2018-2019学年四川省遂宁二中高二下学期期末考试模拟数学（理）试题 解析版

2018-2019学年四川省遂宁二中高二下学期期末考试模拟数学（理）试题 解析版

四川省遂宁二中 2018-2019 学年高二下学期期末考试模拟数 学（理）试题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求。） 1.已知是虚数单位，则 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.已知命题 ，则 为 A. B. C. D. 3.设抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 4.某家具厂的原材料费支出 与销售量 （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的 全部数据，用最小二乘法得出 与 的线性回归方程为 ，则 为 x 2 4 5 6 8 y 25 35 60 55 75 A. 5 B. 10 C. 12 D. 20 5.“ ”是“函数 在 内存在零点”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.观察图中的“品”字形中个数之间的规律，根据观察到的规律得出 a 的值为 A. 75 B. 89 C. 103 D. 139 7 甲、乙、丙三个学生中有一人申请了去新疆支教，当他们被问到谁申请了去新疆支教时，乙 说：甲没有申请；丙说：乙申请了；甲说：乙说对了.如果这三人中有两人说的是真话，一人 说了假话，那么申请去新疆支教的学生是 A．甲 B．乙 C．丙 D．不确定 8.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个 贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地 区，则不同的派遣方案种数为 A. 18 B. 24 C. 28 D. 36 9.已知函数 在 上可导且满足 ，则下列一定成立的为 A. B. C. D. 10.若函数 在 上有最大值无最小值，则实数 的取值 范围为（ ） A. B. C. D. 11.已知抛物线 上一动点到其准线与到点 M（0，4）的距离之和的 最小值为 ，F 是抛物线的焦点， 是坐标原点，则 的内切圆半径为 A. B. C. D. 12.已知函数 在 处取得极值， 对 任 意 恒 成 立 ， 则 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13 抛物线 的焦点坐标为 . 14.二项式 的展开式中含 项的系数为____ 15.已知等比数列 是函数 的两个极值点，则 ____ 16.已知椭圆 与双曲线 具有相同的焦点 ， ， 且在第一象限交于点 ，设椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，若 ，则 的最小值为__________． 三、解答题：本大题 6 小题，共 70 分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 17.设命题 函数 在 单调递增； 命题 方程 表示焦点在 轴上的椭圆. 21 6y x= − 命题“ ”为真命题,“ ”为假命题,求实数 的取值范围. 18.已知二项式 ，其展开式中各项系数和 为 .若抛物线方程为 ，过点 且倾斜角为 的直线与抛物线交于 两点. （1）求展开式中最大的二项式系数（用数字作答）. （2）求线段 的长度. （2）若函数 在区间（1，3）上单调递增，求 c 的取值范围． 19．（12 分）已知函数 ． （1）若函数 在 x=﹣3 处有极大值，求 c 的值； （2）若函数 在区间（1，3）上单调递增，求 c 的取值范围． 20.大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进 行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的， 要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论， 某兴趣小组随机抽取了 50 名魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表所示（表 1）： 并邀请这 30 名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表（表 2）所示： 成 功 完 成 时 间（分钟） [0，10) [10，20) [20，30) [30，40] 人数 10 10 5 5 表 2 表 1 （1）将表 1 补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为是否喜欢盲拧 与性别有关？ （2）根据表 2 中的数据，求这 30 名男生成功完成盲拧的平 均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （3）现从表 2 中成功完成时间在[0，10)内的 10 名男生中任 意抽取 3 人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时 间在[0，10)内的甲、乙、丙 3 人中被抽到的人数为 ， 求 的分布列及数学期望 . 附参考公式及数据： ，其中 . 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 喜 欢 盲拧 不喜欢 盲拧 总计 男 22 ▲ 30 女 ▲ 12 ▲ 总计 ▲ ▲ 50 ( )f x ( ) 3 2 21 33f x x cx c x= − − ( )f x ( )f x 21. 已知直线 与抛物线 交于 A，B 两点，O 是坐标原点，F 是抛 物线焦点． 若 ，求 m 与 p 的等量关系； 若 ，且 的面积为 ，求实数 m 的值． 22.已知函数 ， . （1）若 在 处的切线与 在 处的切线平行，求实数 的值； （2）若 ，讨论 的单调性； （3）在（2）的条件下，若 ，求证：函数 只有一个零点 ，且 ． 遂宁二中高二（下）期末考试数学模拟试题（2）（理科）参考 答案： 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求。） 1.已知是虚数单位，则 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 分子分母同时乘以 ，化简整理，得出，再判断象限。 【详解】 ，在复平面内对应的点为（ ），所以位于第一象限。故选 A。 2.已知命题 ，则 为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析：把全称改为特称，大于改为小于等于。 详解： ，故选 C 命题“ ，则 成立”的否定： ，则 成立 命题“ ，则 成立”的否定： ，则 成立 3.设抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：椭圆的右焦点为 ，抛物线 的焦点坐标为 ，求解 ，再得出准线方程。 详解：椭圆的右焦点为 ，抛物线 的焦点坐标为 ，解得 ，得出准线方程 点睛：抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程 4.某家具厂的原材料费支出 与销售量 （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据， 用最小二乘法得出 与 的线性回归方程为 ，则 为 x 2 4 5 6 8 y 25 35 60 55 75 A. 5B. 10 C. 12 D. 20 【答案】B 【解析】分析：先求样本中心 ，代入方程求解即可。 详解： ， ，代入方程 ，解 得 ，故选 B 点睛：回归直线方程必过样本中心 。 5.“ ”是“函数 在 内存在零点”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 分析：先求函数 在 内存在零点 的解集， ，再用集合的关系判断 充分条件、还是必要条件。 详解：函数 在 内存在零点，则 ，所以 的解集 那么 是 的子集，故充分非必要条件，选 A 6.观察图中的“品”字形中个数之间的规律，根据观察到的规律得出 a 的值为 A. 75 B. 89 C. 103 D. 139 【答案】A 【解析】 观察可得，上边的数为连续的奇数 1，3，5，7，9，11，左边的数为 2 1，22，23，…，所以 b=26=64，又因上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，所以 a=11+64=75，故选 B． 7.C 8.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区 进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣 方案种数为 A. 18 B. 24 C. 28 D. 36 【答案】D 【解析】 分析：按甲乙两人所派地区的人数分类，再对其他人派遣。 详解：类型 1：设甲、乙两位专家需要派遣的地区有甲乙两人则有 ，另外 3 人派往 2 个地区 ， 共有 18 种。 类型 2：设甲、乙两位专家需要派遣的地区有甲乙丙三人则有 ，另外 2 人派往 2 个地区 ，共 有 18 种。 综上一共有 36 种，故选 D 9.已知函数 在 上可导且满足 ，则下列一定成立的为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 易知 在 上恒成立， 在 上单调递减，又 . 本题选择 C 选项. 10.若函数 在 上有最大值无最小值，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析：函数 在 上有最大值无最小值，则极大值在 之间，一阶导函 数有根在 ，且左侧函数值小于 0，右侧函数值大于 0，列不等式求解 详解：函数 在 上有最大值无最小值，则极大值在 之间，设 的根为 ，极大值点在 处取得则 解得 ，故选 C。 