2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题16 基本初等函数中含有参数问题（测）（解析版）
专题 16 基本初等函数中含有参数问题测试卷
【满分：100 分 时间：90 分钟】
一、选择题(12*5=60 分)
1. 已知函数 ， ，若 ，则
A．1 B．2 C．3 D．-1
【答案】A
【解析】因为 ，且 ，所以 ，即 ，解得 ．
2.【江西省赣州市五校协作体 2020 届高三上学期期中】设 且 ，则“函数 在 上是减函
数”是“ 在 上是增函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】p：“函数 在 R 上是减函数 ”等价于 ；q：“函数 在 R 上是增函数”
等价于 ，即 且 a≠1，故 p 是 q 成立的充分不必要条件．选 A．
3. 【福建省福州市 2020 届高三第一学期质量抽测】3．若函数 f(x)＝－x2＋2ax 与函数 g(x)＝ a
x＋1
在区间[1,2]
上都是减函数，则实数 a 的取值范围为( )
A．(0,1)∪(0,1) B．(0,1)∪(0,1]
C．(0,1) D．(0,1]
【答案】 D
【解析】注意到 f(x)＝－(x－a)2＋a2；依题意得Error!即 0
a 1≠a ( ) xaxf = R
( ) ( ) 32 xaxg −= R
( ) xaxf = 10 << a ( ) ( ) 32 xaxg −=
02 >− a ,20 << a
||5)( xxf = )()( 2 Raxaxxg ∈−= 1)]1([ =gf =a
[ (1)] 1f g = | |( ) 5 xf x = (1) 0g = 21 1 0a⋅ − = 1a =
【解析】因为 在 上单调递增，所以函数 在区间 上的最大值与
最小值是 ，因为函数 在区间 上的最大值比最小值大 2，
所以 ，即 ，得 或 ，故选 D.
5.【河北省廊坊市省级示范校高中联合体 2020 届高三上学期第三次联考】若函数 的
值域为 ，则 的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵函数 的值域为 ，∴代数式 的值取遍所有正实数，
∴ 0，∴a≤ ，故选：A．
6.已知函数 ， ，设 为实数，若存在实数 ，使 ，
则实数 的取值范围为( )
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】因为 ， 为实数，所以 ，因为 ，所以当 时，
的最小值为 ，因为函数 ， ，所以其值域为 ，因
为存在实数 ，使 ，所以 ，即 ，故应选 ．
7. 已知函数 若方程 有且仅有一个实数根，则实数 的
2
| 1|, 7 0( )
ln ,
x xf x
x e x e−
+ − ≤ ≤= ≤ <
2( ) 2g x x x= − a m ( ) 2 ( ) 0f m g a− =
a
[ 1, )− +∞ [ 1,3]− , 1] [3, )− ∞ − +∞（ ,3]− ∞（
2( ) 2g x x x= − a 22 ( ) 2 4g a a a= − 22 4y a a= − 1a = y
2−
2
1 , 7 0
( )
ln ,
x x
f x
x e x e−
+ − ≤ ≤= ≤ ≤
2( 7) 6, ( ) 2f f e−− = = − [ 2,6]−
m ( ) 2 ( ) 0f m g a− = 22 2 4 6a a− ≤ − ≤ 1 3a− ≤ ≤ B
( ) ( ]
( ]1
1 0 1 ,{ 2
2 1 1 0
x
x
xf x
x+
∈ =
− ∈ −
， ，
， ，
( ) 2 0f x x m− − = m
取值范围是( )
A. B. 或 C. D. 或
【答案】D
【解析】原问题等价于 在区间 内只有一个实数根，即函数 与函数
的图象在区间 内只有一个交点，据此绘制函数图象如图所示，结合函数图象可知：
或 ，由 可得 ，由 可得
，综上可得：实数 的取值范围是 或 .
