2017-2018学年陕西省安康市高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年陕西省安康市高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年陕西省安康市高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：解不等式得集合B，由交集运算定义求得交集．‎ 详解：由题意，∴．‎ 故选C．‎ 点睛：本题主要考查了集合的运算问题，其中正确求解集合是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．‎ ‎2．已知复数满足，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求出z，然后根据共轭复数定义结合复数坐标写法即可.‎ 详解：由题可知：，所以所对应的坐标为（-1,1），故在第二象限，选B.‎ 点睛：考查复数的除法运算，复数的坐标表示，属于基础题.‎ ‎3．已知向量，，若与垂直，则（ ）‎ A. 2 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求出的坐标，然后根据向量垂直的结论列出等式求出x，再求即可.‎ 详解：由题可得：‎ 故选B.‎ 点睛：考查向量的坐标运算，向量垂直关系和模长计算，正确求解x是解题关键，属于基础题.‎ ‎4．若，满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. -2 B. -1 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：要先根据约束条件画出可行域，再转化目标函数，把求目标函数的最值问题转化成求截距的最值问题 详解：如图所示可行域：,‎ 故目标函数在点（2,0）处取得最大值，故最大值为2，‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查线性规划，须准确画出可行域．还要注意目标函数的图象与可行域边界直线的倾斜程度（斜率的大小）．属简单题 ‎5．已知等差数列的前项和为，，则（ ）‎ A. 3 B. 6 C. 9 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：把已知与求值式全部用首项和公差表示，‎ 详解：由题意，∴，‎ ‎∴．‎ 故选B．‎ 点睛：等差数列与等比数列中基本量法是最基本最重要的方法，必须掌握，解等差数列和等比数列的问题大多数情况下都可用基本法求解，即用首项和公差（比）表示出已知条件，如能求出首项和公差（比）就求出，否则得出它们的关系式，再把待求式也用首项和公差（比）表示后就可求得结论．‎ ‎6．下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“”、“”、“”中至少有一个为假命题 D. “若，则，全为0”的逆否命题是“若，全不为0，则”‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据命题条件逐一排除求解即可.‎ 详解：A. 若，则,当a为0时此时结论不成立，故错误；B. “”是“”的必要不充分条件，当x=4时成立，故正确结论应是充分不必要；D. “若，则，全为0”的逆否命题是“若，全不为0，则”‎ 应该是若，不全为0，故错误，‎ 所以综合可得选C 点睛：考查对命题的真假判定，此类题型逐一对答案进行排除即可，但注意思考的全面性不可以掉以轻心，属于易错题.‎ ‎7．已知函数为奇函数，则的值为（ ）‎ A. B. C. -2 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用奇函数的性质可简单求解．‎ 详解：由题意，．‎ 故选A．‎ 点睛：函数为奇函数，若存在，则，但要注意对一般函数，即使有，也不能说明是奇函数．‎ ‎8．已知，是两个不同的平面，，是异面直线且，则下列条件能推出的是（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据线面垂直的判定定理求解即可.‎ 详解：A. ，，此时，两平面可以平行，故错误；B. ，，此时，两平面可以平行，故错误；C. ，，此时，两平面仍可以平行，故错误，故综合的选D.‎ 点睛：考查线面垂直的判定，对答案对角度，多立体的想象摆放图形是解题关键，属于中档题.‎ ‎9．执行如图所示程序框图，输出的的值为（ ）‎ A. B. C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据判断框的条件确定退出循环体的k值，再根据框图的流程确定算法的功能，利用约分消项法求解．‎ 详解：由题可知：‎ 此时输出S=‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能以及对对数公式的准确运用是关键．属于基础题.‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：作出三视图的直观图，然后根据组合体计算体积即可.‎ 详解：如图所示：由一个三棱柱截取G-DEF三棱锥后所剩下的图形，故该几何体的体积为：，故答案为 选D.