2017-2018学年安徽省无为中学高二上学期开学考试数学（理科）试题

2017-2018学年安徽省无为中学高二上学期开学考试数学（理科）试题

无为中学2017—2018学年度第一学期高二开学检测 数学试题卷（理）‎ ‎（时间：120分钟分值：150分）‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎7．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC=BD，AD=1，则等于 A． B． C． D．‎ A．3 B．4 C．5 D．无数　‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎16．给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；（2）若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形；（3）若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；（4）若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，则△ABC为正三角形，以上正确命题的是　　　　　　．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 已知.‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求的单调增区间；‎ ‎（Ⅲ）若[,]时,求的值域.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六 个分数段，画出如下图所示的部分频率分布直方图，请观察图形 信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求70～80分数段的学生人数；‎ ‎（2）估计这次考试中该学科的优分率（80分及以上为优分）、中位数、平均值；‎ ‎0.025‎ ‎0.015‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎40 50 60 70 80 90 100分数 ‎（3）现根据本次考试分数分成下列六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第六组）为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差大于30分（以分数段为依据，不以具体学生分数为依据），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率．‎ ‎19．(本小题满分12分) ‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 设a为非负实数，函数f（x）=x|x﹣a|﹣a．‎ ‎（Ⅰ）当a=2时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的零点个数，并求出零点．‎ 无为中学2017-2018学年度高二第一学期开学检测 数学（理科）答案 一. 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D B D C D B B D A A B 二. 填空题 三. 简答题 ‎17. 解: ‎ ‎ ………………………………………………………………………….. 4分 ‎(Ⅰ)函数f(x)的最小正周期为 …………………………………………….5分 ‎(Ⅱ)由 得 函数的单调增区间为 …………………….8分 ‎(Ⅲ)因为,, ‎ ‎, ………………………………………….10分 ‎18. 解：(1)N=60×(1-0.005-0.010-0.015×2-0.025)×10=18(人)．…….4分 (2)成绩在80分及以上的学生有60×(0.005+0.025)×10=18(人)，  ∴估计这次考试中该学科的优分率为×100%=30%；. ……………………………8分 (3)所有的组合数：(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)  (2，3)(2，4)(2，5)(2，6)  (3，4)(3，5)(3，6)  (4，5)(4，6)  (5，6)  n=5+4+3+2+1=15， 符合“最佳组合”条件的有：(1，4)(1，5)(1，6)  (2，5)(2，6)  (3，6) m=6， 所以。……………………………………………………………………………12分 ‎22.解：（Ⅰ）当.a=2时，，‎ ‎①当x≥2时，f（x）=x2﹣2x﹣2=（x﹣1）2﹣3，‎ ‎∴f（x）在（2，+∞）上单调递增；……………………………2分 ‎②当x＜2时，f（x）=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1，‎ ‎∴f（x）在（1，2）上单调递减，在（﹣∞，1）上单调递增；……………………………4分 综上所述，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，1）和（2，+∞），单调递减区间是（1，2）．‎ ‎（Ⅱ）（1）当a=0时，f（x）=x|x|，函数y=f（x）的零点为x0=0；……………………………5分 ‎（2）当a＞0时，，……………………………6分 故当x≥a时，，二次函数对称轴，‎ ‎∴f（x）在（a，+∞）上单调递增，f（a）＜0；……………………………7分 当x＜a时，，二次函数对称轴，‎ ‎∴f（x）在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎∴f（x）的最大值为，……………………………8分 ‎1°当，即0＜a＜4时，函数f（x）与x轴只有唯一交点，即唯一零点，‎ 由x2﹣ax﹣a=0解之得函数y=f（x）的零点为或（舍去）；……9分 ‎2°当，即a=4时，函数f（x）与x轴有两个交点，即两个零点，分别为x1=2和；…………………………………………………………10分 ‎3°当，即a＞4时，函数f（x）与x轴有三个交点，即有三个零点，‎ 由﹣x2+ax﹣a=0解得，，‎ ‎∴函数y=f（x）的零点为和．……………………………11分 综上可得，当a=0时，函数的零点为0；‎ 当0＜a＜4时，函数有一个零点，且零点为；‎ 当a=4时，有两个零点2和；‎ 当a＞4时，函数有三个零点和．……………………………12分