数学文卷·2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考(2017

数学文卷·2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考(2017

荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟 ‎2017届高三2月联考 数学（文科）试题 命题学校：龙泉中学 命题人：刘大荣 审题人：曾敏 ‎★祝考试顺利★‎ 注意事项:‎ ‎ 1、答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第 Ⅰ 卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设全集，，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．从数字中任取两个不同的数字构成一个两位数，这个两位数大于的概率是 A． B． C． D．‎ ‎4．在正数数列中,,且点在直线上, 则的前项和等于 A． B． C． D． ‎ ‎5．函数的大致图象为 A B C D ‎6．已知在四面体中，分别是的中点，若，则与所成角的度数是 A． B． C． D．‎ ‎7．将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数 A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 ‎8．设均为正数，且，则 A． B． C． D．‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． B． C． D．‎ 第9题图 第10题图 ‎10．执行如图所示的程序框图后，输出的值为，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎11．双曲线的左右焦点分别为，直线经过点及虚轴的一个端点，且点到直线的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎12．数列满足，且，记为数列的前项和，则 A． B． C． D．‎ 第 Ⅱ 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． ‎ ‎13．设向量.若，则________.‎ ‎14．过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率________.‎ ‎15．某公司租赁甲、乙两种设备生产两类产品，甲种设备每天能生产类产品件和类产品件，乙种设备每天能生产类产品件和类产品件．已知设备甲每天的租赁费为元，设备乙每天的租赁费为元，现该公司至少要生产类产品件，类产品件，所需租赁费最少为__________元． ‎ ‎16．若函数图象的对称中心为，记函数的导函数为，则有.若函数，则 B A C D ‎________.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本题满分12分）‎ 如图，在平面四边形中，，‎ 的面积，‎ ‎（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求的大小．‎ ‎18．(本小题满分12分) ‎ 某手机厂商推出一款吋大屏手机，现对名该手机使用者（名女性，名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：‎ 女性用户：‎ 分值区间 频数 男性用户：‎ 分值区间 频数 ‎（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不要求计算具体值，给出结论即可）；‎ 女性用户 男性用户 ‎（Ⅱ）分别求女性用户评分的众数，男性用户评分的中位数；‎ ‎（Ⅲ）如果评分不低于分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列列联表，并回答是否有的把握认为性别和对手机的“认可”有关；‎ 女性用户 男性用户 合计 ‎“认可”手机 ‎“不认可”手机 合计 附：‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，‎ ‎, 点是的中点，，且交于点．‎ ‎(Ⅰ) 求证:平面； ‎ ‎(Ⅱ) 求点到平面的距离．‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 平面上动点到点的距离比它到直线的距离小．‎ ‎(Ⅰ) 求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作直线与曲线交于两点，与直线交于点，求的最小值．‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的极值点的个数；‎ ‎（Ⅱ）若有两个极值点，证明：．‎ 请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知三点.‎ ‎（Ⅰ）求经过的圆的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为（为参数），若圆与圆外切，求实数的值.‎ ‎23．（本小题满分10分）选修：不等式选讲 已知．‎ ‎（Ⅰ）求不等式＜4的解集；‎ ‎（Ⅱ）若不等式有解，求的取值范围．‎ 荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟 ‎2017届高三2月联考数学（文）试题 ‎ 参考答案及评分标准 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C C B A C D A B B A D D 二、填空题 ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17． 解：设，则 ‎（1）在中，由面积公式得：，‎ 解得， …………………………3分 又由余弦定理得，‎ ‎； …………………………6分 ‎（2），‎ ‎， …………………………8分 在中，由正弦定理得得：‎ ‎， …………………………10分 而，故为所求． …………………………12分 ‎18．（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：‎ 由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大． ……………………………………4分 ‎（Ⅱ）由女性用户频率分布直方图知，女性用户评分的众数为； …………………5分 在男性用户频率分布直方图中，中位数两边的面积相等。设中位数为，则 于是，解得 ……………………8分 ‎（Ⅲ）列联表如下图：‎ 女性用户 男性用户 合计 ‎“认可”手机 ‎140‎ ‎180‎ ‎320‎ ‎“不认可”手机 ‎60‎ ‎120‎ ‎180‎ 合计 ‎200‎ ‎300‎ ‎500‎ 第19题图 ‎，所以有的把握认为性别和对手机的“认可”有关． ……………………………………12分 ‎19．（Ⅰ）证明：连结交于，连结． ‎ 是正方形，∴ 是的中点． ‎ 是的中点，∴是△的中位线．‎ ‎∴． ………………………3分 又∵平面，平面， ‎ ‎∴平面． ………………………5分 ‎ ‎（Ⅱ）由条件有 ‎∴ 平面，∴ ‎ 又∵ 是的中点，∴ ‎ ‎∴平面 ∴ ………………………8分 由已知，∴平面 ‎ 于是面，则为点到平面的距离 ………………………9分 在中，，‎ 于是 ‎∴点到平面的距离为． …………………12分 ‎20．解：(Ⅰ)设动点的坐标为，由题意知：‎ B A x y O M F ‎，且，、‎ ‎，化简得：‎ ‎，即为动点轨迹的方程； …………………4分 ‎（Ⅱ）设点，由题意直线的斜率 存在且，设其方程为，则，得 由，消去得，‎ 于是恒成立，且，‎ 又，‎ ‎ …………………7分 与方向相同，故，‎ ‎，‎ ‎ ‎ 当且仅当时取等号，‎ 故的最小值为． …………………12分 解法二：（Ⅱ）设点，由题意直线的斜率 存在且，设其方程为， ‎ 由，消去得，‎ 于是恒成立，且 …………………7分 当且仅当时取等号，‎ 故的最小值为． …………………12分 ‎21． 解：（Ⅰ）由得，‎ ‎ …………………1分 ‎（ⅰ）时， ，‎ 所以取得极小值，是的一个极小值点． …………………2分 ‎（ⅱ）时，，令，得 显然，，所以，‎ 在取得极小值，有一个极小值点． …………………4分 ‎（ⅲ）时，时，即在是减函数，无极值点．‎ 当时，，令，得 当和时，时，，所以在取得极小值，在取得极大值，所以有两个极值点． …………………6分 综上可知：（ⅰ）时，仅有一个极值点；‎ ‎ （ⅱ） 当时，无极值点；‎ ‎（ⅲ）当时，有两个极值点． …………………7分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当时，有极小值点和极大值点，且 是方程的两根，所以， …………………8分 ‎ ‎ ‎， …………………10分 设，，‎ 所以时，是减函数，，则 所以得证． …………………12分 ‎22.解（Ⅰ）对应的直角坐标分别为，则过的圆的普通方程为，将代入得过的圆的极坐标方程为； …………………5分 ‎（Ⅱ）圆（为参数）对应的普通方程为 与外切， …………………10分 ‎23.解：（Ⅰ）‎ 或或，‎ 解得:或或，‎ 故不等式的解集为； …………………5分 ‎（Ⅱ），‎ ‎，当且仅当时取等号，‎ 而不等式有解，‎ 又或 故的取值范围是． …………………10分 ‎