 2 3 }B x a x a= − ≤ ≤ − 2 1 3 4 a a − ≥ − < 1 2 4 3 a a ≤ − > − 1 4 2 3a− ≤ < − a 1 4 2 3a− ≤ < − ( ). ( )1 该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品的生产 问:怎样分配这 10 万元 资金,才能使企业获得最大利润,最大利润是多少万元? 【答案】(1) , , (2)当 A 产品投入 万元,B 产品投入 万元时,企业获得最大利润约为 万元。 【解析】 【分析】 (1)根据题意可设 代值即可求出相对应的参数,即可得到函数的 解析式; (2)设设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 万元,企业获利 利用换元法结合二次函数的性质即可求出. 【详解】解: 投资为 x 万元,A 产品的利润为 万元,B 产品的利润为 万元, 由题设 ,由图知 , ,又 , , 从而 , , 设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 万元,设企业的利润为 y 万元 ,令 , , 当 ,此时 , 当 A 产品投入 万元,B 产品投入 万元时,企业获得最大利润约为 万元。 【点睛】解决函数模型应用的解答题,还有以下几点容易造成失分:①读不懂实际背景,不 能将实际问题转化为函数模型.②对涉及的相关公式,记忆错误.③在求解的过程中计算错 误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法,才能快速正确地求解.含有绝对 值的问题突破口在于分段去绝对值,分段后在各段讨论最值的情况. 20.设 , (1)求函数的定义域; ( )2 . ( ) ( )1 , 04f x x x= ≥ ( ) ( )5 , 04g x x x= ≥ 3.75 6.25 65 16 ( ) ( )1 2· , ·f x k x g x k x= = 10 x− ( ) ( )5 10 , 0 10 ,4 4 xf x x x= + − ≤ ≤ ( )1 ( )f x ( )g x ( ) ( )1 2· , ·f x k x g x k x= = ( ) 11 4f = 1 1 4k∴ = ( ) 54 2g = 2 5 4k∴ = ( ) ( )1 , 04f x x x= ≥ ( ) ( )5 , 04g x x x= ≥ ( )2 10 x− ( ) ( ) ( )510 10 , 0 104 4 xy f x g x x x= + − = + − ≤ ≤ 10 x t− = ( )2210 5 1 5 65 , 0 104 4 4 2 16 ty t t t − = + = − − + ≤ ≤ 5 65,2 16maxt y= = 2510 3.754x = − = ∴ 3.75 6.25 65 16 ( ) 1 2lg2 2 xf x x x −= ++ + (2)判断 的单调性,并根据函数单调性的定义证明; (3)解关于 的不等式 ; 【答案】(1) (2)减函数(3) 【解析】 试题分析:(1)根据解析式有意义,列出条件关系式,即可求解函数的定义; (2)利用单调性的定义和对数的运算,即可证明函数为单调递减函数; (3)由 ,转化为 ,利用函数的单调性,列出不等 式组,即可求解不等式的解集. 试题解析: (1)因为函数 ,所以 且 ,解得 , 所以函数的定义域为 ; (2)任取 ,且 , 则 , 因为 ,且 ,所以 , 所以 , 所以 ,即 ,所以函数 为单调递减函数. (3)因为函数 , 令 ,则 , 则不等式 ,即 , ( )f x x ( )1 13 lg3 02 3f x x − − + > ( )2,2− 1 1 2 4x x− < < < <或 ( ) 11 lg33f = − ( ) ( )1 3 12f x x f − > ( ) 1 2lg2 2 xf x x x −= ++ + 2 0x + ≠ 2 02 x x − >+ 2 2x− < < ( 2,2)− 1 2, ( 2,2)x x ∈ − 1 2x x< ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 (2 )(2 )1 1 lg lg lg2 2 2 2 (2 )(2 ) (2 )(2 ) x x x x x xf x f x x x