8、已知 a>0，且 a≠1，f(x)＝x2－ax.当 x∈(－1,1)时，均有 f(x)<1
2
，则实数 a 的取值范围是( )
A.(0，1
2 ]∪[2，＋∞) B.[1
2，1 )∪(1,2]
C.(0，1
4 ]∪[4，＋∞) D.[1
4，1 )∪(1,4]
【答案】B
【解析】当 x∈(－1,1)时，均有 f(x)<1
2
，即 ax>x2－1
2
在(－1,1)上恒成立，令 g(x)＝ax，m(x)＝x2－1
2
，由图象知：
当 01 时，g(－1)≥m(1)，即 a－1≥1－1
2
＝1
2
，此时
1
= + <
( )0 1g =
( ) ( )
( )
2
2
1 1 0
{ 11 1 2
g m
g m
− = − + >
= + <
11 2m− < < − ( )0 1g =
1m = m 11 2m− < < − 1m =
( )
2
1
1, 0
2 , 0x
x xf x x
x+
+− <=
≥
( ) 2 2g x x x= − −
设 为实数，若存在实数 ，使得 成立，则 的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以当 时， 单调递增，故 ；
当 时， ，当且仅当 ，即 时，取等
号，综上可得， .又因为存在实数 ，使得 成立，所以只需 ，
即 ，解得 .故选 A.
【名师点睛】本题主要考查分段函数的值域，将存在实数 ，使得 成立，转化为
是解题的关键，属于常考题型.
10. 若 是 的最小值，则 的取值范围为( ).
(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)
【答案】D
【解析】由于当 时， 在 时取得最小值 ，由题意当 时，
应该是递减的，则 ，此时最小值为 ，因此 ，解得 ，选
D．
11. 已知直线 与函数 f(x)= 的图象恰好有 3 个不同的公共点，则实数 m 的取值范围
为( )
A． B． C． D．
【答案】B
b a ( ) ( ) 2g b f a+ = b
[ ]1,2− 3 7,2 2
−
3 7,2 2
−
3 ,42
−
( )
2
1
1, 0
2 , 0x
x xf x x
x+
+− <=
≥
0x ≥ ( ) 12xf x += ( ) 12 2xf x += ≥
0x < ( ) ( )2 1 1 1 2xf x x xx x x
+ = − = − + = − + − ≥
1x x
− = − 1x = −
>++
≤−
=
,0,1
,0,)(
)(
2
xaxx
xax
xf )0(f )(xf a
[0,2]
0x > 1( )f x x ax
= + + 1x = 2 a+ 0x ≤
2( ) ( )f x x a= − 0a ≥ 2(0)f a= 2 2a a≤ + 0 2a≤ ≤
【解析】
作出 的图象如下：可知 时，直线 与 只有一个交点，不符题意；当 时，
与 总有一个交点，故 与 必有两个交点，即方
必有两不等正实根，即方程 必有两不等正实根，所以
，解得 ，即 ，故选 B．
12. 已知函数 f(x)＝Error!函数 g(x)＝b－f(2－x)，其中 b∈R.若函数 y＝f(x)－g(x)恰有 4 个零点，则 b 的取值
范围是( )
A.(7
4，＋∞) B.(－∞，7
4) C.(0，7
4 ) D.(7
4，2 )
【答案】D
【解析】函数 y＝f(x)－g(x)恰有 4 个零点，即方程 f(x)－g(x)＝0，即 b＝f(x)＋f(2－x)有 4 个不同的实数根，
即直线 y＝b 与函数 y＝f(x)＋f(2－x)的图象有 4 个不同的交点．又 y＝f(x)＋f(2－x)＝Error!作出该函数的图
象如图所示，由图可得，当7
4
＜b＜2 时，直线 y＝b 与函数 y＝f(x)＋f(2－x)有 4 个交点.
二、填空题(4*5=20 分)
13. 若函数 在 上的最大值为 4，最小值为 ，且函数 在
上是增函数，则 a＝＿＿＿＿．
( ) ( 0, 1)xf x a a a= > ≠ [ 1,2]− m ( ) (1 4 )g x m x= − [0, )+∞
【答案】
【解析】 当 时，有 ，此时 ，此时 为减函数，不合题意.若
，则 ，故 ，检验知符合题意．
14. 已知函数 满足对任意的 ，都有 恒成立，那么实数
的取值范围是______________
【答案】
【解析】∵函数 f(x)满足对任意 x1＜x2，都有 f(x1)＜f(x2)成立，∴函数 f(x)在定义域上是增函数，则满足
, 故答案为 .
15. 设函数 若 ，则实数 的取值范围是___.
