北京市西城区2012届高三数学4月第一次模拟考试试题 文

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北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题 ‎ 数 学（文科） ‎ ‎ 2012.4‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1．已知集合，，那么（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎2．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的 值为（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎3．若，，，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎4．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是 ‎，，则复数对应的点位于（ ）‎ ‎（A）第一象限 ‎（B）第二象限 ‎（C）第三象限 ‎（D）第四象限 ‎5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为，其三视图 中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎6．若实数，满足条件 则的最大值为（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎7．设等比数列的前项和为．则“”是“”的（ ）‎ ‎（A）充分而不必要条件 ‎（B）必要而不充分条件 ‎（C）充要条件 ‎（D）既不充分又不必要条件 ‎8．已知集合，其中，且 ‎.则中所有元素之和是（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9. 已知向量，.若，则实数_____.‎ ‎10. 某年级名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒 与秒之间．将测试结果分成组：，，‎ ‎，，，得到如图所示的频率分 ‎ 布直方图．如果从左到右的个小矩形的面积之比为 ‎，那么成绩在的学生人数是_____．‎ ‎11. 函数的最小正周期为_____．‎ ‎12. 圆的圆心到直线的距离是_____. ‎ ‎13. 已知函数 则的零点是_____；的值域是_____．‎ ‎14. 如图，已知抛物线及两点和，其中.过，分别作 轴的垂线，交抛物线于，两点，直线与轴交于点，此时就称，‎ 确定了.依此类推，可由，确定，.记，.‎ 给出下列三个结论：‎ ‎① 数列是递减数列；‎ ‎② 对，；‎ ‎③ 若，，则.‎ 其中，所有正确结论的序号是_____． ‎ 三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. ‎ ‎15.（本小题满分13分）‎ 在△中，已知． ‎ ‎（Ⅰ）求角； ‎ ‎（Ⅱ）若，△的面积是，求．‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ 某校高一年级开设研究性学习课程，（）班和（）班报名参加的人数分别是和．现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（）班抽取了名同学．‎ ‎（Ⅰ）求研究性学习小组的人数；‎ ‎（Ⅱ）规划在研究性学习的中、后期各安排次交流活动，每次随机抽取小组中名同学发言．求次发言的学生恰好来自不同班级的概率．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，矩形中，，．，分别在线段和上，∥，将矩形沿折起．记折起后的矩形为，且平面平面．‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：； ‎ ‎（Ⅲ）求四面体体积的最大值． ‎ ‎18.（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的离心率为，一个焦点为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线交椭圆于，两点，若点，都在以点为圆心 的圆上，求的值．‎ ‎19.（本小题满分13分）‎ 如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上（点在第一象限），∥．记，梯形面积为． ‎ ‎（Ⅰ）求面积以为自变量的函数式；‎ ‎（Ⅱ）若，其中为常数，且，求的最大值．‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且.这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束． ‎ ‎（Ⅰ）试问经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；‎ ‎（Ⅱ）设，．若，且的各项之和为．‎ ‎（ⅰ）求，；‎ ‎（ⅱ）若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由．‎ ‎ 数学（文科）参考答案及评分标准 ‎ 2012.4‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1. C； 2. D ； 3. D； 4. B； 5. A； 6. B； 7. C； 8. C .‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. ‎ ‎9. ； 10. ； 11. ； ‎ ‎12. ； 13. 和，； 14. ① ② ③. ‎ 注：13题第一问2分，第二问3分; 14题少选1个序号给2分.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. ‎ ‎15.（本小题满分13分） ‎ ‎（Ⅰ）解：由，得． …………3分 所以原式化为． ………4分 ‎ 因为，所以 ， 所以 ． ………6分 ‎ 因为， 所以 ． ……7分 ‎ ‎（Ⅱ）解：由余弦定理，‎ 得 ． ……9分 ‎ 因为 ，， ‎ 所以 ． ……………11分 因为 ， 所以 . ……………13分 ‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：设从（）班抽取的人数为，‎ 依题意得 ，所以，‎ 研究性学习小组的人数为． ……5分 ‎（Ⅱ）设研究性学习小组中（）班的人为，（）班的人为． ‎ 次交流活动中，每次随机抽取名同学发言的基本事件为：‎ ‎，，，，，‎ ‎，，，，，‎ ‎，，，，，‎ ‎，，，，，‎ ‎，，，，，共种． …9分 ‎ 次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：‎ ‎，，，，，，，，，‎ ‎，，，共种． ………12分 ‎ 所以次发言的学生恰好来自不同班级的概率为． ……13分 ‎17.（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：因为四边形，都是矩形，‎ ‎ 所以 ∥∥，．‎ ‎ 所以 四边形是平行四边形，……………2分 ‎ 所以 ∥， ………………3分 ‎ 因为 平面，‎ 所以 ∥平面． ………………4分 ‎（Ⅱ）证明：连接，设．‎ 因为平面平面，且， ‎ 所以 平面， ……5分 所以 ． …………6分 ‎ 又 ， 所以四边形为正方形，所以 ． ………………7分 ‎ 所以 平面， ………………8分 ‎ 所以 ． ………………9分 ‎ ‎（Ⅲ）解：设，则，其中．‎ 由（Ⅰ）得平面，‎ 所以四面体的体积为． ………11分 所以 ． ……………13分 当且仅当，即时，四面体的体积最大． ………………14分 ‎18.（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为，则． ………………1分 ‎ 由， 得 ， 从而………………4分 ‎ 所以，椭圆的方程为． ……………5分 ‎（Ⅱ）解：设．‎ 将直线的方程代入椭圆的方程，‎ 消去得 ． ……………7分 由，得，且． …………9分 设线段的中点为，则，． ……………10分由点，都在以点为圆心的圆上，得， …………11分 即 ， 解得 ，符合题意． …………13分 所以 ． ……………14分 ‎19.（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：依题意，点的横坐标为，点的纵坐标为． ……1分 点的横坐标满足方程，解得，舍去． ……2分 所以． ……4分 ‎ 由点在第一象限，得．‎ 所以关于的函数式为 ，．…………5分 ‎（Ⅱ）解：由 及，得． ……………6分 记，‎ 则． ………………8分 ‎ 令，得． ………………9分 ‎ ① 若，即时，与的变化情况如下：‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以，当时，取得最大值，且最大值为． …………11分 ‎② 若，即时，恒成立，‎ 所以，的最大值为． …………13分 ‎ 综上，时，的最大值为；时，的最大值为．‎ ‎ ‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：数列不能结束，各数列依次为；；；；；…．‎ 以下重复出现，所以不会出现所有项均为的情形． ………3分 ‎（Ⅱ）解：（ⅰ）因为的各项之和为，且， 所以为的最大项，‎ ‎ 所以最大，即，或． …………5分 ‎ 当时，可得 ‎ 由，得，即，故．…7分 ‎ 当时，同理可得 ，． ………8分 ‎ ‎（ⅱ）方法一：由，则经过次“变换”得到的数列分别为：；；；；；．‎ 由此可见，经过次“变换”后得到的数列也是形如“”的数列，与数列“结构”完全相同，但最大项减少12．‎ 因为，‎ 所以，数列经过次“变换”后得到的数列为．‎ 接下来经过“变换”后得到的数列分别为：；；；；；‎ ‎；，……‎ 从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．‎ 所以经过次“变换”得到的数列各项和最小，的最小值为．‎ ‎ ……………13分 方法二：若一个数列有三项，且最小项为，较大两项相差，则称此数列与数列 “结构相同”．‎ 若数列的三项为，则无论其顺序如何，经过“变换”‎ 得到的数列的三项为(不考虑顺序) ．‎ 所以与结构相同的数列经过“变换”得到的数列也与结构相同，除外其余各项减少，各项和减少．‎ 因此，数列经过次“变换”一定得到各项为 (不考虑顺序)的数列．‎ 通过列举，不难发现各项为的数列，无论顺序如何，经过“变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．‎ 所以，至少通过次“变换”，得到的数列各项和最小，故的最小值为．‎ ‎ ……………13分