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文档介绍
2020高中数学第二章函数4
4.2 二次函数的性质 [学业水平训练] 1.(2014·太原五中月考)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的实数x,都有f(1+x)=f(-x),那么( ) A.f(-2)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(-2)<f(2) C.f(2)<f(0)<f(-2) D.f(0)<f(2)<f(-2) 解析:选D.函数f(x)=x2+bx+c对任意的实数x都有f(1+x)=f(-x).可知函数f(x)图像的对称轴为x=,又函数图像开口向上,自变量离对称轴越远函数值越大,故选D. 2.如果函数y=x2+(1-a)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数a的取值范围是( ) A.a≥5 B.a≤-3 C.a≥9 D.a≤-7 解析:选C.由题意知对称轴x=-≥4,∴a≥9. 3.若函数y=x2-4x-4的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],则m的取值范围是( ) A.(0,2] B.(2,4) C.[0,4] D.[2,4] 解析: 选D.由图像知对称轴为x=2,f(0)=-4,f(2)=-8,f(4)=-4, 若函数在[0,m]上有最小值-8, ∴m≥2. 若函数在[0,m]上有最大值-4, ∵f(0)=f(4)=-4,∴m≤4. 综上知:2≤m≤4. 4.(2014·辽宁省实验中学一诊)若函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)上( ) A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增 解析:选B.由于函数y=ax与y=-在(0,+∞)上均为减函数,故a<0,b<0,故二次函数f(x)=ax2+bx的图像开口向下,且对称轴为x=-<0,故函数f(x)=ax2+bx在(0,+∞)上单调递减. 5.函数y= 的单调减区间为( ) 4 A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.[-1,1] D.[1,3] 解析:选D.令y=,u=-x2+2x+3≥0,则x∈[-1,3], 当x∈[-1,1]时,u=-x2+2x+3增加,y=增加; 当x∈[1,3]时,u=-x2+2x+3减小,y=减小. 6.函数f(x)=|x|(1-x)在区间A上是增函数,那么区间A是________. 解析:∵f(x)=|x|(1-x)=∴可得函数f(x)在区间(-∞,0)及上为减函数,在区间上为增函数. 答案: 7.(2014·西安中学月考)如果函数f(x)=ax2-3x+4在区间(-∞,6)上单调递减,则实数a的取值范围是________. 解析:(1)当a=0时,f(x)=-3x+4,函数在定义域R上单调递减,故在区间(-∞,6)上单调递减. (2)当a≠0时,二次函数f(x)图像的对称轴为直线x=.因为f(x)在区间(-∞,6)上单调递减,所以a>0,且≥6,解得0<a≤.综上所述,0≤a≤. 答案:0≤a≤ 8.已知二次函数f(x)的二次项系数a<0,且不等式f(x)>-x的解集为(1,2),若f(x)的最大值为正数,则a的取值范围是________. 解析:由不等式f(x)>-x的解集为(1,2), 可设f(x)+x=a(x-1)(x-2)(a<0), ∴f(x)=a(x-1)(x-2)-x=ax2-(3a+1)x+2a =a(x-)2-+2a, 其最大值为-+2a, 若-+2a>0,可得8a2<(3a+1)2, 即a2+6a+1>0, 解得a<-3-2或a>-3+2. 答案:(-∞,-3-2)∪(-3+2,0) 9.已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值; (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数. 解:(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5], ∴x=1时,f(x)的最小值为1; x=-5时,f(x)的最大值为37. (2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图像对称轴为x=-a, ∵f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,∴-a≤-5或-a≥5,故a的取值范围是a≤-5或a≥5. 10.某公司生产一种产品每年需投入固定成本为0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投入0.25万元.经预测知,当售出这种产品t百件时,0<t 4 ≤5,则销售所得的收入为万元;若t>5,则销售所得的收入为万元. (1)若该公司的这种产品的年产量为x百件(x>0),请把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y表示为当年年产量x的函数; (2)当年产量为多少时,当年公司所获利润最大? (3)当年产量为多少时,当年公司不会亏本?(取为4.64) 解:(1)当0<x≤5时,f(x)=5x-0.5x2-(0.5+0.25x)=-0.5x2+4.75x-0.5. 当x>5时,f(x)=x+-(0.5+0.25x)=-0.125x+11. ∴f(x)= (2)当0<x≤5时,f(x)=-0.5x2+4.75x-0.5=-0.5(x-4.75)2+10.781 25, ∴当x=4.75时,f(x)max=10.781 25. 当x>5时,f(x)=-0.125x+11<-0.125×5+11=10.375<10.781 25. ∴当年产量为4.75百件时,当年公司所获利润最大,最大利润为10.781 25万元. (3)由题意知f(x)≥0,当0<x≤5时,-0.5x2+4.75x-0.5≥0,即-+4.75≤x≤+4.75, ∴0.11≤x≤9.39,又0<x≤5,∴0.11≤x≤5. 当x>5时,-0.125x+11≥0,∴5<x≤88. 综上可得,∴0.11≤x≤88. [高考水平训练] 1.(2014·人大附中期中考试)已知函数f(x)=ax2+2ax+1(a>0),若f(m)<0,则f(m+2)与1的大小关系为( ) A.f(m+2)<1 B.f(m+2)=1 C.f(m+2)>1 D.f(m+2)≥1 解析:选C.二次函数的对称轴为x=-1,∵f(m)=f(-2-m)<0,且f(0)=1>0,∴-2-m<0,∴2+m>0.∵二次函数在区间(0,+∞)上为增函数,故f(2+m)>f(0)=1,故选C. 2.(2014·衡水高一检测)若函数f(x)满足下列性质: (1)定义域为R,值域为[1,+∞). (2)图像关于x=2对称. (3)对任意x1,x2∈(-∞,0),若x1<x2,都有f(x1)>f(x2). 请写出函数f(x)的一个解析式 ________________________________________________________________________ (只要写出一个即可). 解析:函数最小值为1,图像关于x=2对称,在(-∞,0)上为减函数,∴f(x)=(x-2)2+1(f(x)=a(x-2)2+1(a>0)均可). 答案:f(x)=(x-2)2+1(f(x)=a(x-2)2+1(a>0)均可) 3.已知二次函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],(t∈R),试求f(x)的最小值g(t). 解:∵f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1, ①当t+1≤1,即t≤0时,由图(1)知,截取减区间上的一段,g(t)=f(t+1)=t2+1; ②当1查看更多