数学理卷·2018届天津市滨海新区七所重点学校高三毕业班联考(2018

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数学理卷·2018届天津市滨海新区七所重点学校高三毕业班联考(2018

‎2018年天津市滨海七所重点学校高三毕业班联考 ‎ 数学试卷(理科) ‎ 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。考试结束后,上交答题卡。‎ 参考公式:(1) (2) (3)‎ ‎ (4)若事件相互独立,则与同时发生的概率.‎ 第I卷(选择题,共40分)‎ 一、选择题(本题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.已知复数满足,则在复平面内对应的点位于( )‎ ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.若实数满足,则的最小值是( )‎ ‎ A. B. - C. -3 D. ‎ ‎3.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k的值是(  )‎ ‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎4.已知集合,集合,‎ 则的( )‎ ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5. 若,则的大小关系为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎6. 在△ABC中,,,则角=(  )‎ ‎ A. B. C.或 D. ‎7.已知双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点,且为抛物线的准线与x轴的交点,为抛物线上的一点,且满足,则点到直线的距离为( )‎ ‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎8. 已知函数,若函数有三个零点,则实数的取值范围是( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ 第Ⅱ卷 (非选择题,共110分)‎ 二.填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.)‎ ‎ 9. 在二项式的展开式中,含的项的系数是 ‎ 俯视图 ‎(第11题图)‎ ‎2‎ ‎1‎ 侧(左)视图 ‎4‎ ‎2‎ 正(主)视图 ‎10.已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是,若直线与曲线相交于两点,则=_________‎ ‎11.某几何体的三视图如图所示,俯视图是由一个半圆 与其直径组成的图形,则此几何体的体积是 ‎ ‎12.在平行四边形ABCD中,‎ ‎∠BAD=60°,E为CD的中点,若是线段 BC上一动点,则的取值范围是_________‎ ‎13. 若正实数,满足,则的最大值是 ‎ ‎14. 3个男生和3个女生排成一列,若男生甲与另外两个男同学都不相邻,则不同的排法共 有 种(用数字作答)‎ 三.解答题(本大题6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)‎ ‎15. (本小题满分13分) 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求的单调递增区间;‎ ‎(Ⅱ)若,求的值;‎ ‎16. (本小题满分13分) 某单位年会进行抽奖活动,在抽奖箱里装有1张印有“一等奖”的卡片,2张印有“二等奖”的卡片,3张印有“新年快乐”的卡片.抽中“一等奖”获奖200元,抽中“二等奖”获奖100元,抽中“新年快乐”无奖金。‎ ‎(Ⅰ)单位员工小张参加抽奖活动,每次随机抽取一张卡片,抽取后不放回。假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记表示“小张恰好抽奖4次停止活动”,求的值;‎ ‎(Ⅱ)若单位员工小王参加抽奖活动,一次随机抽取2张卡片。‎ 记表示“小王参加抽奖活动中奖”,求的值;‎ ‎②设表示“小王参加抽奖活动所获奖金数(单位:元)”,求的分布列和数学期望.‎ ‎17.(本小题满分13分)在四棱锥中,,∥,,,是的中点,.‎ ‎(Ⅰ)求证:∥平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)在线段上是否存在点,使得所成角的余弦值是,若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.‎ ‎18.(本小题满分13分)已知数列,且数列是公差不等于0的等差数列,且满足:,成等比数列。‎ ‎(Ⅰ)求数列、的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,求数列的前项和.‎ ‎19. (本小题满分14分)‎ ‎ 已知椭圆的左右焦点分别为,椭圆的焦距为6,离心率为.‎ ‎(Ⅰ)若,求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线与椭圆相交于两点,分别为线段的中点,若坐标原点在以为直径的圆上,且,求实数的取值范围.‎ ‎ 20.(本小题满分14分)‎ ‎ 已知函数,‎ ‎(Ⅰ)若,且在其定义域上存在单调递减区间,求实数b的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)设函数,若恒成立,求实数m的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)设函数的图象C1与函数的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1,C2于点M、N,证明:C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.‎ ‎2018年天津市滨海七所重点学校高三毕业班联考 数学试卷(理科) 评分标准 一、选择题(本题共8个小题,每小题5分,共40分). CCAB BDDB 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分). ‎ ‎9. -5; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. 288.‎ 三.