2019高三数学（人教B版 理）一轮：课时规范练35直接证明与间接证明

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2019高三数学（人教B版 理）一轮：课时规范练35直接证明与间接证明

课时规范练35　直接证明与间接证明 基础巩固组 ‎1.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1-a‎4‎‎+‎b‎4‎‎2‎≤0‎ C.‎(a+b‎)‎‎2‎‎2‎-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0‎ ‎2.用反证法证明结论“三角形内角至少有一个不大于60°”,应假设(　　)‎ A.三个内角至多有一个大于60°‎ B.三个内角都不大于60°‎ C.三个内角都大于60°‎ D.三个内角至多有两个大于60°‎ ‎3.(2017河南郑州模拟)设x>0,P=2x+2-x,Q=(sin x+cos x)2,则(　　)‎ A.P>Q B.Pb>0,m=a‎-‎b,n=a-b,则m,n的大小关系是　　　　　. ‎ ‎6.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求证:ab+bc+ac≤‎1‎‎3‎.‎ ‎7.(2017河北唐山模拟)已知a>0,‎1‎b‎-‎‎1‎a>1,求证:‎1+a‎>‎‎1‎‎1-b.‎ 综合提升组 ‎8.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值(　　)‎ A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负 ‎9.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则(　　)‎ A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形 B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形 C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形 D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形〚导学号21500552〛‎ ‎10.已知a,b是不相等的正数,x=a‎+‎b‎2‎,y=a+b,则x,y的大小关系是　　　　　. ‎ ‎11.已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx-‎1‎‎2‎x2+‎1‎‎3‎x3,函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)证明f(x)≤g(x).‎ 创新应用组 ‎12.(2017贵州安顺调研)已知函数f(x)=3x-2x,求证:对于任意的x1,x2∈R,均有f(x‎1‎)+f(x‎2‎)‎‎2‎≥fx‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎.‎ ‎13.在等差数列{an}中,a1=3,其前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为q(q≠1),且b2+S2=12,q=S‎2‎b‎2‎.‎ ‎(1)求an与bn;‎ ‎(2)证明:‎1‎‎3‎‎≤‎1‎S‎1‎+‎‎1‎S‎2‎+…+‎1‎Sn‎<‎‎2‎‎3‎.‎ ‎〚导学号21500553〛‎ 参考答案 课时规范练35　直接证明与 间接证明 ‎1.D　在各选项中,只有(a2-1)(b2-1)≥0⇒a2+b2-1-a2b2≤0,故选D.‎ ‎2.C　“三角形内角至少有一个不大于60°”即“三个内角至少有一个小于等于60°”,其否定为“三角形内角都大于60°”.故选C.‎ ‎3.A　因为2x+2-x≥2‎2‎x‎·‎‎2‎‎-x=2(当且仅当x=0时等号成立),而x>0,所以P>2;又(sin x+cos x)2=1+sin 2x,而sin 2x≤1,所以Q≤2.于是P>Q.故选A.‎ ‎4.D　∵a>0,b>0,c>0,‎ ‎∴a+‎‎1‎b‎+b+‎‎1‎c+c+‎‎1‎a=a+‎‎1‎a+b+‎‎1‎b+‎c+‎‎1‎c≥6,‎ 当且仅当a=b=c=1时,等号成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.‎ ‎5.m0,显然成立.‎ ‎6.证明 由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,‎ 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.‎ 所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤‎1‎‎3‎.‎ ‎7.证明 由已知‎1‎b‎-‎‎1‎a>1及a>0可知0‎‎1‎‎1-b,只需证‎1+a‎·‎‎1-b>1,‎ 只需证1+a-b-ab>1,只需证a-b-ab>0,即a-bab>1,‎ 即‎1‎b‎-‎‎1‎a>1,这是已知条件,所以原不等式得证.‎ ‎8.A　由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数.由x1+x2>0,可知x1>-x2,即f(x1)‎ab(a≠b)⇒a+b>2ab⇒2(a+b)>a+b+2ab⇒a+b>‎(a+‎b‎)‎‎2‎‎2‎‎⇒a+b>‎a‎+‎b‎2‎,即x-1).‎ ‎∵h'(x)=‎1‎x+1‎-x2+x-1=‎-‎x‎3‎x+1‎,‎ ‎∴h(x)在(-1,0)内为增函数,在(0,+∞)内为减函数.‎ ‎∴h(x)max=h(0)=0,即h(x)≤h(0)=0,即f(x)≤g(x).‎ ‎12.证明 要证f(x‎1‎)+f(x‎2‎)‎‎2‎≥fx‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎,即证‎(‎3‎x‎1‎-2x‎1‎)+(‎3‎x‎2‎-2x‎2‎)‎‎2‎‎≥‎‎3‎x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎-2·x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎,因此只要证‎3‎x‎1‎‎+‎‎3‎x‎2‎‎2‎-(x1+x2)≥‎3‎x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎-(x1+x2),‎ 即证‎3‎x‎1‎‎+‎‎3‎x‎2‎‎2‎‎≥‎‎3‎x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎,因此只要证‎3‎x‎1‎‎+‎‎3‎x‎2‎‎2‎‎≥‎‎3‎x‎1‎‎·‎‎3‎x‎2‎,‎ 由于x1,x2∈R时,‎3‎x‎1‎>0,‎3‎x‎2‎>0,‎ 因此由均值不等式知‎3‎x‎1‎‎+‎‎3‎x‎2‎‎2‎‎≥‎‎3‎x‎1‎‎·‎‎3‎x‎2‎显然成立,‎ 故原结论成立.‎ ‎13.(1)解 设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为b‎2‎‎+S‎2‎=12,‎q=S‎2‎b‎2‎,‎ 所以q+6+d=12,‎q=‎6+dq,‎ 解得q=3,‎d=3,‎(q=-4舍去).‎ 故an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1.‎ ‎(2)证明 因为Sn=n(3+3n)‎‎2‎,所以‎1‎Sn‎=‎2‎n(3+3n)‎=‎‎2‎‎3‎‎1‎n‎-‎‎1‎n+1‎.‎ 所以‎1‎S‎1‎‎+‎‎1‎S‎2‎+…+‎‎1‎Sn‎=‎‎2‎‎3‎‎1-‎‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎2‎‎-‎‎1‎‎3‎+‎‎1‎‎3‎‎-‎‎1‎‎4‎ ‎+…+‎‎1‎n‎-‎‎1‎n+1‎‎=‎‎2‎‎3‎‎1-‎‎1‎n+1‎‎.因为n≥1,所以0<‎1‎n+1‎‎≤‎‎1‎‎2‎,所以‎1‎‎2‎≤1-‎1‎n+1‎<1,所以‎1‎‎3‎‎≤‎2‎‎3‎‎1-‎‎1‎n+1‎<‎‎2‎‎3‎.‎ 所以‎1‎‎3‎‎≤‎1‎S‎1‎+‎‎1‎S‎2‎+…+‎1‎Sn‎<‎‎2‎‎3‎.‎
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