2014漳州5月份质检理数试卷
2014 年 5 月漳州市高中毕业班质量检查
理科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120
分钟.
注意事项:
1. 答第Ⅰ卷前,考生务必需将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.
2. 每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.
参考公式:
样本数据 x1,x2,… ,xn 的标准差 锥体体积公式
s= V= Sh
其中 为样本平均数 其中 S 为底面面积,h 为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V=Sh ,
其中 S 为底面面积,h 为高 其中 R 为球的半径
第 I 卷 (选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.将正确答案填写在答题卷相应位置.
1. i 为虚数单位,则 等于
A. B. C. 2 D.
2. 不等式(x-2y+1)·(x+y-3)≤0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是
3. 执行如图所示的程序框图.若输出 , 则框图中① 处
可以填入
A. ? B. ? C. ? D. ?
4.若函数 y=
x3
3 -x2+1(0
8n > 16n > 16n <
2 2 2
1 2
1 ( ) ( ) ( )nx x x x x xn
− + − + + − …
3
1
x
24S R= π 34
3V R= π
1 i
i
+
1 i− 1 i+ 2
2
0 0 0, 1 3x R x x∃ ∈ + > 2, 1 3x R x x∀ ∈ + ≤
2 2( ) cos sinf x ax ax= − π 1a =
2 2x x ax+ ≥ [ ]1,2x∈ ⇔ maxmin
2 )()2( axxx ≥+ [ ]1,2x∈
④“平面向量 与 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ ”.
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知 外接圆 的半径为 ,且 , ,从圆 内随机取一个点
,若点 取自 内的概率恰为 ,则 的形状为
A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
7. 用一根长为 12 m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗和边框粗细),则
框架的最大面积为
A.4 B.6 C.2.5 D.4.5
8.若两非零向量 与 的夹角为 ,定义向量运算 ,已知向量 满足
, , ,则
A.2 B. C. D.3
9. 已知双 曲线 ,两个焦点分别为 ,若在第一象限内双曲线
上存在一点 P,使得在 中, , ,则此双曲线的渐近
线方程为
A. B.
C. D.
10. 设函数 的定义域为 ,若对于任意 、 ,当 时,恒有
,则称点 为函数 图像的对称中心.研究函数
的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到
的值为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 把答案填在答题卡的相应位置.
11 . 若 等 差 数 列 {an} 的 前 5 项 和 S5 = 25 , 且 a2 = 3 , 则 a4 =
________.
12.某几何体的三视图及部分数据如图所示,则此几何体的表面积
是 .
13.已知 的展开式中 的系数是 10,则实数 的值
是 .
14.若直线 与抛物线 相交于 两点,且
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
)(xfy = D 1x Dx ∈2 axx 221 =+
bxfxf 2)()( 21 =+ ),( ba )(xfy =
3sin)( −+= xxxf π
+
++
+
2014
4027
2014
4026
2014
2
2014
1 ffff
8054− 4027− 4027 8054
5( 1)ax + 3x a
a b 0a b⋅ <
ABC∆ O 1 1
2OA OB⋅ = −
3C
π∠ = O
M M ABC∆ 3 3
4π ABC∆
2m 2m 2m 2m
a b θ sina b a b θ⊗ = ⋅ ⋅ ,m n
3m = 4n = 6m n⋅ = − m n⊗ =
2 3− 2 3
1 2F F、
1 2PF F∆ 1 2 =30PF F∠
2 1=90PF F∠
2= 2y x± = 2y x± = 3y x± = 2y x±
= ( 1)( 0)y k x k+ > 2 =4y x ,A B
两点在抛物线的准线上的射影分别是 ,若 ,则 的值
是 .
15.在棱长为 的正方体 中,点 是正方体棱上一点(不包括棱的端点),
若满足 的点 的个数为 ,则 的取值范围是 .
三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写在答题卷相应位置,要写出文字说明、
证明过程或演算步骤.)
16. (本小题满分 13 分)
已知函数 ( )的最小正周期为 .
(Ⅰ)求函数 的单调增区间;
(Ⅱ)将函数 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数
的图象;若 在 上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值.
17. (本小题满分 13 分)
如图, 已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且 ,
平面 ABCD⊥平面 BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2.