点睛：极值转化为最值的性质： 1、若 上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为 的最小值； 2、若 上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为 的最大值； 11.已知抛物线 上一动点到其准线与到点 M（0，4）的距离之和的最小值为 ，F 是抛物线的焦点， 是坐标原点，则 的内切圆半径为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：通过图像将到准线的距离转化为到焦点的距离，到其准线与到点 M（0，4）的距离之和的 最小值，也即为 最小，当 三点共线时取最小值。 详解：通过图像将到准线的距离转化为到焦点的距离，到其准线与到点 M（0，4）的距离之和的 最小值，也即为 最小，当 三点共线时取最小值。所以 ，解得 ，由内切圆的面积公式 ，解得 。故选 D。 12.已知函数 在 处取得极值，对任意 恒成立，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析：根据函数 在 处取得极值解得 ， 由于 ，对任意 恒成立，则 ，确定 的值。再由三次函数的二阶 导数的几何意义，确定 的对称中心，最后求解。 详解：已知函数 在 处取得极值，故 ，解得 。对任意 恒成立，则 ，对任意 恒 成 立 ， 则 所 以 . 所 以 函 数 表 达 式 为 ， ， ， 令 ， 解 得 ， 由 此 ，由三次函数的性质， 为三次函数的拐点，即为三次函数的对称中心,，所以 ， .故选 C。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. ； 14.二项式 的展开式中含 项的系数为____ 【答案】 【解析】 分析：根据二项式定理的通项公式，写出 的系数。 3(0, )2 − 详解： 所以，当 时， 所以系数为 。 15.已知等比数列 是函数 的两个极值点，则 ____ 【答案】 或 【解析】 【分析】 求导后根据 是方程 的两根，由韦达定理，列出两根的关系式，再利用等比 数列的性质求 . 【详解】因为 ，又 是函数 f(x)的两个极值点， 则 是方程 的根， 所以 ，所以解得 或 . 故答案为-2 或 2. 16.已知椭圆 与双曲线 具有相同的焦点 ， ，且在 第一象限交于点 ，设椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，若 ，则 的最小值 为__________． 【答案】 . 【解析】 分析：通过椭圆与双曲线的定义，用 和 表示出 的长度，根据余弦定理建立 的关系式 ；根据离心率的定义 表示出两个离心率的平方和，利用基本不等式即 可求得最小值。 详解： ，所以解得 在△ 中，根据余弦定理可得 代入得 化简得 而 所以 的最小值为 三、解答题：本大题 6 小题，共 70 分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 17.设命题 函数 在 单调递增； 命题 方程 表示焦点在 轴上的椭圆. 命题“ ”为真命题,“ ”为假命题,求实数 的取值范围. 【答案】 【解析】 分析：利用真值表判断 、 的真假性 、 为一真一假，分别解 、 为真时的解集，为假时取为真 时的补集。 详解：由于命题 函数 在 单调递增，所以 命题 方程 表示焦点在 轴上的椭圆.所以 命题“ ”为真命题,“ ”为假命题，则 命题一真一假 ① 真 假时： ② ： 综上所述： 的取值范围为： 18.已知二项式 ，其展开式中各项系数和为 .若抛物线方程 为 ，过点 且倾斜角为 的 直线与抛物线交于 两点. （1）求展开式中最大的二项式系数（用数字作答）. （2）求线段 的长度. 【答案】(1)35(2)4 【解析】 分析：（1）当 n 为奇数时，二项式系数在 时取最大，即在第 4、5 项取最大 （2）各项系数和为 ，求 ，解 ，利用弦长公式求解。 详解：（1）二项式系数分别为 其中 最大.最大为 35 （2）令 ，有 抛物线方程为 过抛物线的焦点 且倾斜角为 ，则直线方程为 ， 令 联立： ， ， 点睛：二项式系数最大项满足以下结论： 当 n 为偶数时，二项式系数在 时取最大，即在第 项取最大。 当 n 为奇数时，二项式系数在 时取最大，即在第 或 项取最大。 联 立 直 线 与 椭 圆 方 程 根 据 韦 达 定 理 列 出 ， 的 关 系 式 ， 利 用 弦 长 公 式 。 19.已知函数 ． （1）若函数 在 x=﹣3 处有极大值，求 c 的值； （2）若函数 在区间（1，3）上单调递增，求 c 的取值范围． 19．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的极值点，求出 c 的值，检验即可； （2）根据函数的单调性得到关于 c 的不等式组，解出即可． 