北京市西城区2012届高三数学4月第一次模拟考试试题 文

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北京市西城区2012届高三数学4月第一次模拟考试试题 文

北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题 ‎ 数 学(文科) ‎ ‎ 2012.4‎ 第Ⅰ卷(选择题 共40分)‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知集合,,那么( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎2.执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的 值为( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎3.若,,,则下列结论正确的是( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎4.如图,在复平面内,复数,对应的向量分别是 ‎,,则复数对应的点位于( )‎ ‎(A)第一象限 ‎(B)第二象限 ‎(C)第三象限 ‎(D)第四象限 ‎5.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为,其三视图 中的俯视图如图所示,则其左视图的面积是( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎6.若实数,满足条件 则的最大值为( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎7.设等比数列的前项和为.则“”是“”的( )‎ ‎(A)充分而不必要条件 ‎(B)必要而不充分条件 ‎(C)充要条件 ‎(D)既不充分又不必要条件 ‎8.已知集合,其中,且 ‎.则中所有元素之和是( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9. 已知向量,.若,则实数_____.‎ ‎10. 某年级名学生在一次百米测试中,成绩全部介于秒 与秒之间.将测试结果分成组:,,‎ ‎,,,得到如图所示的频率分 ‎ 布直方图.如果从左到右的个小矩形的面积之比为 ‎,那么成绩在的学生人数是_____.‎ ‎11. 函数的最小正周期为_____.‎ ‎12. 圆的圆心到直线的距离是_____. ‎ ‎13. 已知函数 则的零点是_____;的值域是_____.‎ ‎14. 如图,已知抛物线及两点和,其中.过,分别作 轴的垂线,交抛物线于,两点,直线与轴交于点,此时就称,‎ 确定了.依此类推,可由,确定,.记,.‎ 给出下列三个结论:‎ ‎① 数列是递减数列;‎ ‎② 对,;‎ ‎③ 若,,则.‎ 其中,所有正确结论的序号是_____. ‎ 三、解答题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. ‎ ‎15.(本小题满分13分)‎ 在△中,已知. ‎ ‎(Ⅰ)求角; ‎ ‎(Ⅱ)若,△的面积是,求.‎ ‎16.(本小题满分13分)‎ 某校高一年级开设研究性学习课程,()班和()班报名参加的人数分别是和.现用分层抽样的方法,从中抽取若干名学生组成研究性学习小组,已知从()班抽取了名同学.‎ ‎(Ⅰ)求研究性学习小组的人数;‎ ‎(Ⅱ)规划在研究性学习的中、后期各安排次交流活动,每次随机抽取小组中名同学发言.求次发言的学生恰好来自不同班级的概率.‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 如图,矩形中,,.,分别在线段和上,∥,将矩形沿折起.记折起后的矩形为,且平面平面.‎ ‎(Ⅰ)求证:∥平面;‎ ‎(Ⅱ)若,求证:; ‎ ‎(Ⅲ)求四面体体积的最大值. ‎ ‎18.(本小题满分14分)‎ 已知椭圆的离心率为,一个焦点为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线交椭圆于,两点,若点,都在以点为圆心 的圆上,求的值.‎ ‎19.(本小题满分13分)‎ 如图,抛物线与轴交于两点,点在抛物线上(点在第一象限),∥.记,梯形面积为. ‎ ‎(Ⅰ)求面积以为自变量的函数式;‎ ‎(Ⅱ)若,其中为常数,且,求的最大值.‎ ‎20.(本小题满分13分)‎ 对于数列,定义“变换”:将数列变换成数列,其中,且.这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”,得到数列,依此类推,当得到的数列各项均为时变换结束. ‎ ‎(Ⅰ)试问经过不断的“变换”能否结束?若能,请依次写出经过“变换”得到的各数列;若不能,说明理由;‎ ‎(Ⅱ)设,.若,且的各项之和为.‎ ‎(ⅰ)求,;‎ ‎(ⅱ)若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小,求的最小值,并说明理由.‎ ‎ 数学(文科)参考答案及评分标准 ‎ 2012.4‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.