高中数学讲义微专题67 圆锥曲线的性质

高中数学讲义微专题67 圆锥曲线的性质

微专题 67 圆锥曲线的性质 一、基础知识 （一）椭圆： 1、定义和标准方程： （1）平面上到两个定点 的距离和为定值（定值大于 ）的点的轨迹称为椭圆，其中 称为椭圆的焦点， 称为椭圆的焦距 （2）标准方程： ① 焦 点 在 轴 上 的 椭 圆 ： 设 椭 圆 上 一 点 ， ， 设 距 离 和 ，则椭圆的标准方程为： ，其中 ② 焦 点 在 轴 上 的 椭 圆 ： 设 椭 圆 上 一 点 ， ， 设 距 离 和 ，则椭圆的标准方程为： ，其中 焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大 2、椭圆的性质：以焦点在 轴的椭圆为例： （1） ：与长轴的顶点有关： ， 称为长轴长 ：与短轴的顶点有关： ， 称为短轴长 ：与焦点有关： ， 称为焦距 （2）对称性：椭圆关于 轴， 轴对称，且关于原点中心对称 （3）椭圆上点的坐标范围：设 ，则 （4）通径：焦点弦长的最小值 ① 焦点弦：椭圆中过焦点的弦 ② 过焦点且与长轴垂直的弦 说 明 ： 假 设 过 ， 且 与 长 轴 垂 直 ， 则 ， 所 以 1 2,F F 1 2F F 1 2,F F 1 2F F x  ,P x y    1 2,0 , ,0F c F c 1 2 2PF PF a  2 2 2 2 1x y a b   2 2 20,a b b a c    y  ,P x y    1 20, , 0,F c F c 1 2 2PF PF a  2 2 2 2 1y x a b   2 2 20,a b b a c    x   2 2 2 2 1 0x y a ba b    a    1 2,0 , ,0A a A a 1 2 2A A a b    1 20, , 0,B b B b 1 2 2B B b c    1 2,0 , ,0F c F c 1 2 2F F c x y  0 0,P x y 0 0,a x a b y b      22bPQ a PQ  1 ,0F c    0 0, , ,P c y Q c y   ，可得 。则 （5）离心率： ，因为 ，所以 （6）焦半径公式：称 到焦点的距离为椭圆的焦半径 ① 设椭圆上一点 ，则 （可记为“左加右减”） ② 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为 ，最小值为 （7）焦点三角形面积： （其中 ） 证明： 且 因为 ，所以 ，由此得到的推论： ① 的大小与 之间可相互求出 ② 的最大值： 最大 最大 最大 为短轴顶点 （二）双曲线： 1、定义：平面上到两个定点 距离差的绝对值为一个常数（小于 ）的点的轨迹称 为双曲线，其中 称为椭圆的焦点， 称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点 距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支 2、标准方程： 2 2 4 20 02 2 21c y bya b a    2 0 by a 22bPQ a ce a c a  0,1e P  0 0,P x y 1 0 2 0,PF a ex PF a ex    a c a c 1 2 2 tan 2PF FS b  1 2PF F   1 2 1 2 1 2 1 sin2PF FS PF PF F PF  2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 cosF F PF PF PF PF F PF      2 1 2 1 2 1 22 1 cosPF PF PF PF F PF     2 2 1 2 1 24 4 2 1 cosc a PF PF F PF    2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 cos 1 cos a c bPF PF F PF F PF     1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2sin sin2 2 1 cosPF F bS PF PF F PF F PFPF F     2 21 2 1 2 1 2 sin tan1 cos 2 F PF F PFb bF PF   1 2 0 0 1 22PF FS c y c y     2 1 2 0tan 2 F PFb c y  1 2F PF 0y 1 2F PF 1 2F PF  1 2PF FS  0y  P 1 2,F F 1 2F F 1 2,F F 1 2F F 1 2,F F ① 焦 点 在 轴 ： 设 双 曲 线 上 一 点 ， ， 设 距 离 差 的 绝 对 值 ，则双曲线标准方程为： ，其中 ② 焦 点 在 轴 ： 设 双 曲 线 上 一 点 ， ， 设 距 离 差 的 绝 对 值 ，则双曲线标准方程为： ，其中 焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数 2、双曲线的性质：以焦点在 轴的双曲线为例： （1） ：与实轴的顶点有关： ， 称为实轴长 ：与虚轴的顶点有关： ， 称为虚轴长 ：与焦点有关： ， 称为焦距 （2）对称性：双曲线关于 轴， 轴对称，且关于原点中心对称 （3）双曲线上点坐标的范围：设 ，则有 或 ， （4）离心率： ，因为 ，所以 （5）渐近线：当 或 时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠 近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线。 ① 双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的 1 变为 0，再解出 关于 的直线即可。例如在 中，求渐近线即解： ，变 形为 ，所以 即为双曲线的渐近线 ② 渐近线的几何特点：直线 所围成的矩形，其对角线即为双曲线 的渐近线 ③ 渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现 的关 系。 （6）通径： x  ,P x y    1 2,0 , ,0F c F c 1 2 2PF PF a  2 2 2 2 1x y a b   2 2 20, 0,a b b c a    y  ,P x y    1 20, , 0,F c F c 1 2 2PF PF a  2 2 2 2 1y x a b   2 2 20, 0,a b b c a    x   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b    a    1 2,0 , ,0A a A a 1 2 2A A a b    1 20, , 0,B b B b 1 2 2B B b c    1 2,0 , ,0F c F c 1 2 2F F c x y  0 0,P x y 0x a  0x a 0y R ce a c a  1,e  x   x   y x   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b    2 2 2 2 0x y a b  by xa  by xa  , , ,x a x a y b y b      , ,a b c ① 内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段 外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段 ②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦 轴， （7）焦半径公式：设双曲线上一点 ，左右焦点分别为 ，则 ① （可记为“左加右减”） ② 由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为 （ 8 ） 焦 点 三 角 形 面 积 ： 设 双 曲 线 上 一 点 ， 则 （ 其 中 ） （三）抛物线： 1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨迹 为抛物线 2、抛物线的标准方程及焦点位置： （1）焦点在 轴正半轴： ，焦点坐标 （2）焦点在 轴负半轴： ，焦点坐标 （3）焦点在 轴正半轴： ，焦点坐标 （4）焦点在 轴负半轴： ，焦点坐标 小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上；其 坐标为一次项系数除以 4，例如： ，则焦点在 轴上，且坐标为 3、焦半径公式：设抛物线 的焦点为 ， ，则 4、焦点弦长：设过抛物线 焦点的直线与抛物线交于 ， 则 （ ，再由焦半径公式即可得到） 二、典型例题： PQ x 22bPQ a  0 0,P x y 1 2,F F 1 0 2 0,PF a ex PF a ex    c a  0 0,P x y 1 2 2 cot 2PF FS b  1 2PF F   x  2 2 0y px p  ,02 p     x  2 2 0y px p   ,02 p    y  2 2 0x py p  0, 2 p     y  2 2 0x py p   0, 2 p    2 4x y y  0,1  2 2 0y px p  F  ,A x y 2 pAF x   2 2 0y px p     1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2AB x x p   AB AF BF  例 1：已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，则该双曲线的焦点到 其渐近线的距离等于（ ） A. B. C. D. 思路：先从常系数方程入手，抛物线 的焦点为 ，即双曲线中的 ，所以 ，从而双曲线方程为： ，其渐近线方程： ，由对称 性可得焦点到两渐近线的距离相等，不妨选择 ，右焦点 ，所以 答案：A 小炼有话说：（1）一道题含多个圆锥曲线方程，往往以某些特殊点（焦点，顶点）为桥梁联 接这些方程，在处理时通常以其中一个曲线方程（不含参）为入手点，确定特殊点的坐标， 进而解出其他圆锥曲线的要素 答案：A 例 2： 已知双曲线 的实轴长为 ，虚轴的一个端点与抛物线 的焦点重合，直线 与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行， 则 （ ） A. B. C. D. 思路：本题涉及圆锥曲线和字母较多，所以首先要确定核心变量，从所求出发可尝试以 作 为 核 心 变 量 ， 抛 物 线 的 焦 点 为 ， 所 以 可 得 ， 因 为 ，所以双曲线方程为 ，可求得渐近线方程为 ， 不妨设 与 平行，则有 。从相切可想到与抛物线联立消元后的 2 2 2 14 x y b  2 12y x 5 4 2 3 5 2 12y x  3,0 3c  2 2 2 5b c a   2 2 14 5 x y  5 2y x  : 5 2 0l x y   2 3,0F    2 2 2 3 5 5 5 2 F ld        2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b    4 2  2 2 0x py p  1y kx  p  4 3 2 1 p 2 2x py 0, 2 p     2 pb  2 4 2 2 2a a   2 2 2 4 18 x y p  4 2 py x  1y kx  4 2 py x 4 2 pk  方 程 ： ， 所 以 解 得 答案：A 例 3 ： 如 图 ， 是 椭 圆 与 双 曲 线 的公共焦点，将 的离心 率分别记为 ，点 是 在第一象限的公共点，若 的一条渐近线是线段 的中垂线，则 （ ） A. B. C. D. 