【解答】解： ， ∵ 在 处有极大值，∴ ， 解得：c=3 或﹣1， ①当 c=3 时， ， 或 时， ， 递增， 时， ， 递减∴ 在 处有极大值，符合题意； ②当 时， ， 或 时， ， 递增， 时， ， 递减，∴ 在 处有极大值，符合题意， 综上，c=3 或 c=﹣1； ( ) 3 2 21 33f x x cx c x= − − ( )f x ( )f x ( ) ( )( )' 3f x x c x c= − + ( )f x 3x = − ( )' 3 0f − = ( ) ( )( )' 9 3f x x x= − + 9x > 3x < − ( )' 0f x > ( )f x 3 9x− < < ( )' 0f x < ( )f x ( )f x 3x = − 1c = − ( ) ( )( )' 3 1f x x x= + − 1x > 3x < − ( )' 0f x > ( )f x 3 1x− < < ( )' 0f x < ( )f x ( )f x 3x = − （2）∵ 在（1，3）递增，∴c=0 或 或 或 或 ， 解得： ，∴c 的范围是 ． 20.大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记 忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧 也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机 抽取了 50 名魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表所示： 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计 男 22 ▲ 30 女 ▲ 12 ▲ 总计 ▲ ▲ 50 表 1 并邀请这 30 名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表所示： 成功完成时间（分 钟） [0，10) [10，20) [20，30) [30，40] 人数 10 10 5 5 表 2 （1）将表 1 补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为是否喜欢盲拧与性 别有关？ （2）根据表 2 中的数据，求这 30 名男生成功完成盲拧的平均时间（同一组中的数据用该组区间的 中点值代替）； （3）现从表 2 中成功完成时间在[0，10)内的 10 名男生中任意抽取 3 人对他们的盲拧情况进行视 频记录，记成功完成时间在[0，10)内的甲、乙、丙 3 人中被抽到的人数为 ，求 的分 布列及数学期望 . 附参考公式及数据： ，其中 . 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 分析：根据题意完善表格，由卡方公式得出结论。 （2）根据题意，平均时间为 计算即可 ( )f x 0 3 3 c c <  ≥ 1c− < 0 3 c c > − ≥ 3 1c < 11 3c− ≤ ≤ 11, 3  −   （3）由题意，满足超几何分布，由超几何分布计算概率，数学期望 详解：（1）依题意，补充完整的表 1 如下： 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计 男 22 8 30 女 8 12 20 总计 30 20 50 由表中数据计算得 的观测值为 所以能在犯错误的概率不超过 的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关。 （2）依题意，所求平均时间为 （分钟） （3）依题意，X 的可能取值为 0，1，2，3，故 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 故 21. 已知直线 与抛物线 交于 A，B 两点，O 是坐标原点，F 是抛物线焦 点． 若 ，求 m 与 p 的等量关系； 若 ，且 的面积为 ，求实数 m 的值． 【答案】解： 设 ， ， 联立 ， 消去 x 得： ， 所以 ， 且 ， ， 所以 ， 又 ，所以 ， 解得 ，或 舍去， 则 m 与 p 的等量关系为： ； 分 把 代入 及 ，解得 ， 记直线与 x 轴交点为 ，而 ， 所以 的面积为 把 代入得 ， 所以 ，解得 或 舍， 所以，实数 m 的值为 分 22.已知函数 ， . （1）若 在 处的切线与 在 处的切线平行，求实数 的值； （2）若 ，讨论 的单调性； （3）在（2）的条件下，若 ，求证：函数 只有一个零点 ，且 ． 分析：（1）先求一阶导函数 ， ，用点斜式写出切线方程 （2）先求一阶导函数 的根，求解 或 的解集，判断单调性。 （3）根据（2）的结论，求出极值画出函数的示意图，分析函数 只有一个零点 的等价条件是 极小值大于零，函数 在 是减函数，故必然有一个零点。 详解：（1）因为 ，所以 ；又 。 由题意得 ，解得 （2） ，其定义域为 ， 又 ，令 或 。 ①当 即 时，函数 与 随 的变化情况如下： 当 时， ，当 时， 。 所以函数 在 单调递增，在 和 单调递减 ②当 即 时， ， 所以，函数 在 上单调递减 ③当 即 时，函数 与 随 的变化情况如下： 当 时， ，当 时， 。 所以函数 在 单调递增在 和 上单调递减 （3）证明：当 时， 由①知， 的极小值为 ，极大值为 . 因为 且又由函数 在 是减函数，可得 至多有一个零点 又因为 ， 所以 函数 只有一个零点 ， 且 .