‎ ‎1. C; 2. D ; 3. D; 4. B; 5. A; 6. B; 7. C; 8. C .‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. ‎ ‎9. ; 10. ; 11. ; ‎ ‎12. ; 13. 和,; 14. ① ② ③. ‎ 注:13题第一问2分,第二问3分; 14题少选1个序号给2分.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分. ‎ ‎15.(本小题满分13分) ‎ ‎(Ⅰ)解:由,得. …………3分 所以原式化为. ………4分 ‎ 因为,所以 , 所以 . ………6分 ‎ 因为, 所以 . ……7分 ‎ ‎(Ⅱ)解:由余弦定理,‎ 得 . ……9分 ‎ 因为 ,, ‎ 所以 . ……………11分 因为 , 所以 . ……………13分 ‎ ‎16.(本小题满分13分)‎ ‎(Ⅰ)解:设从()班抽取的人数为,‎ 依题意得 ,所以,‎ 研究性学习小组的人数为. ……5分 ‎(Ⅱ)设研究性学习小组中()班的人为,()班的人为. ‎ 次交流活动中,每次随机抽取名同学发言的基本事件为:‎ ‎,,,,,‎ ‎,,,,,‎ ‎,,,,,‎ ‎,,,,,‎ ‎,,,,,共种. …9分 ‎ 次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为:‎ ‎,,,,,,,,,‎ ‎,,,共种. ………12分 ‎ 所以次发言的学生恰好来自不同班级的概率为. ……13分 ‎17.(本小题满分14分)‎ ‎(Ⅰ)证明:因为四边形,都是矩形,‎ ‎ 所以 ∥∥,.‎ ‎ 所以 四边形是平行四边形,……………2分 ‎ 所以 ∥, ………………3分 ‎ 因为 平面,‎ 所以 ∥平面. ………………4分 ‎(Ⅱ)证明:连接,设.‎ 因为平面平面,且, ‎ 所以 平面, ……5分 所以 . …………6分 ‎ 又 , 所以四边形为正方形,所以 . ………………7分 ‎ 所以 平面, ………………8分 ‎ 所以 . ………………9分 ‎ ‎(Ⅲ)解:设,则,其中.‎ 由(Ⅰ)得平面,‎ 所以四面体的体积为. ………11分 所以 . ……………13分 当且仅当,即时,四面体的体积最大. ………………14分 ‎18.(本小题满分14分)‎ ‎(Ⅰ)解:设椭圆的半焦距为,则. ………………1分 ‎ 由, 得 , 从而………………4分 ‎ 所以,椭圆的方程为. ……………5分 ‎(Ⅱ)解:设.‎ 将直线的方程代入椭圆的方程,‎ 消去得 . ……………7分 由,得,且. …………9分 设线段的中点为,则,. ……………10分由点,都在以点为圆心的圆上,得, …………11分 即 , 解得 ,符合题意. …………13分 所以 . ……………14分 ‎19.(本小题满分13分)‎ ‎(Ⅰ)解:依题意,点的横坐标为,点的纵坐标为. ……1分 点的横坐标满足方程,解得,舍去. ……2分 所以. ……4分 ‎ 由点在第一象限,得.‎ 所以关于的函数式为 ,.…………5分 ‎(Ⅱ)解:由 及,得. ……………6分 记,‎ 则. ………………8分 ‎ 令,得. ………………9分 ‎ ① 若,即时,与的变化情况如下:‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以,当时,取得最大值,且最大值为. …………11分 ‎② 若,即时,恒成立,‎ 所以,的最大值为. …………13分 ‎ 综上,时,的最大值为;时,的最大值为.‎ ‎ ‎ ‎20.(本小题满分13分)‎ ‎(Ⅰ)解:数列不能结束,各数列依次为;;;;;….‎ 以下重复出现,所以不会出现所有项均为的情形. ………3分 ‎(Ⅱ)解:(ⅰ)因为的各项之和为,且, 所以为的最大项,‎ ‎ 所以最大,即,或. …………5分 ‎ 当时,可得 ‎ 由,得,即,故.…7分 ‎ 当时,同理可得 ,. ………8分 ‎ ‎(ⅱ)方法一:由,则经过次“变换”得到的数列分别为:;;;;;.‎ 由此可见,经过次“变换”后得到的数列也是形如“”的数列,与数列“结构”完全相同,但最大项减少12.‎ 因为,‎ 所以,数列经过次“变换”后得到的数列为.‎ 接下来经过“变换”后得到的数列分别为:;;;;;‎ ‎;,……‎ 从以上分析可知,以后重复出现,所以数列各项和不会更小.‎ 所以经过次“变换”得到的数列各项和最小,的最小值为.‎ ‎ ……………13分 方法二:若一个数列有三项,且最小项为,较大两项相差,则称此数列与数列 “结构相同”.‎ 若数列的三项为,则无论其顺序如何,经过“变换”‎ 得到的数列的三项为(不考虑顺序) .‎ 所以与结构相同的数列经过“变换”得到的数列也与结构相同,除外其余各项减少,各项和减少.‎ 因此,数列经过次“变换”一定得到各项为 (不考虑顺序)的数列.‎ 通过列举,不难发现各项为的数列,无论顺序如何,经过“变换”得到的数列会重复出现,各项和不再减少.‎ 所以,至少通过次“变换”,得到的数列各项和最小,故的最小值为.‎ ‎ ……………13分
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