2018-2019学年江苏省如东高级中学高二上学期第二次阶段测试数学试题 Word版

2018-2019学年江苏省如东高级中学高二上学期第二次阶段测试数学试题 Word版

如东高级中学 2018-2019 学年第一学期高二年级阶段测试（二） 数学试卷（普通班） 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡相．．．． 应的位置上．．．．．.1．命题“ (0, ),sin 12x x   ”的否定是 ▲ 命题（填“真”或“假”）． 2．已知一组数据 3，6，9，8，4，则该组数据的方差是 ▲ ． 3．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了 1000 人，并根据所得数据绘制了样本 频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为 ▲ ． 4 ． 若  1, x m 是 不 等 式 22 3 0  x x 成 立 的 充 分 不 必 要 条 件 , 则 实 数 m 的 范 围 是 ▲ . 5．运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ ． 6．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的离心率为 5 2 ，则 C 的渐近线方程为 ▲ ． 7．为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为 500 的样本．其中大一年级抽取 200 人，大二年级抽取 100 人．若其他年级共有学生 3000 人， 则该校学生总人数是 ▲ ． 8．已知正六棱锥 P－ABCDEF 的底面边长为 2，侧棱长为 4，则此六棱锥的体积为 ▲ ． 9．若椭圆 198 22  y k x 的离心率 3 1e ，则 k 的值为 ▲ ． 10．已知 ,m n 是直线， , ,   是平面，给出下列命题：①若 ,     ，则   ；②若 ,n n   ，则   ；③若 内不共线的三点到  的距离都相等，则   ；④若 ,n m   ，且 ,n m   ，则   ；⑤若 ,m n 为异面直线， , , ,n n m m      ，则   。则其中正确的命题是 ▲ ．（把你认为正确的命题序号都填上） 11．抛物线 2 2 ( 0)y px p   上的点 ( 4, )M m 到焦点的距离为 5，则 m 的值为 ▲ ． 12．如图,用一边长为 2 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形,做成 S←0 For I From 1 To 9 S←S + I End For Print S （第 5 题） （第 12 题） (第 3 题) 一个蛋巢，将体积为 4 3  的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋 中心(球心)与蛋巢底面的距离为 ▲ ． 13．在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 为线段 1BC 的中点， F 是棱 1 1C D 上的动点，若点 P 为线段 1BD 上的动点，则 PE PF 的 最小值为 ▲ ． 14．设椭圆 C ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的左、右焦点分别为 1 2,F F ，其焦距 为 2c ，点 ( , )2 aQ c 在椭圆的内部，点 P 是椭圆C 上的动点，且 1 1 25PF PQ F F  恒成立， 则椭圆离心率的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分 14 分) 设命题 p :实数 x 满足 ( )( 3 ) 0x a x a   ，其中 0a  ，命题 :q 实数 x 满足 (2 8)(2 4) 0x x   ． （1）若 1a  ，且 p q 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 16．(本小题满分 14 分) 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， ,M N 分别为棱 1 1,AC A B 的 中点，且 AB BC （1）求证：平面 BMN 平面 1 1ACC A ； （2）求证： MN ∥平面 1 1BCC B . （第 13 题） 17. (本小题满分 15 分) 已知菱形 ABCD 的边长为 2， 120ABC   ， 四边 形 BDEF 是矩形，且 BF  平面 ABCD ， 3BF  ． （1）求证：CF  平面 ADE ； （2）设 EF 中点为G ，求证 AG  平面CEF ． 18. (本小题满分 15 分) 椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     与直线 1 yx 交于 P 、Q 两点，且 OQOP  ，其中 O 为坐标 原点. （1）求 22 11 ba  的值； （2）若椭圆的离心率 e 满足 3 2 3 2e  ，求椭圆长轴的取值范围. 19.(本小题满分 16 分) 某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖，如图所示，AB=4，O 为 AB 的中点， 椭圆的焦点 P 在对称轴 OD 上，M、N 在椭圆上，MN 平行 AB 交 OD 与 G，且 G 在 P 的右侧， △MNP 为灯光区，用于美化环境. (1)若学校的另一条道路 EF 满足 OE=3，tan∠OEF=2，为确保道路安全，要求椭圆上任意 一 点 到 道 路 EF 的 距 离 都 不 小 于 5 5 ， 求 半 椭 圆 形 的 小 湖 的 最 大 面 积 ： ( 椭 圆 12 2 2 2  b y a x ( 0 ba )的面积为 ab ) (2)若椭圆的离心率为 5 5 ，要求灯光区的周长不小于 53 ，求 PG 的取值范围 20. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 C： 12 2 2 2  b y a x ( 0 ba )，圆 Q： 2 2( 2) ( 2) 2x y    的圆心 Q 在椭圆 C 上， 点 (0, 2)P 到椭圆 C 的右焦点的距离为 6 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 P 作互相垂直的两条直线 l1 、l2 ，且 l1 交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 l2 交圆 Q 于 C， D 两点，且 M 为 CD 的中点，求△MAB 的面积的取值范围． 如东高级中学 2018-2019 学年第一学期高二年级阶段测试（二） 数学附加题试卷（普通班） 21-A. 