解答题(本大题6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)‎ ‎15. (本小题满分13分)‎ ‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求的单调递增区间;‎ ‎(Ⅱ)若,求的值;‎ ‎【解析】(Ⅰ)‎ ‎-----------------------------2分 ‎-----------------------------3分 ‎ ‎ ‎-----------------------------4分 ‎-----------------------------5分 令,,‎ ‎,-----------------------------6分 所以,的单调递增区间为:---------------------------------7分 ‎(Ⅱ) ,-----------------------------8分 ‎-----------------------------9分 ‎-----------------------------10分 ‎-----------------------------11分 ‎-----------------------------12分 ‎--------------------------13分 ‎16. (本小题满分13分)某单位年会进行抽奖活动,在抽奖箱里装有1张印有“一等奖”的卡片,2张印有“二等奖”的卡片,3张印有“新年快乐”的卡片.抽中“一等奖”获奖200元,抽中“二等奖”获奖100元,抽中“新年快乐”无奖金。‎ ‎(Ⅰ)单位员工小张参加抽奖活动,每次随机抽取一张卡片,抽取后不放回。假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记表示“小张恰好抽奖4次停止活动”,求的值;‎ ‎(Ⅱ)若单位员工小王参加抽奖活动,一次随机抽取2张卡片.‎ 记表示“小王参加抽奖活动中奖”,求的值;‎ ‎②设表示“小王参加抽奖活动所获奖金数(单位:元)”,求的分布列和数学期望.‎ 解:(Ⅰ)…………4分 ‎(Ⅱ)①…………6分 ‎②由题意可知可取的值为0,100,200,300. 则…………7分 ‎…………10分 因此的分布列为 X ‎0‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ P ‎………11分 的数学期望是 ‎…………13分 ‎17.(本小题满分13分)在四棱锥中,,∥,,,是的中点,.‎ ‎(Ⅰ)求证:∥平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)在线段上是否存在点,使得所成角的余弦值是,若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ 解:(Ⅰ)证明:取PB的中点M,AB的中点N,连接EM和CM,‎ ‎∴CD∥AB且CD=AB,‎ ‎∴E,M分别为PA,PB的中点,‎ EM∥AB且EM=AB,‎ ‎∴EM∥CD且EM=CD,四边形CDEM为平行四边形,(2分)‎ ‎∴DE∥CM,CM⊂平面PBC,DE⊄平面PBC,(3分)‎ ‎∴DE∥平面BPC.(4分)‎ ‎(Ⅰ)由题意可得DA,DC,DP两两互相垂直,如图,以D为原点,DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,1,0),P(0,0,1). (1分)‎ 设平面PBC的法向量为 ‎ ∴,令 ∴ (2分)‎ 又 ‎ (3分)‎ ‎ ∴ ∥平面 (4分) ‎ ‎(Ⅱ)设点F坐标为(1,t,0),‎ 则=(1,t-1,0),=(1,2,0),‎ 由·=0得t=.∴ (5分)‎ 设平面FPC的法向量为,‎ 由得即 令∴(6分) ‎ 则=. (7分)‎ 又由图可知,该二面角为锐二面角,‎ 故二面角F-PC-D的余弦值为.(8分)‎ ‎(Ⅲ)设,∴ (9分)‎ ‎∴‎ ‎∴ (10分)‎ ‎∵所成角的余弦值是∴其正弦值为 (11分)‎ ‎∴ ,整理得:‎ ‎(12分)‎ ‎∴存在满足条件的点,且 (13分)‎ ‎18.(本小题满分13分)已知数列,且数列是公差不等于0的等差数列,且满足:,成等比数列。‎ ‎(Ⅰ)求数列、的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,求数列的前项和.‎ ‎ 18.解析:(Ⅰ)时, (1分)‎ 时,, (2分)‎ 是以为首项,为公比的等比数列,(3分)‎ ‎ (4分)‎ 又得: , (5分)‎ ‎, 因为解得,(6分) ‎ ‎ (7分) ‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎ (8分)‎ ‎ (9分) ‎ ‎ (10分) ‎ ‎ (11分) ‎ ‎ (12分)‎ ‎ (13分) ‎ ‎19. (本小题满分14分)‎ ‎ 已知椭圆的左右焦点分别为,椭圆的焦距为6,离心率为.‎ ‎(Ⅰ)若,求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线与椭圆相交于两点,分别为线段的中点,若坐标原点在以为直径的圆上,且,求实数的取值范围.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题意得,(1分) ∴.(2分) ‎ 又因为,∴. (3分) 所以椭圆的方程为. (4分) ‎ ‎(Ⅱ)由 得. (5分)‎ 设.所以,(6分)‎ 依题意,,(7分)‎ 法1:,‎ ‎(9分)‎ 法2:易知,四边形为平行四边形,所以.‎ 因为,,‎ 所以.(9分)‎ 即 ,将其整理为 . (11分) ‎ 因为,所以,.(12分)‎ 所以,(13分) (14分)‎ ‎ 20.(本小题满分14分)‎ ‎ 已知函数,‎ ‎(Ⅰ)若,且在其定义域上存在单调递减区间,求实数b的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)设函数,若恒成立,求实数m的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)设函数的图象C1与函数的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1,C2于点M、N,证明:C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.‎ ‎20.解:(I), ‎ 则………………………………2分 因为函数h(x)存在单调递减区间,所以<0有正解.‎ 法1:因y=x2+bx+1为开口向上的抛物线且过点(0,1),………………………4分 法2:,‎ ‎ (II) ………………………5分 ‎ ,于是………………………6分 当在区间是减函数,‎ 当在区间是增函数.‎ 所以时取得最小值,,………………………7分 因为恒成立,所以 ‎.………………………9分 ‎(Ⅲ)证法一 设点P、Q的坐标分别是(x1, y1),(x2, y2),不妨设0
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