【答案】
【解析】结合图形(图略)，由 ，可得 ，可得 ．
16.【吉林省东北师大附中 2020 届高三二模】设 是定义在 上的偶函数，对任意 ，都有
，且当 时， .在区间 内关于 的方程
恰有 个不同的实数根，则实数 的取值范围是_________.
【答案】
【解析】如图所示，当 ﹣6，可得图象．根据偶函数的对称性质画出[0，2]的图
象，再据周期性：对任意 x∈R，都有 f(x+4)=f(x)，画出[2，6]的图象．画出函数 y=loga(x+2)(a＞1)的图
象．∵在区间(﹣2，6]内关于 x 的 f(x)﹣loga(x+2)=0(a＞1)恰有 3 个不同的实数根，∴loga8＞3，loga4＜3，∴
4＜a3＜8，解得 ＜a＜2．
1
4
1a > 2 14,a a m−= = 12, 2a m= = ( )g x x= −
0 1a< < 1 24,a a m− = = 1 1,4 16a m= =
( ) ( )
( )
2 1( 1){ 1x
a x xf x a x
− + <= ≥ 1 2x x< ( ) ( )1 2f x f x< a
3 ,22
2 0 2
3{ 1 { 1 222 1 3
2
a a
a a a
a a a
− > <
> ∴ > ∴ ≤ <
− + ≤ ≥
3 ,22
( )
≥−
<+=
0,
0,
2
2
xx
xxxxf ( )( ) 2≤aff a
( , 2]−∞
( )( ) 2f f a ≤ ( ) 2f a −≥ 2a ≤
三、解答题(共 6 道小题，共 70 分)
17. 已知命题 p：关于 x 的方程 x2－ax＋4＝0 有实根；命题 q：关于 x 的函数 y＝2x2＋ax＋4 在[3，＋∞)上是
增函数．若 p 或 q 是真命题，p 且 q 是假命题，求实数 a 的取值范围．
【答案】(－∞，－12)∪(－4,4)．
【解析】命题 p 等价于 Δ＝a2－16≥0，即 a≤－4 或 a≥4；命题 q 等价于－a
4≤3，即 a≥－12.
由 p 或 q 是真命题，p 且 q 是假命题知，命题 p 和 q 一真一假．
若 p 真 q 假，则 a<－12；
若 p 假 q 真，则－4 + = − ∴ + − = − > ∴ = − = ⇒ =
1 2a + < 2a > 2
max
1 13( ) ( 1) 3, 2f x f a a a a
+= + = − = ∴ = 0a = 1 13
2a
+=
19.已知函数 ， 为常数．
(1)当 时，求函数 在 上的最小值和最大值；
(2)若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围．
【答案】(1)最大值为 ，最小值为 1.(2) .
【解析】(1)当 时，
所以当 时， 当 时， ，
所以 在 上的最大值为 ，最小值为 1.
(2)因为 而 在 上单调递增
所以当 时， 必单调递增，得 即
当 时， 亦必单调递增，得 即 ，且 恒成立
故所求实数 的取值范围为 .
