数学理卷·2018届黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高三12月月考（2017

数学理卷·2018届黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高三12月月考（2017

高三数学月考试题（理科）‎ ‎ 命题人:孙丹丹 审题人:许志海 ‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（　　）‎ A．[0，2] B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）‎ ‎2.设复数z=1+i（i是虚数单位），则+z2=（　　）‎ A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i ‎3.给出下列三个命题：‎ ‎①“若x2+2x﹣3≠0,则x≠‎1”‎为假命题；‎ ‎②若p∧q为假命题，则p、q均为假命题；‎ ‎③命题p：∀x∈R，2x＞0，则¬p：∃x∈R，2x≤0，‎ 其中正确的个数是（　　）‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎4.已知各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为，则‎2a7+a11的最小值为（　　）‎ A．16 B．‎8 ‎C． D．4‎ ‎5.已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x，下列说法错误的是（　　）‎ A．f（x）的最小正周期为π B．x=是f（x）的一条对称轴 C．f（x）在（﹣，）上单调递增 D．|f（x）|的值域是[0，1]‎ ‎6.有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎7.设定点F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+（a＞0），则点P的轨迹是（　　） ‎ A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 ‎8.设是两条不同的直线， 是两个不同的平面,下列命题中错误的（ ）‎ A.若,,,则 B.若,,,则 C.若,,则 D.若,,,则 ‎9. 已知直线l1：x＋(a－2)y－2＝0，l2：(a－2)x＋ay－1＝0，则“a＝－‎1”‎是“l1⊥l‎2”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件　B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎10.若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（　　）‎ A．（1，2] B．[2，+∞） C．（1，] D．[，+∞）‎ ‎11. 已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)‎ A．x±y＝0　　 B．x±y＝‎0 C．x±2y＝0　　 D．2x±y＝0‎ ‎12.定义域在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的方程f（x）﹣a=0（0＜a＜1）所有根之和为1﹣，则实数a的值（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.‎ ‎ 13.已知不等式组,则z=的最大值为　　．‎ ‎ 14.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是　　．‎ ‎15.已知向量与的夹角为120°，且||=3，||=2．若=λ+，且⊥，则实数λ=　　．‎ ‎16.若P是抛物线y2=8x上的动点，点Q在以点C（2，0）为圆心，半径长等于1的圆上运动．则|PQ|+|PC|的最小值为　 　．‎ 三、解答题. ‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ 已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且，b=1‎ ‎（1）若，求边c的大小；‎ ‎（2）若a=‎2c，求△ABC的面积．‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 已知Sn为各项均为正数的数列{an}的前n项和，a1∈（0，2），an2+3an+2=6Sn．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，若对∀n∈N*，t≤4Tn恒成立，求实数t的最大值．‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD．‎ ‎（1）求证：平面PAD⊥平面PBD；‎ ‎（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN， BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 设函数．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间及最大值；‎ ‎（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．‎ 请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．‎ ‎22．(本小题满分10分)‎ 选修4-4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x2﹣2x+y2‎ ‎=0，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R）．‎ ‎（1）写出C的极坐标方程，并求l与C的交点M，N的极坐标；‎ ‎（2）设P是椭圆+y2=1上的动点，求△PMN面积的最大值．‎ ‎23. (本小题满分10分)‎ ‎ 选修4-5：不等式选讲 已知正实数a、b满足：a2+b2=2．