设 是矩阵 的一个特征向量. （1）求实数 的值； （2）求矩阵 的特征值. 21-B. 在直角坐标系 中，圆 的参数方程 （ 为参数）．以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆 的极坐标方程； （2）直线 的极坐标方程是 ，射线 与圆 的交点为 、 ， 与直线 的交点为 ，求线段 的长． 22. （本小题满分 10 分） 如图，四棱锥 P－ABCD 中，PA^平面 ABCD，AD∥BC，AB^AD，BC＝3 3，AB＝1，BD ＝PA＝2． （1）求异面直线 BD 与 PC 所成角的余弦值； （2）求二面角 A－PD－C 的余弦值． 23.已知点 A(－1，0)，F(1，0)，动点 P 满足 . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)在直线 l：y=2x＋2 上取一点 Q，过点 Q 作轨迹 C 的两条切线，切点分别为 M，N.问：是 否存在点 Q，使得直线 MN∥l？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 如东高级中学 2018-2019 学年第一学期高二年级阶段测试（二） 数学参考答案（普通班） 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡相．．．． 应的位置上．．．．．.1．假 2． 5 26 3．700 4． 31, 2     5． 45 6． 1 2y x  7． 7500 8． 12 9． 170 8 或 10． ②⑤ 11． 4 12． 3 1 2 2  13． 5 2 6 14． 1 2,4 2       二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）命题 ：实数 满足 ，其中 ，解得 。 因为 ，所以 ： 。 命题 中：实数 满足 2,3 。 因为 且 为真， 所以 为真，且 为真， 所以 1 3 2 3 x x      ，解得 2 3x  . ……………………7 分 （2）若 是 的充分不必要条件，则 是 的充分不必要条件，所以 3 3 2 a a    ，解得 1 2a  . …………………14 分 16． 17.（1） 平面 //平面 //平面 ………………………7 分 （2）因为 中点为 ，则由 ， 且计算可得： ， ………………………7 分 ………………………14 分 又 ，所以， , 又 ，所以 平面 ． ………………………14 分 18. 设 ),(),,( 2211 yxPyxP ，由 OP ⊥ OQ  x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 � 01)(2,1,1 21212211  xxxxxyxy 代入上式得： 又将 代入xy 1 12 2 2 2  b y a x 0)1(2)( 222222  baxaxba ， ,2,0 22 2 21 ba axx   22 22 21 )1( ba baxx   代入①化简得 211 22  ba .………………………8 分 (2) ,3 2 2 1 2 113 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2  a b a b a b a ce 又由（1）知 12 2 2 2   a ab 2 6 2 5 2 3 4 5 3 2 12 1 2 1 2 2    aa a ， ∴长轴 2a ∈ [ 6,5 ].………………………16 分 19. ………………………8 分 20. （1）因为椭圆 的右焦点 ， ，所以 ， ......2 分 因为 在椭圆 上，所以 ，由 得 ， ，所以椭圆 的方程 为 ； ......6 分 （2）由题意可得 的斜率不为零，当 垂直于 轴时， 的面积为 ， ...... 8 分 当直线 不垂直于 轴时，设直线 的方程为： ，则直线 的方程为： ， 设 ， ，联立 消去 得， ，所以 ， ， 则 ， ......10 分 ………………………10 分 ………………………16 分 ………………………13 分 又圆心 到直线 的距离 ，得 ， ......12 分 又 ， ，所以 点到直线 的距离等于 点到 的距离，设为 ，即 ， 所以 的面积 ， ......14 分 令 ，则 ， 综上， 面积的取值范围为 。 ......16 分 如东高级中学 2018-2019 学年第一学期高二年级阶段测试（二） 数学附加题参考答案（普通班） 21-A. (1)设 是矩阵 M 属于特征值 的一个特征向量, 则 =λ ,故 , 计算得出 , 故实数 5 分 (2) , 计算得出矩阵 M 的特征值 , 10 分 21-B. （1）圆 的普通方程是 ，又因为 ， ，所以圆 的极坐标方程是 ，化简得： 。 ......5 分 （2）设 为点 的极坐标，则有 ，解得 ， 设 为点 的极坐标，则有 ，解得 ，由于 ，所以 ，所以线段 的长为 。 ......10 分 22. （1）因为 PA^平面 ABCD，ABÌ平面 ABCD，ADÌ平面 ABCD，[来源:Z_xx_k.Com] 所以 PA^AB，PA^AD． 又 AD^AB， 故分别以 AB，AD，AP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 根据条件得 AD＝． 所以 B(1，0，0)，D(0，，0)，C(1，3 3，0)，P(0，0，2)． 从而®＝(－1，，0)，®＝(1，3 3，－2)． ………………………… 3 分 设异面直线 BD，PC 所成角为 q ， 则 cosq ＝|cos＜→ BD，→ PC＞|＝|®×®®×®| ＝| 3 3 19 3 19 3 19 3 |＝57 38． 即异面直线 BD 与 PC 所成角的余弦值为57 38． ………………………… 5 分 （2）因为 AB^平面 PAD，所以平面 PAD 的一个法向量为 ®＝(1，0，0)． 设平面 PCD 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， 由 n^®，n^ ®，®＝(1，3 3，－2)，®＝(0，，－2)， 得3 3 y－2z＝0， 3 y－2z＝0， y－2z＝0， 解得 2 3 z， 3 33 不妨取 z＝3，则得 n＝(2，2，3)． ………………………… 8 分 设二面角 A－PD－C 的大小为 j， 则 cosj＝cos＜®，n＞＝®®＝3，3 1×5 ＝2 5． 即二面角 A－PD－C 的余弦值为2 5． ………………………… 10 分 23.(1)设 ， 点 ， ，动点 P 满足 ， , , ; ………………………… 4 分 (2)直线 l 方程为 ,设 , , . 过点 M 的切线方程设为 ,代入 , 得 , 由 , 得 , ………………………… 6 分 所以过点 M 的切线方程为 , 同理过点 N 的切线方程为 . 所以直线 MN 的方程为 , 又 ,所以 ,得 , 而 , 故 点 Q 的 坐 标 为 . ………………………… 10 分