(Ⅰ)求证:AG 平面 BDE;
(Ⅱ)求:二面角 G DE B 的余弦值.
18.(本小题满分 13 分)
某品牌电视专卖店,在五一期间设计一项有奖促销活动:每购买一台电视,即可通过电
脑
产生一组 3 个数的 随机数组,根据下表兑奖.
奖次 一等奖 二等奖 三等奖
随机数组的特征 3 个 1 或 3 个 0 只有 2 个 1 或 2 个 0 只有 1 个 1 或 1 个 0
奖金(单位:元)
商家为了了解计划的可行性,估计奖金数,进行了随机模拟试验,产生 20 组随机数组,
每组 3 个数,试验结果如下所示:
235,145,124,754, 353,296,065,379,118,247,
520,356,218,954 ,245,368,035,111,357,265.
(Ⅰ)在以上模拟的 20 组数中,随机抽取 3 组数,至少有 1 组获奖的概率;
(Ⅱ)根据上述模拟试验的结果,将频率视为概率.
(i)若活动期间某单位购买四台电视,求恰好有两台获奖的概率;
(ii)若本次活动平均每台电视的奖金不超过 260 元,求 的最大值.
19. (本小题满分 13 分)
,A B ,M N 2BN AM= k
1 1 1 1 1ABCD A B C D− P
1PA PC m+ = P 6 m
2( ) 2sin cos 2 3sin 3f x x x xω ω ω= + − 0ω > π
( )f x
( )f x 6
π
( )y g x=
( )y g x= [0, ]( 0)b b >
2BCD BCE
π∠ = ∠ =
//
− −
5m 2m m
m
20. (本小题满分 14 分)
设函数 f(x)=x2+ln(x+1).
(Ⅰ)求函数 f(x)图象在点 处的切线 方程;
(Ⅱ)(i)求证当 x∈(0,+∞)时 f(x)>x 恒成立;
(ii)利用(i)的结论证明: ;
(Ⅲ)求证: .
21. 本题(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分,
如果多做,则按所做的前两题计分。作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应
的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.
(1)(本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换
已知直线 ,矩阵 .
(Ⅰ)求直线 经过矩阵 变换之后得到的直线方程;
(Ⅱ)若将(Ⅰ)中所得直线再进行伸缩变换 之后得到直线 ,求伸缩变换的矩阵
(2)(本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中,已知直线 的参数方程是 ( 为参数);以
为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆 的极坐标方程为 .
(Ⅰ)写出直线 的普通方程与圆 的直角坐标方程;
(Ⅱ)由直线 上的点向圆 引切线,求切线长的最小值.
(0, (0))P f
2 2 2
1 2 2013 20152 3 2014 ln+ + + <
( )
1
1 1 1 2
n
i
i nsin n cos lnn i n=
− + < − + + ∑
1 2: 2, : 2l y x l y x= + = − 0 2
1 0M
=
1l M
N 2l N
xOy l
2
2
2 4 22
x t
y t
=
= +
,
t O
x C 2cos( )4
ρ θ π= +
l C
l C
(3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲
已知函数 ,m∈R,且 的解集为 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 +,且 ,求 的最小值.
( ) | 2 |f x m x= − − ( 2) 0f x + ≥ [ 1,1]−
m
, ,a b c R∈ 1 1 1
2 3 ma b c
+ + = 2 3a b c+ +
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理科数学试卷参考答案
一、 选择题: 1-5 C, C , B , D, B , 6-10 A , D, C , B , A.
二、 填空题:11.7; 12. ; 13. 1; 14. ; 15. .