20.【2018 届西藏林芝市第一中学高三 9 月月考】已知函数 ( ， )．
(1)若函数 的最小值为 ，求 的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下， 在区间 上恒成立，试求 的取值范围．
【答案】(1) ，单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
(2) 的取值范围为 ．
【解析】(1)由题意得 ， ，且 ，
∴ ， ，∴ ，单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
(2) 在区间 上恒成立，转化为 在区间 上恒成立．
设 ， ，则 在 上递减，∴ ，
2( ) 1f x x a x= + − a
2a = ( )f x [0,2]
( )f x [0, )+∞ a
6 [ 2,0]−
2a =
2
2
2
2 2, 1,( ) 2 1
2 2, 1,
x x xf x x x
x x x
+ − ≥= + − = − + <
2
2
( 1) 3, 1,
( 1) 1, 1,
x x
x x
+ − ≥= − + <
[1,2]x∈ max min[ ( )] 6,[ ( )] 1f x f x= = [0,1]x∈ max min[ ( )] 2,[ ( )] 1f x f x= =
( )f x [0,2] 6
2
2
, 1,( )
, 1,
x ax a xf x
x ax a x
+ − ≥= − + <
2
2
2
2
( ) , 1,2 4
( ) , 1,2 4
a ax a x
a ax a x
+ − − ≥=
− − + <
( )f x [0, )+∞
1x ≥ ( )f x 12
a− ≤ 2a ≥ −
0 1x≤ < ( )f x 02
a ≤ 0a ≤ 1 11 1a a a a+ − ≥ − +
a [ 2,0]−
( ) 2 1f x ax bx= + + 0a ≠ x R∈
( )f x ( )1 0f − = ( )f x
( )f x x k> + [ ]3, 1− − k
( ) 2 2 1f x x x= + + ( ], 1−∞ − [ )1,− +∞
k ( ),1−∞
( )1 1 0f a b− = − + = 0a ≠ 12
b
a
− = −
1a = 2b = ( ) 2 2 1f x x x= + + ( ], 1−∞ − [ )1,− +∞
( )f x x k> + [ ]3, 1− − 2 1x x k+ + > [ ]3, 1− −
( ) 2 1g x x x= + + [ ]3, 1x∈ − − ( )g x [ ]3, 1− − ( ) ( )min 1 1g x g= − =
∴ ，即 的取值范围为 ．
21.【辽宁省沈阳市东北育才学校 2020 届高三上学期联考】设函数 ，其中 a 为
常数．
Ⅰ 当 ，求 a 的值；
Ⅱ 当 时，关于 x 的不等式 恒成立，求 a 的取值范围．
【答案】(1)a=﹣ (2)[﹣2，+∞)
【解析】
(1)∵f(x)=log2(1+a•2x+4x)，∴f(-1)=log2(1+ + )，f(2)=log2(1+4a+16)，
由于 ，即 log2(4a+17)=log2( + )+4，解得，a=﹣ ；
(2)因为 f(x)≥x﹣1 恒成立，所以，log2(1+a•2x+4x)≥x﹣1，即，1+a•2x+4x≥2x﹣1，
分离参数 a 得，a≥ ﹣(2x+2﹣x)，∵x≥1，∴(2x+2﹣x)min= ，此时 x=1，所以，a≥ ﹣ =﹣2，
即实数 a 的取值范围为[﹣2，+∞)．
22. 已知 ，函数 .
(1)若关于 的方程 的解集中恰好有一个元素，求 的取值范围；
(2)设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过 1，求 的取值
范围.
【解析】(1) ， ，
当 时， ，经检验，满足题意． 当 时， ，经检验，满足题意．
当 且 时， ， ， ． 是原方程的解当且仅当 ，即 ；
是原方程的解当且仅当 ，即 ．于是满足题意的 ．
综上， 的取值范围为 ．
(3)当 时， ， ，所以 在 上单调递
1k < k ( ),1−∞
a R∈ 2
1( ) log ( )f x ax
= +
x 2( ) log [( 4) 2 5] 0f x a x a− − + − = a
0a > 1[ ,1]2t ∈ ( )f x [ , 1]t t + a
( )1 4 2 5a a x ax
+ = − + − ( ) ( )24 5 1 0a x a x− + − − =
4a = 1x = − 3a = 1 2 1x x= = −
3a ≠ 4a ≠ 1
1
4x a
= − 2 1x = − 1 2x x≠ 1x
1
1 0ax
+ > 2a > 2x
2
1 0ax
+ > 1a > ( ]1,2a∈
a ( ] { }1,2 3,4
1 20 x x< <
1 2
1 1a ax x
+ > +
2 2
1 2
1 1log loga ax x
+ > +
( )f x ( )0,+∞
减．函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ， ．
即 ，
对任意 成立．因为 ，所以函数 在区间 上单调递增，
时， 有最小值 ，由 ，得 ．故 的取值范围为 ．
( )f x [ ], 1t t + ( )f t ( )1f t +
( ) ( ) 2 2
1 11 log log 11f t f t a at t
− + = + − + ≤ +
( )2 1 1 0at a t+ + − ≥
1 ,12t ∈ 0a > ( )2 1 1y at a t= + + − 1 ,12
1
2t = y 3 1
4 2a − 3 1 04 2a − ≥ 2
3a ≥ a 2 ,3
+∞