‎ ‎（1）求的最小值m；‎ ‎（2）设函数f（x）=|x﹣t|+|x+|（t≠0），对于（1）中求得的m，是否存在实数x，使得f（x）=成立，说明理由．‎ ‎ 数学试题（理科）答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C A B B C D D D A A A B 二、填空题 ‎13．3 14． 15． 16． 3‎ 三、 解答题 ‎17. 解：（1）∵2cos2=sinB，∴1+cosB=sinB，‎ ‎∴2（sinB﹣cosB）=1，即2sin（B﹣）=1，‎ ‎∴B﹣=或（舍），解得：B=，‎ 又A=，则C=，‎ 由正弦定理=，得c==；‎ ‎（2）∵B=，∴sinB=，cosB=，‎ 由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，‎ 将b=1，a=‎2c，cosB=代入，解得：c=，则a=，‎ 则S△ABC=acsinB=××sin=．‎ ‎18.‎ 解：（1）当n=1时，由，‎ 得，即．‎ 又a1∈（0，2），‎ 解得a1=1．由，‎ 可知．‎ 两式相减，得，‎ 即（an+1+an）（an+1﹣an﹣3）=0．‎ 由于an＞0，可得an+1﹣an﹣3=0，‎ 即an+1﹣an=3，‎ 所以{an}是首项为1，公差为3的等差数列．‎ 所以an=1+3（n﹣1）=3n﹣2．‎ ‎（2）由an=3n﹣2，可得=．‎ 因为，‎ 所以Tn+1＞Tn，所以数列{Tn}是递增数列．‎ 所以，‎ 所以实数t的最大值是1．‎ ‎　‎ ‎19.‎ 证明：（1）在平行四边形ABCD中，令AD=1，‎ 则BD==，‎ 在△ABD中，AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，‎ 又平面PAD⊥平面ABCD，‎ ‎∴BD⊥平面PAD，BD⊂平面PBD，‎ ‎∴平面PAD⊥平面PBD．‎ 解：（2）由（1）得AD⊥BD，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，‎ 过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 令AD=1，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（，0，），‎ ‎=（﹣1，，0），=（﹣），=（﹣1，0，0），‎ 设平面PAB的法向量为=（x，y，z），‎ 则，取y=1，得=（），‎ 设平面PBC的法向量=（a，b，c），‎ ‎，取b=1，得=（0，1，2），‎ ‎∴cos＜＞===，‎ 由图形知二面角A﹣PB﹣C的平面角为钝角，‎ ‎∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣．‎ ‎20. 解：（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2=2，‎ ‎∵点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，‎ ‎∴b=|OM|=1，‎ ‎∴．…‎ ‎∴椭圆的方程为．…‎ ‎（II）①当直线l的斜率不存在时，由解得．‎ 设，，则为定值．…‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1）．‎ 将y=k（x﹣1）代入整理化简，得（3k2+1）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0．…‎ 依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则，．…‎ 又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），‎ 所以=‎ ‎==‎ ‎==．．…．…‎ 综上得k1+k2为常数2..…．…‎ ‎21.‎ 解：（1）∵=，解f′（x）＞0，得；解f′（x）＜0，得．‎ ‎∴函数f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．‎ 故f（x）在x=取得最大值，且．‎ ‎（2）函数y=|lnx|，当x＞0时的值域为[0，+∞）．如图所示：‎ ‎①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣﹣c，‎ c==g（x），‎ 则=．‎ 令h（x）=e2x+x﹣2x2，则h′（x）=2e2x+1﹣4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1]单调递增，‎ ‎∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e2﹣1．‎ ‎∴g′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1]单调递减．‎ ‎∴c．‎ ‎②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣，得到c=lnx﹣=m（x），‎ 则=＞0，‎ 故m（x）在[1，+∞）上单调递增，∴c≥m（1）=．‎ 综上①②可知：当时，方程|lnx|=f（x）无实数根；‎ 当时，方程|lnx|=f（x）有一个实数根；‎ 当时，方程|lnx|=f（x）有两个实数根．‎ ‎22. 解：（Ⅰ）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ，（2分）‎ 直线l的直角坐标方程为y=x，‎ 联立方程组，解得或，（4分）‎ 所以点M，N的极坐标分别为（0，0），（，）．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）易得|MN|= （6分）‎ 因为P是椭圆+y2=1上的点，设P点坐标为（cosθ，sinθ），（7分）‎ 则P到直线y=x的距离d=，（8分）‎ 所以S△PMN==≤1，（9分）‎ 当θ=kπ﹣，k∈Z时，S△PMN取得最大值1．（10分）‎ ‎23. 解：（1）∵2=a2+b2≥2ab，即，∴．‎ 又∴≥2，当且仅当a=b时取等号．‎ ‎∴m=2．‎ ‎（2）函数f（x）=|x﹣t|+|x+|≥≥2=1，‎ ‎∴满足条件的实数x不存在．‎