数学卷·2018届吉林省乾安县第七中学高二上学期期中考试理数试题 （解析版）

数学卷·2018届吉林省乾安县第七中学高二上学期期中考试理数试题 （解析版）

吉林省乾安县第七中学2016-2017学年高二上学期期中考试 理数试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.中，，则等于（ ）‎ A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°‎ ‎【答案】B 考点：正弦定理.‎ ‎2.已知数列，，，，…，则可能是这个数列的（ ）‎ A．第6项 B．第7项 C．第10项 D．第11项 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：数列，，，，…，即，，，，…，所以数列的通项公式为，所以，解得，故选B.‎ 考点：数列的概念及简单表示法.‎ ‎3.已知是等比数列，，则公比（ ）‎ A． B．-2 C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，即，解得，故选D.‎ 考点：等比数列的性质.‎ ‎4.已知等差数列的前项和为，若，则的值是（ ）‎ A．55 B．95 C．100 D．不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，故选B.‎ 考点：（1）等差数列的性质；（2）等差数列的前项和.‎ ‎5.设，则是的（ ）‎ A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A 考点：（1）不等关系与不等式；（2）充要条件.‎ ‎6.若变量满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A．4 B．2 C．3 D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：满足约束条件的可行域如下图所示，由图可知，当，时，取最大值；故选C.‎ 考点：简单的线性规划.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎7.若且，则下列四个数中最大的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 考点：（1）基本不等式；（2）不等关系与不等式.‎ ‎8.中，，那么此三角形是（ ）‎ A．等边三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：∵，即，∴．‎ 又，∴．变形得：‎ ‎，即．又和都为三角形内角，∴，则三角形为等腰三角形．故选C．‎ 考点：三角形形状判断.‎ ‎【方法点晴】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意三角形内角和定理及三角形内角的范围的运用，属于中档题．由三角形的内角和及诱导公式得到，右边利用两角和与差的正弦函数公式化简，再根据已知的等式，合并化简后，再利用两角和与差的正弦函数公式得到，由与都为三角形的内角，可得，进而得到三角形为等腰三角形．‎ ‎9.设是等差数列的前项和，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 考点：等差数列的前项和.‎ ‎10.已知等差数列的前三项依次为，则此数列的第项为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：已知等差数列的前三项依次为，故有，解得，故等差数列的前三项依次为，，，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，故通项公式，故选B．‎ 考点：（1）等差数列的性质；（2）等差数列的通项公式.‎ ‎11.设，若3是与的等比中项，则的最小值是（ ）‎ A．2 B．4 C．1 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：∵是与的等比中项，∴，∴．，．‎ ‎∴．当且仅当时取等号．故选A．‎ 考点：基本不等式.‎ ‎12.设是定义在上的恒不为零的函数，且对任意的实数，都有 ‎，若，则数列的前项和的取值范围是 ‎（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 考点：抽象函数及其应用.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意，都有得到数列是等比数列，属中档题．主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数的特征，特别是定义域上的恒等式，正确利用变量代换解题是关键所在，在该题中根据，令，，可得数列是以为首项，以为等比的等比数列，进而可以求得，进而的取值范围．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.已知等差数列的公差，那么的值 是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，故答案为.‎ 考点：等差数列的性质.‎ ‎14.已知点和在直线的同侧，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ 考点：一元二次不等式所表示的区域.‎ ‎【方法点晴】本题考查的知识点是二元一次不等式与平面区域，根据、在直线同侧，则、坐标代入直线方程所得符号相同构造不等式是解答本题的关键．由已知点和在直线的同侧，我们将两点坐标代入直线方程所得符号相同，则我们可以构造一个关于的不等式，解不等式即可得到答案．‎ ‎15.不等式的解集是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：不等式的解集是，故答案为.‎ 考点：一元二次不等式的解.‎ ‎16.已知的内角所对的边分别为，若，，则 ‎__________．‎ ‎【答案】‎ 考点：正弦定理.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本题满分10分）‎ 若不等式的解集是，求不等式的解集．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系可得，为方程的两根然后根据韦达定理求出的值，代入即可求的解集.‎ 试题解析：∵不等式的解集为，‎ ‎∴，为方程的两根，‎ ‎∴根据韦达定理可得，∴‎ 不等式为，其解集为 考点：一元二次不等式的解.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 中，，且．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求的大小．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理.‎ ‎【方法点晴】此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知是等差数列，其中．‎ ‎（1）求的通项；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 考点：（ 1）等差数列的通项公式；（2）数列求和.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知是公差不为零的等差数列，且成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题设知，由此能求出的通项公式；（2）由等差数列的前项和公式求结果.‎ 试题解析：（1）由题设知公差，由成等比数列得，‎ 解得，或（舍去），故的通项；‎ ‎（2）由（1）易得，故.‎ 考点：（1）等差数列的性质；（2）等差数列的前项和.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 某商场预计全年分批购入每台2000元的电视机共3600台．每批都购入台（是自然数）且每批均需付 运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费 与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比．若 每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．现在全年只有24000元资金可以支付这笔 费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．‎ ‎【答案】只需每批购入台，可以使资金够用．‎ 考点：基本不等式在最值中的应用.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查函数的实际应用题，根据条件建立函数关系，求出系数的值是解决本题的关键．利用基本不等式是解决最值问题的基本方法，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一，在利用基本不等式的过程中一定要注意等号成立的条件能否取得，否则将会是利用对勾函数的性质得到最值．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 设数列的前项和为，且满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；‎ ‎（3）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1）解：当时，，则，‎ 当时，，‎ 则，∴，所以，数列是以首相，公比为，而；‎ ‎（2）∵，∴，‎ 当时，‎ ‎，‎ 又满足，∴；‎ ‎（3）∵，‎ ‎．．．．．．．．．．．．．．．．①‎ 而．．．．．②‎ ‎①---②得：，‎ ‎．‎ 考点：（1）数列递推式；（2）数列的通项公式；（3）数列求和.‎ ‎【方法点晴】本题考查了数列的通项公式，考查了数列的求和，关键是会用累加法求通项公式和数列的错位相减法求和，难度适中；解题中，在利用这一常用等式以及 时，用累加法求其通项公式；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.‎