‎ 点睛：考查三视图还原为直观图后求解体积的计算，对直观图的准确还原是解题关键，属于中档题.‎ ‎11．为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（ ）‎ A. 横坐标缩短到原来的倍 B. 横坐标伸长到原来的倍 C. 横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位 D. 横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位 ‎【答案】A ‎【解析】分析：先将三角函数化为同名函数然后根据三角函数伸缩规则即可.‎ 详解：由题可得：，故只需横坐标缩短到原来的倍即可得，故选A.‎ 点睛：考查三角函数的诱导公式，伸缩变换，对公式的正确运用是解题关键，属于中档题.‎ ‎12．过抛物线：的焦点的直线交于，两点，若，则（ ）‎ A. 2 B. C. 4 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：设出两点的坐标，由焦半径公式得A点坐标，由焦点弦性质得B点坐标，然后可得．‎ 详解：抛物线中，，‎ 设，则，，‎ ‎∵是过焦点的弦，∴ ，‎ ‎∴，∴．‎ 故选D．‎ 点睛：设，是抛物线的过焦点的弦，则，，若抛物线方程为，则，．‎ 二、填空题 ‎13．设函数，则曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：求出导数得切线斜率，由点斜式可得切线方程．‎ 详解：由题意，∴，‎ 又，‎ ‎∴切线方程为．‎ 点睛：本题考查导数的几何意义，函数的图象在点处的切线方程为，注意曲线在点处的切线与过点的切线可能不一样，过点的切线可能多于一条．‎ ‎14．已知双曲线的焦距为，则其离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：已知双曲线的焦距为，故c=，然后根据焦点位置的不同由建立等式关系即可得出m，再求离心率即可.‎ 详解：由题可知：当m<2时，焦点在x轴上，，此时或者当m>3时，焦点在y轴，，此时，故综合得离心率为 点睛：考查双曲线基本性质和标准方程，属于基础题.‎ ‎15．在区间上随机取一个数，若使直线与圆有交点的概率为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先根据直线与圆相交的关系得出不等式得b的取值范围，然后由概率为建立等式求解即可.‎ 详解：圆心到直线的距离：‎ 故答案为 点睛：考查直线与圆的位置关系，然后再结合几何概型求解即可.属于中档题.‎ ‎16．已知数列的前项和为，且，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用公式求得数列的递推式，再构造新数列是等比数列，由此易得结论．‎ 详解：∵，∴当时，，两式相减得：，即，∴ ，‎ 又，满足，‎ ‎∴数列是等比数列，且公比为．‎ ‎∴，即．‎ 故答案为．‎ 点睛：在已知数列的项与和的关系中式，通常用 求出数列的递推式，这里一般推导出数列从第二项开始的后项与前项之间的性质，不包括第一项，因此为了说明整个数列都具有该性质，必须对首项进行验证，否则易出错．‎ 三、解答题 ‎17．已知，，分别是内角，，的对边，，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若的面积为，求的值.‎ ‎【答案】(1);(2)4.‎ ‎【解析】分析：先根据，求得sinA的值，再结合正弦定理求解即可；（2）先由cosA的余弦定理可得c，b的关系，然后根据三角形面积公式即可求得c.‎ 详解：‎ ‎（1）由得，‎ 由及正弦定理可得.‎ ‎（2）根据余弦定理可得，‎ 代入得，整理得，即，解得，∴，解得.‎ 点睛：考查正余弦定理解三角形的应用，三角形面积公式，对定理公式的灵活运用是解题关键，属于基础题.‎ ‎18．某市为提高市民的戒烟意识，通过一个戒烟组织面向全市烟民征招志愿戒烟者，从符合条件的志愿者中随机抽取100名，将年龄分成，，，，五组，得到频率分布直方图如图所示.‎ ‎（1）求图中的值，并估计这100名志愿者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）若年龄在的志愿者中有2名女性烟民，现从年龄在的志愿者中随机抽取2人，求至少有一名女性烟民的概率；‎ ‎（3）该戒烟组织向志愿者推荐了，两种戒烟方案，这100名志愿者自愿选取戒烟方案，并将戒烟效果进行统计如下：‎ 有效 无效 合计 方案 ‎48‎ ‎60‎ 方案 ‎36‎ 合计 完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为戒烟方案是否有效与方案选取有关.‎ 参考公式：，.‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎【答案】（1）33.5；（2）；（3）见解析 ‎【解析】分析：（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积（频率）之和为1可得；用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表与频率相乘可计算出估计值．