x x x x x x − − − + −− = − + − = ++ + + + + + + − 1 2, ( 2,2)x x ∈ − 1 2x x< 1 2 1 2 2 1 2 1 (2 )(2 )0,0 1(2 )(2 ) (2 )(2 ) x x x x x x x x − + −< < <+ + + − 1 2 1 2 2 1 2 1 (2 )(2 )0,lg 0(2 )(2 ) (2 )(2 ) x x x x x x x x − + −< <+ + + − ( ) ( )2 1 0f x f x− > ( ) ( )1 2f x f x< ( )f x ( ) 1 2lg2 2 xf x x x −= ++ + 1x = ( ) 1 1 11 lg lg33 3 3f = + = − ( )1 13 lg3 02 3f x x − − + > ( )1 13 lg32 3f x x − > − 所以 ,解得 或 . 点睛:本题主要考查了函数的表示和函数的基本性质的判定及应用,其中解答中涉及到函数 的定义域的求解,函数的单调性的判定和不等关系的求解等知识点的综合应用,解答中数列 函数的单调性的定义和合理应用的单调性求解是解答的关键,试题有一定的难度,属于中档 试题. 21.设函数 , . (1)若函数 有零点,求实数 m 的取值范围; (2)判断函数 的奇偶性,并说明理由; (3)若存在不相等的实数 a,b 同时满足方程 和 ,求实数 m 的取值范围. 【答案】(1) (2)奇函数,理由见解析 (3) . 【解析】 【分析】 (1)换元利用 分析函数的零点问题即可. (2)先判断定义域关于原点对称,再计算 即可证明为奇函数. (3)由(2)知 为奇函数且 ,故可推导出 ,再根据 代入 换元求解即可. 【详解】(1)令 ,则函数 ,又函数 有零点 令 则因为 ,故 ,故 ( ) ( ) 1 3 12 1 3 22 x x x x − < − > − 1 1x− < < 2 4x< < ( ) ( )14 2x xf x m m R+= − ⋅ ∈ ( ) ( )2ln 1g x x x= + − ( )f x ( )g x ( ) ( ) 0f a f b+ = ( ) ( ) 0g a g b+ = ( )0, ∞+ 1 ,2 +∞ 2xt = ( ) ( )g x g x− + ( )g x ( ) ( ) 0g a g b+ = = −a b ( ) ( ) 0f a f b+ = ( )f x 2 ( 0)xt t= > ( ) 1 24 2 2 ( 2 )x xf x m t mt t t m+= − ⋅ = − = − ( )f x ( ) 0f x = 0t > 2 0t m= > 0m > (2) 为奇函数. 由 定义域 恒成立.且 .即 故 为奇函数. (3)因为 为奇函数,且 在 上为减函数, 故 为在 上单调递减的奇函数. 又 ,故 又 则 ,即 所以 .令 ,则 ,又当 时 不满足 ,故 又 在 上单调递增.故 即 【点睛】本题主要考查了换元法解决二次函数有关的复合函数问题,同时也考查了奇偶函数的 判断与证明与奇偶性的运用等.属于难题. 22.设函数 . (1)若函数 在 上不单调,求实数 a 的取值范围; (2)求函数 在 的最小值. 【答案】(1) ( ) ( )2ln 1g x x x= + − ( ) ( )2ln 1g x x x= + − 2 1 0x x+ − > ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )22ln 1 ln 1g x g x x x x x− + = + − + − + − − ( ) ( ) ( )2 2 2 2ln 1 ln 1 ln 1 ln1 0x x x x x x= + − + + + = + − = = ( ) ( ) 0g x g x− + = ( ) ( )2ln 1g x x x= + − ( ) ( )2ln 1g x x x= + − ( ) 2 1ln 1 g x x x = + + (0, )+∞ ( )g x R ( ) ( ) 0g a g b+ = ( ) ( ) ( ),g a g b g b b a= − = − = − ( ) ( ) 0f a f b+ = 4 2 2 4 2 2 0a a a am m− −⋅ + − ⋅ =− 4 4 2 2 2 )(a a a am− −⋅ ++ = 4 4 2 22 a a a am − −+ += 2 2a an −= + 22 2 2 22a a a an − −= ⋅≥ =+ 2 2a a−= 0a = a b¹ 2 2 2a an −= + > 24 4 2 2 22 2 a a a a nm nn n − − −= =+ += − ( )2 +∞, 2 22 12n n − > − = 12 1, 2m m> > ( ) ( )22 2 | |f x x x a x a= + − − ( )f x [ ]2,1− ( )f x [ ]1,1− 44 3a− < < (2) . 