思 路 ： 椭 圆 与 双 曲 线 共 焦 点 ， 所 以 有 ， 所 求 表 达 式 ， 本 题 与 焦 半 径 相 关 ， 所 以 考 虑 。结合 的中点与 的中点可得双曲线的渐近线与 平行，从而 ，所以有 ，联系上面条件可得： ， 所 以 答案：A 例 4：已知椭圆 与双曲线 有公共的焦点， 的 一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于 两点，若 恰好将线段 三等分，则（ ） A. B. C. D. 0  2 2 2 1 2 04 2 2 22 py x px x p x py          2 8 0 2 2 p p        4p  1 2,F F   2 2 1 2 2: 1 0x yC m nm n      2 2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b    1 2,C C 1 2,e e A 1 2,C C 2C 1AF 2 2 1 2 1 1 e e  2 5 2 7 2 4 2 2 2 2 2c m n a b    2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 m a m a e e c c c     1 2 1 22 , 2AF AF m AF AF a    1AF 1 2F F 2AF 1 2AF AF 2 2 2 2 1 2 1 2 4AF AF F F c      2 22 22 2 2 1 2 1 2 1 2 14 2 22c AF AF AF AF AF AF m a          2 2 2 2 2 1 2 1 1 2m a e e c      2 2 1 2 2: 1 0x yC a ba b    2 2 2 : 14 yC x   2C 1C ,A B 1C AB 2 13 2a  2 13a  2 1 2b  2 2b  思路：因为 有公共焦点，所以通过 可得 ，从而 ，圆的 直径为 ，所以 截椭圆的弦长为 。由双曲线得 ，进而与椭圆方程联立， 再利用弦长公式即可得到关于 （或 ）的方程，解方程即可 解：通过 可得 ， 不妨设 ，则 ，所以 利用弦长公式可得 又因为 解得： ，故选 C 答案：C 例 5：（2014，山东，10）已知 ，椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程 是 ， 与 的离心率之积为 ，则 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 思路：要想求渐近线方程，关键在 的比值，所以将两个离心率均用 表示，再利用乘积 为 即可得到 关系，进而求出渐近线方程 解：设曲线 的离心率分别为 ，则 即 因为双曲线的渐近线方程为： ，代入可得： 1 2,C C 2C    1 25,0 , 5,0F F 5c  2a AB 2 3 a : 2AB y x a b 2C    1 25,0 , 5,0F F 5c  : 2AB y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 242 b x a y a b a bx a by x       2 24 abx a b    2 1 2 2 2 2 5 21 2 34 abd x x a a b       2 2 2 5a b c   2 2 2 2 2 5 2 34 5 ab a a b a b       2 2 11 2 1 2 a b     0a b  1C 2 2 2 2 1x y a b  2C 2 2 2 2 1x y a b  1C 2C 3 2 2C 2 0x y  2 0x y  2 0x y  2 0x y  ,a b ,a b 3 2 ,a b 1 2,C C 1 2,e e 2 2 2 2 1 2,c a b c a be ea a a a      2 2 2 2 4 4 1 2 2 3 2 a b a b a be e a a a        1 4 4 4 4 4 4 3 1 1 2 4 4 4 2 a b b b a a a           by xa  2 2 02y x x y     答案：A 小炼有话说：本题在设计上利用椭圆和双曲线中 的求法不同，从而使得两条曲线在 相同 的情况下，离心率的乘积中含有平方差公式的特点，从而简化运算，较易得出 关系 例 6：椭圆 和双曲线 的公共焦点为 ， 是两曲线的一个交点，那么 的值是（ ） A. B. C. D. 思路：所求 既是椭圆的焦半径，又是双曲线的焦半径。所以由椭圆和双曲线定义 可得： ， ，由此联想到两个式子的完全平方公式，进而 可求出 ，则 答案：B 例 7：已知抛物线 的焦点 与双曲线 的右焦点重合，抛物线的 准线与 轴的交点为 ，点 在抛物线上且 ，则 点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 思路：因为两条曲线的焦点重合，所以可用双曲线计算出焦点的坐标 ，所以 ，进而可确定抛物线方程： ，以及准线方程 ： 。