数学理卷·2018届天津市滨海新区七所重点学校高三毕业班联考（2018

数学理卷·2018届天津市滨海新区七所重点学校高三毕业班联考（2018

‎2018年天津市滨海七所重点学校高三毕业班联考 ‎ 数学试卷（理科） ‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟。考试结束后，上交答题卡。‎ 参考公式：（1） （2） (3)‎ ‎ (4)若事件相互独立，则与同时发生的概率.‎ 第I卷（选择题，共40分）‎ 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．若实数满足，则的最小值是( )‎ ‎ A. B. - C. -3 D. ‎ ‎3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是(　　)‎ ‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎4.已知集合，集合，‎ 则的（ ）‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5. 若，则的大小关系为（ ）‎ ‎ A． B. C. D.‎ ‎6. 在△ABC中，，，则角＝(　　)‎ ‎ A. B. C.或 D. ‎7.已知双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点，且为抛物线的准线与x轴的交点，为抛物线上的一点，且满足，则点到直线的距离为（ ）‎ ‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎8. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B. ‎ ‎ C. D. ‎ 第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)‎ 二.填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)‎ ‎ 9. 在二项式的展开式中，含的项的系数是 ‎ 俯视图 ‎（第11题图）‎ ‎2‎ ‎1‎ 侧（左）视图 ‎4‎ ‎2‎ 正（主）视图 ‎10.已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是,若直线与曲线相交于两点，则＝_________‎ ‎11.某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆 与其直径组成的图形，则此几何体的体积是 ‎ ‎12.在平行四边形ABCD中，‎ ‎∠BAD＝60°，E为CD的中点，若是线段 BC上一动点，则的取值范围是_________‎ ‎13. 若正实数，满足，则的最大值是 ‎ ‎14. 3个男生和3个女生排成一列，若男生甲与另外两个男同学都不相邻，则不同的排法共 有 种（用数字作答）‎ 三.解答题(本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)‎ ‎15. (本小题满分13分) 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值；‎ ‎16. (本小题满分13分) 某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有1张印有“一等奖”的卡片，2张印有“二等奖”的卡片，3张印有“新年快乐”的卡片.抽中“一等奖”获奖200元，抽中“二等奖”获奖100元，抽中“新年快乐”无奖金。‎ ‎（Ⅰ）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回。假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记表示“小张恰好抽奖4次停止活动”，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取2张卡片。‎ 记表示“小王参加抽奖活动中奖”，求的值；‎ ‎②设表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求的分布列和数学期望.‎ ‎17．(本小题满分13分)在四棱锥中，，∥，,,是的中点,．‎ ‎（Ⅰ）求证:∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得所成角的余弦值是,若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎18．（本小题满分13分）已知数列，且数列是公差不等于0的等差数列，且满足：，成等比数列。‎ ‎（Ⅰ）求数列、的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎19. （本小题满分14分）‎ ‎ 已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆的焦距为6，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）若，求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点,分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求实数的取值范围.‎ ‎ 20．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数，‎ ‎（Ⅰ）若，且在其定义域上存在单调递减区间，求实数b的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设函数，若恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设函数的图象C1与函数的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明:C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.‎ ‎2018年天津市滨海七所重点学校高三毕业班联考 数学试卷（理科） 评分标准 一、选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分). CCAB BDDB 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分). ‎ ‎9. -5； 10. ; 11. ； 12. ； 13. ； 14. 288.‎ 三.