‎ ‎（2）把年龄在的志愿者5人进行编号（男女不同）后，可用列举法列出任取2人的所有事件，分别计数后可得所求概率；‎ ‎（3）由总人数是100人，可得列联表，并根据公式计算后可知有无关系．‎ 详解：（1），，‎ 估计平均年龄为 .‎ ‎（2）年龄在的志愿者共有5人，设两名女性烟民为，，其余3人为，，，任意抽取两名烟民有，，，，，，，，，，共10种，其中至少有一名女性烟民有7种，故概率为.‎ ‎（3）列联表如图所示，‎ ‎ ，‎ ‎∴没有的把握认为戒烟方案是否有效与方案选取有关.‎ 有效 无效 合计 方案 ‎48‎ ‎12‎ ‎60‎ 方案 ‎36‎ ‎4‎ ‎40‎ 合计 ‎84‎ ‎16‎ ‎100‎ 点睛：本题考查频率分布直方图，考查独立性检验，解题时只要注意频率分布直方图中所有频率之和为1，即可解决相应的频率问题．‎ ‎19．如图，四棱锥的底面四边形是梯形，，，是的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若且平面平面，证明：.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）取PD中点F，后可证MD与AB平行且相等，得平行四边形，从而得BM与AF平行，于是可证线面平行；‎ ‎（2）由PB＝BC，可得BM⊥PC，从而由面面垂直的性质定理得BM⊥平面PDC，因此可得BM⊥PD，从而AF⊥PD，由等腰三角形的性质可得结论．‎ 详解：（1）取的中点，连接，，‎ 则由已知得，∴，∴平面.‎ ‎（2）由题意得，‎ ‎∵平面平面，∴平面，，‎ ‎∵，∴，∴.‎ 点睛：本题考查线面平行的判定定理和面面垂直绵性质定理，解题时需对定理的条件一一列举，否则证明过程不算正确．‎ ‎20．已知椭圆：的离心率为，且过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线交于、两点，为坐标原点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】分析：（1）由离心率和过点建立等式方程组求解即可；（2）根据弦长公式可求得AB的长作为三角形的底边，然后由点到直线的距离求得高即可表示三角形的面积表达式，然后根据基本不等式求解最值即可.‎ 详解：‎ ‎（1）由已知可得，且，解得，，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，，将代入方程整理得，‎ ‎，∴，‎ ‎∴，，，‎ ‎ ，，‎ ‎ ，当且仅当时取等号，‎ ‎∴面积的最大值为.‎ 点睛：考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，弦长，点到直线的距离的应用，对常用公式的熟悉是解题关键，属于中档题.‎ ‎21．已知函数，.‎ ‎（1）求的极值；‎ ‎（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）在处取得极小值，无极大值；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）求出导数，求出的零点，研究在零点两侧的符号后可得极值；‎ ‎（2）不等式可化为，令，用导数求出的最小值可得的范围．‎ 详解：（1），‎ 当时，；当时，，‎ ‎∴在处取得极小值，无极大值.‎ ‎（2）由得 ，‎ ‎∵，∴，‎ 令，，，在上递减，在上递增，‎ ‎∴在上递减，∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 点睛：对不等式恒成立求参数取值范围问题，常常采用分离参数法把不等式化为或恒成立，然后只要求得的最小值或最大值，即得参数的取值范围．‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线：，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心极坐标为，半径为1的圆.‎ ‎（1）求曲线的参数方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设，分别为曲线，上的动点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（为参数），；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）结合公式，借助换元法可得曲线的参数方程，把极坐标化为直角坐标后可得圆的标准方程；‎ ‎（2）曲线的参数方程即为上点的坐标，求出它与圆心距离的最值范围，即可得的取值范围．‎ 详解：（1）的参数方程为（为参数），的直角坐标方程为.‎ ‎（2）设，， ，‎ ‎∵，∴，，∴.‎ 点睛：点到圆上点的距离的取值范围是，其中是圆的半径．‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，分类解一元一次不等式组后再合并可得解集；‎ ‎（2），利用绝对值的三角不等式求得的最小值，然后解不等式即可．‎ 详解：（1），‎ 当时，得；当时，得；当时，得，‎ 综上可得不等式的解集为.‎ ‎（2）依题意，‎ 令 .‎ ‎∴，解得或，即实数的取值范围是.‎ 点睛：本题考查不等式“能成立”问题，要注意与“恒成立”问题的区别：‎ ‎（1）“能成立”：存在使不等式成立，存在使不等式成立 ‎；‎ ‎（2）“恒成立”：对任意的不等式恒成立，对任意的不等式恒成立．‎