所以 ， 设 点横坐标为 ，则 ，所以 ，由焦半径公式可得： ， 所 以 ， 即 ，可解得： 答案：B 例 8：设 为双曲线 的左焦点，在 轴上 点的右侧有一点 ，以 为直径的 圆与双曲线左，右两支在 轴上方的交点分别为 ，则 的值为（ ） c ,a b ,a b   2 2 2 2 1 0x y m nm n      2 2 2 2 1 0x y a ba b    1 2,F F P 1 2PF PF m a 2 2m a 2 m a m a 1 2,PF PF 1 2 2PF PF a  1 2 2PF PF m  1 2PF PF    2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 4PF PF PF PF PF PF m a          2 2 0y px p  F 2 2 14 5 x y  x K A 2AK AF A 2 2 3 2 3 4 2 4 5 9c     3,0F 2 12y x l 3x    3,0K  A x  , 12A x x   22 3 12AK x x      32 pAF x x    2 22 2AK AF AK AF      2 23 12 2 3x x x    3x  F 2 2 116 9 x y  x F A FA x ,M N FN FM FA  A. B. C. D. 思路：因为所求分式涉及到三条线段长度，若直接用距离公式则异常复杂，所以考虑时刻简 化 计 算 ， 首 先 由 联 想 到 焦 半 径 公 式 ， 设 ， 则 有 ， ， 所 以 ， 设 ， 由 双 曲 线 可 知 ， 则 的 中 点 ，圆半径 ，所以圆方程为： ，整理后 可得： ，因为 的值与 相关，所以考虑联 立 圆 和 双 曲 线 方 程 ： 消 去 可 得 ： ， 所 以 ， 代 入 可 得 ： ，因为 ，所以原式的值为 答案：D 小炼有话说：本题可发现无论 的位置如何，从选项上来看 应该为定值，故可 以利用特殊位置，比如 为右焦点时，便可轻松得到答案：由对称性可得 ， 且 ，所以 例 9：如图，从双曲线 的左焦点 引圆 的切线，切点 为 ， 延 长 交 双 曲 线 右 支 于 点 ， 若 为 线 段 的 中 点 ， 为 坐 标 原 点 ， 则 的值为__________（用含 的表达式表示） 思路：首先要将 向 靠拢，因为 与圆切于 ，连结 ，可知 ，且 为直角三角形， 2 5 5 2 5 4 4 5 ,FM FN    1 1 2 2, , ,M x y N x y 1 1MF a ex ex a     2 2NF a ex ex a     1 2 2FN FM e x x a     ,0A m  5,0F  FA 5,02 mC      5 2 mr  2 2 25 5 2 2 m mx y              2 25 5 0x m x y m     FN FM  1 2x x  2 2 2 2 5 5 0 116 9 x m x y m x y          y  225 5 9 5 016 x m x m       1 2 16 5 25 mx x   FN FM    16 5 4 55 84 25 5 m mFN FM       5FA m  4 5 A FN FM FA  A 2 8FN FM a   2 10FA c  2 4 2 5 FN FM a FA c      2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b    F 2 2 2x y a  T FT P M FP O MO MT ,a b ,MO MT ,a b PF T OT OT r a  FOT ， 从 而 ， 进 而 ，在寻找 ，因为 为线段 的中点，且由双曲线性 质得 为 的中点，所以连结 ，则由中位线性质可得 ，而 恰好是 另一焦半径。所以 ，由双曲线定 义可得： ，从而 答案： 小炼有话说：（1）题目中遇到中点问题，除了已知条件外，在椭圆和双曲线中还要注意“原 点也是两焦点的中点”这一隐藏条件 （2）在椭圆与双曲线中，因为两条焦半径存在几何关系（和差与 相关），所以题中出现一条 焦半径时，常见的辅助线是连出另一条焦半径。 例 10：如图，椭圆 ，圆 ， 椭圆的左右焦点分别为 ，过椭圆上一点 和原点 作直线 交 圆 于 两 点 ， 若 ， 则 的 值 为 __________ 思路：本题很难直接求出 的值，从而考虑将其视为整体，进行转化：从图上可得： ， 从 而 ， 所 以 只 需 确 定 即 可 ， 设 ， 即 ，已知 ，则需利用好 ，想到焦半径公式：则 ， 所 以 ， 所 以 ， 即 ， 所 以 答案： OF c 2 2 2 2FT OF OT c a b     1 2MT FM FT PF b    MO M FP O 'FF 'PF '1 2OM PF 'PF  ' '1 1 1 2 2 2MO MT PF PF b b PF PF          ' 2PF PF a  MO MT b a   b a a   2 2 2: 1 24 x yC aa    2 2 2: 4O x y a   1 2,F F P O l O ,M N 1 2 6PF PF  PM PN ,PM PN ,PM OM OP r OP PN ON OP r OP        2 22 2 4PM PN r OP a OP      2OP  ,P x y 2 2 2OP x y  2 2 2 14 x y a   1 2 6PF PF  1 2,PF a ex PF a ex    2 2 2 1 2 6PF PF a e x    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 44 4 4x a cx y x x xa a a         2 2 2 2 24 2x y e x a     6PM PN  6