解答题(本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)‎ ‎15. (本小题满分13分)‎ ‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值；‎ ‎【解析】(Ⅰ)‎ ‎-----------------------------2分 ‎-----------------------------3分 ‎ ‎ ‎-----------------------------4分 ‎-----------------------------5分 令，，‎ ‎，-----------------------------6分 所以，的单调递增区间为：---------------------------------7分 ‎(Ⅱ) ,-----------------------------8分 ‎-----------------------------9分 ‎-----------------------------10分 ‎-----------------------------11分 ‎-----------------------------12分 ‎--------------------------13分 ‎16. (本小题满分13分)某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有1张印有“一等奖”的卡片，2张印有“二等奖”的卡片，3张印有“新年快乐”的卡片.抽中“一等奖”获奖200元，抽中“二等奖”获奖100元，抽中“新年快乐”无奖金。‎ ‎（Ⅰ）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回。假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记表示“小张恰好抽奖4次停止活动”，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取2张卡片.‎ 记表示“小王参加抽奖活动中奖”，求的值；‎ ‎②设表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求的分布列和数学期望.‎ 解：（Ⅰ）…………4分 ‎（Ⅱ）①…………6分 ‎②由题意可知可取的值为0，100，200，300. 则…………7分 ‎…………10分 因此的分布列为 X ‎0‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ P ‎………11分 的数学期望是 ‎…………13分 ‎17．(本小题满分13分)在四棱锥中，，∥，,,是的中点,．‎ ‎（Ⅰ）求证:∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得所成角的余弦值是,若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎ ‎ 解：（Ⅰ）证明：取PB的中点M，AB的中点N，连接EM和CM，‎ ‎∴CD∥AB且CD=AB，‎ ‎∴E，M分别为PA，PB的中点，‎ EM∥AB且EM=AB，‎ ‎∴EM∥CD且EM＝CD，四边形CDEM为平行四边形，(2分)‎ ‎∴DE∥CM，CM⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，(3分)‎ ‎∴DE∥平面BPC.(4分)‎ ‎（Ⅰ）由题意可得DA，DC，DP两两互相垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，则A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)． (1分)‎ 设平面PBC的法向量为 ‎ ∴，令 ∴ (2分)‎ 又 ‎ (3分)‎ ‎ ∴ ∥平面 (4分) ‎ ‎（Ⅱ）设点F坐标为(1,t,0)，‎ 则＝(1，t－1,0)，＝(1,2,0)，‎ 由·＝0得t＝.∴ (5分)‎ 设平面FPC的法向量为,‎ 由得即 令∴(6分) ‎ 则＝. (7分)‎ 又由图可知，该二面角为锐二面角，‎ 故二面角F－PC－D的余弦值为.(8分)‎ ‎（Ⅲ）设，∴ (9分)‎ ‎∴‎ ‎∴ (10分)‎ ‎∵所成角的余弦值是∴其正弦值为 (11分)‎ ‎∴ ，整理得：‎ ‎(12分)‎ ‎∴存在满足条件的点,且 (13分)‎ ‎18．（本小题满分13分）已知数列，且数列是公差不等于0的等差数列，且满足：，成等比数列。‎ ‎（Ⅰ）求数列、的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎ 18．解析：（Ⅰ）时， （1分）‎ 时，， （2分）‎ 是以为首项，为公比的等比数列，（3分）‎ ‎ （4分）‎ 又得： , （5分）‎ ‎, 因为解得，（6分） ‎ ‎ （7分） ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ （8分）‎ ‎ （9分） ‎ ‎ （10分） ‎ ‎ （11分） ‎ ‎ （12分）‎ ‎ （13分） ‎ ‎19. （本小题满分14分）‎ ‎ 已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆的焦距为6，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）若，求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点,分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意得，（1分） ∴.（2分） ‎ 又因为，∴. （3分） 所以椭圆的方程为. （4分） ‎ ‎（Ⅱ）由 得. （5分）‎ 设.所以，（6分）‎ 依题意，，（7分）‎ 法1：,‎ ‎（9分）‎ 法2：易知，四边形为平行四边形，所以.‎ 因为，，‎ 所以.（9分）‎ 即 ，将其整理为 . （11分） ‎ 因为，所以，.（12分）‎ 所以，（13分） （14分）‎ ‎ 20．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数，‎ ‎（Ⅰ）若，且在其定义域上存在单调递减区间，求实数b的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设函数，若恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设函数的图象C1与函数的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明:C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.‎ ‎20．解：（I）， ‎ 则………………………………2分 因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有正解.‎ 法1：因y=x2+bx+1为开口向上的抛物线且过点（0,1），………………………4分 法2：，‎ ‎ （II） ………………………5分 ‎ ，于是………………………6分 当在区间是减函数，‎ 当在区间是增函数.‎ 所以时取得最小值，，………………………7分 因为恒成立，所以 ‎.………………………9分 ‎（Ⅲ）证法一 设点P、Q的坐标分别是（x1, y1），（x2, y2），不妨设0

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