三、 解答题:
16. 解:(Ⅰ)由题意得:
, …………………………………………2 分
由周期为 ,得 ,得 , ……………………………4 分
函数的单调增区间为: ,
整理得 ,
所以函数 的单调增区间是 .………………………6 分
(Ⅱ)将函数 的图象向左平移 个单位,再向上平移单位,得到 的
图象,
所以 ,…8 分
令 ,得 或 ,………………………………10 分
所以在 上恰好有两个零点,
若 在 上有 10 个零点,则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可,
即 b 的最小值为 . ……………………………………13 分
17. 解:由平面 ,平面 ,
平面 BCEG, ,
由平面 ,
知 , . ……………………………………2 分
根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,可得
……3 分
(Ⅰ)设平面 BDE 的法向量为 ,则
3 4 3+ 2 23 ( 3, 5)
( )f x = 22sin cos 2 3sin 3x x xω ω ω+ −
sin 2 3 cos2 2sin(2 )3x x x
πω ω ω= − = −
π 1ω = ( ) 2sin(2 )3f x x
π= −
2 2 22 3 2k x k
π π ππ π− ≤ − ≤ +
5 ,12 12k x k k Z
π ππ π− ≤ ≤ + ∈
( )f x 5[ , ] , Z12 12k k k
π ππ π− + ∈
( )f x 6
π
2sin 2 1y x= +
( ) 2sin 2 1g x x= +
( ) 0g x = 7
12x k
ππ= + 11 ( Z)12x k k
ππ= + ∈
[ ]0,π
( )y g x= [0, ]b
11 594 12 12
π ππ + =
ABCD BCEG⊥ 平面 ABCD BCEG BC=平面
,CE BC CE⊥ ⊂ ∴ EC ABCD⊥ 平面
ABCD BCEG⊥ 平面
2BCD BCE
π∠ = ∠ =
EC CD⊥
(0,2,0 (2 0,0 (0 0 2 (2,1,0) (0,2,1)B D E A G), , ), ,,),
( , , )m x y z= (0,2, 2), (2,0, 2)EB ED= − = −
即 , ,
平面 BDE 的一个法向量为 ……………………………………..5 分
, ,
,∴AG∥平面 BDE. ………………………………………….7 分
(Ⅱ)由(1)知 ,
设平面 EDG 的法向量为 ,则 即
平面 EDG 的一个法向量为 ………………………………………..9 分
又平面 BDE 的一个法向量为 ,
设二面角 的大小为 ,则 ,
二面角 的余弦值为 . …………………..13 分
18. 解:(Ⅰ)设“在以上模拟的 20 组数中,随机抽取 3 组数,至少有 1 组获奖”为事件
,则
由数组知,没中奖的组数为 12,
. 3 分
(Ⅱ)(i)由题意得,每购买一台电视获奖的概率为 ,设“购买四台电视,
恰有两台获奖”为事件 ,则 .……6 分
(ii)设“购买一台电视获一等奖”为事件 ,“购买一台电视获二等奖”为事件 ,
“购买一台电视获三等奖”为事件 ,
则 . ………………8 分
设 为获得奖金的数额,则 的可能取值为 ,故 的分布列为
0 0EB m ED m∴ ⋅ = ⋅ = 0
0
y z
x z
− =
− = x y z∴ = =
∴ (1,1 ,1)m = ,
( 2,1,1)AG = −
2 1 1 0AG m∴ ⋅ = − + + = AG m∴ ⊥
AG BDE⊄ 平面
(0, 2, 1)EG = −
),,( zyxn = 0
0
EG n
ED n
→
→
⋅ =
⋅ =
2 0
2 2 0
y z
x z
− =
− =
∴ 1(1, ,1)2n =
(1,1 ,1)m = ,
G DE B− − α
11 1 5 32cos 913 1 14
α
+ +
= =
⋅ + +
∴ G DE B− − 5 3
9
A
( ) 3
12
3
20
461 57
CP A C
∴ = − =
8 2
20 5P = =
B ( ) 2 2
2
4
2 2 21615 5 625P B C = × − =
1A 2A
3A
( ) ( ) ( )1 2 3
1 1 3, ,20 20 10P A P A P A= = =
ξ ξ 0, ,2 ,5m m m ξ
. ………………11 分
由题意 得 的最大值为 400 .…………13 分
19.
ξ 0 m 2m 5m
P 3
5
3
10
1
20
1
20
3 2 5 130 10 20 20 20
m m m mEξ∴ = + + + =
13 260,20
mEξ = ≤ 400,m m≤ ∴
20. 解:(Ⅰ) ,切线 的斜率为 ,
∴切线 的方程为 .…………………………2 分
(Ⅱ)(i)设 g(x)=x-f(x)= x-x2-ln(x+1),则 ,
当 x>0 时,g′(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上递减,
∴g(x)0 时,x-x2
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