【解析】 【分析】 (1)分 与 两种情况将 写成分段函数的形式,再根据对称轴与区间 的位 置关系讨论即可 (2)先分 , 两种情况讨论,再根据两个二次函数 对称轴再对 进行讨论分析最小值 的取值情况. 【详解】(1)由 化为 则二次函数 对称轴为 . 对称轴为 则当 时, 若函数 在 上不单调则对称轴 在 之间, 即 ,因为 故化简得 ,即 当 时, 满足题意. 当 时, 若函数 在 上不单调则对称轴 在 之间, 即 ,因为 故 综上所述, (2) 由(1) , 的 ( ) 2 2 min 2 2 2 3 3 2 5 2 04 17 204 3 22 3 1 3 a a a a a f x a a a a a + + ≤ − − < <= − ≤ < − − + ≥ x a≥ x a< ( )f x [ ]2,1− 0a < 0a ≥ a ( ) ( )22 2 | |f x x x a x a= + − − ( ) 2 2 2 2 3 3 2 , 3 2 , x ax a x af x x ax a x a − + ≥= + − < 2 2 1( ) 3 3 2 ( )f x x ax a x a= − + ≥ 1 2x a= 2 2 2 ( ) 3 2 ( )f x x ax a x a= + − < 3 2 ax = − 0a > ( )f x [ ]2,1− 3 2 ax = − [ ]2,1− 32 12 a− < − < 0a > 4 3a < 40 3a< < 0a = ( ) 2 2 2 3 ,( 0)2 ,( 0) x xf x x x x x x ≥= + = < 0a < ( )f x [ ]2,1− 1 2x a= [ ]2,1− 12 1, 4 22 a a− < < − < < 0a < 4 0a- < < 44 3a− < < ( ) 2 2 2 2 3 3 2 , 3 2 , x ax a x af x x ax a x a − + ≥= + − < 2( ) 2f a a= 对称轴为 . 对称轴为 1.当 时, 当 ,即 时, 在 上单调递增, 此时 当 即 时, 在 的对称轴 处取得最小值, 此时 2.当 时, 当 ,即 时, 在 上单调递增, 此时 当 ,即 时, 在 的对称轴 处取得最小值, 此时 综上所述, 【点睛】本题主要考查含参的绝对值函数的求解方法,主要是先根据自变量与参数的大小关系 写成分段函数的形式,再根据每个分段函数的性质进行最值的分析求解.同时也要注意分类讨 论的思想,属于难题. 2 2 1( ) 3 3 2 ( )f x x ax a x a= − + ≥ 1 2x a= 2 2 2 ( ) 3 2 ( )f x x ax a x a= + − < 3 2 ax = − 0a < 1 12 a ≤ − 2a ≤ − ( )f x [ ]1,1− 2 min 1( ) ( 1) 2 3 3f x f a a= − = + + 11 02 a− < < 2 0a− < < ( )f x 1( )f x 1 2x a= 2 2 2 2 min 1 1 3 3 5( ) ( ) 22 4 2 4f x f a a a a a= = − + = 0a ≥ 3 12 a− ≤ − 2 3a ≥ ( )f x [ ]1,1− 2 min 2( ) ( 1) 2 3 1f x f a a= − = − − + 31 02 a− < − ≤ 20 3a≤ < ( )f x 2 ( )f x 3 2x a= − 2 2 2 2 min 2 3 9 9 17( ) ( ) 22 4 2 4f x f a a a a a= − = − − = − ( ) 2 2 min 2 2 2 3 3 2 5 2 04 17 204 3 22 3 1 3 a a a a a f x a a a a a + + ≤ − − < <= − ≤ < − − + ≥查看更多