数学卷·2018届湖北省仙桃市汉江高中高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届湖北省仙桃市汉江高中高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年湖北省仙桃市汉江高中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题 ‎1．直线2x﹣y=7与直线2x﹣y﹣1=0的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．平行 C．重合 D．异面 ‎2．若直线x+2y+1=0与直线ax+y﹣2=0互相垂直，那么a的值等于（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．1‎ ‎3．已知直线经过点A（0，4）和点B（1，0），则直线AB的斜率为（　　）‎ A．3 B．﹣4 C．4 D．不存在 ‎4．直线mx﹣y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是（　　）‎ A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（1，﹣2） D．（1，2）‎ ‎5．若直线经过A（1，0），B（4，）两点，则直线AB的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎6．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．直线l经过A（2，1）、B（1，m2）（m∈R）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是（　　）‎ A．[0，π） B． C． D．‎ ‎8．与直线x+y+3=0平行，且它们之间的距离为的直线方程为（　　）‎ A．x﹣y+8=0或x﹣y﹣1=0 B．x+y+8=0或x+y﹣1=0‎ C．x+y﹣3=0或x+y+3=0 D．x+y﹣3=0或x+y+9=0‎ ‎9．在区间[﹣，]上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．平行线3x+4y﹣9=0和6x+8y+2=0的距离是（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎11．过点P作圆（x+1）2+（y﹣2）2=1的切线，切点为M，若|PM|=|PO|（O为原点），则|PM|的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎12．直线l与圆x2+y2=1相切，并且在两坐标轴上的截距之和等于，则直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于（　　）‎ A． B． C．1或3 D．或 ‎　‎ 二、填空题 ‎13．过点（2，1）且与直线x+3y+4=0垂直的直线方程为　　．‎ ‎14．已知两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0平行，则a=　　．‎ ‎15．若圆x2+y2=4 与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0相外切，则实数m=　　．‎ ‎16．直线L：3x﹣y﹣6=0被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦AB的长为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．求圆心在直线3x+y﹣5=0上，并且经过原点和点（4，0）的圆的方程．‎ ‎18．（1）求经过点A（3，2），B（﹣2，0）的直线方程．‎ ‎（2）求过点P（﹣1，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程．‎ ‎19．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．‎ ‎（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；‎ ‎（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；‎ ‎（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．‎ ‎20．从一副扑克牌的红桃花色中取5张牌，点数分别为1，2，3，4，5．甲、乙两人玩一种游戏：甲先取一张牌，记下点数，放回后乙再取一张牌，记下点数．如果两个点数的和为偶数就算甲胜，否则算乙胜．‎ ‎（1）求甲胜且点数的和为6的事件发生的概率；‎ ‎（2）这种游戏规则公平吗？说明理由．‎ ‎21．已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，直线l：（m+2）x+（2m+1）y=7m+8，‎ ‎（1）求证：直线l与圆C恒相交；‎ ‎（2）当m=1时，过圆C上点（0，3）作圆的切线l1交直线l于P点，Q为圆C上的动点，求|PQ|的取值范围．‎ ‎22．已知直线x﹣y+1=0与圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+m=0交于A，B两点；‎ ‎（1）求线段AB的垂直平分线的方程；‎ ‎（2）若|AB|=2，求m的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求过点P（4，4）的圆C的切线方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省仙桃市汉江高中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．直线2x﹣y=7与直线2x﹣y﹣1=0的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．平行 C．重合 D．异面 ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】根据两直线的斜率相等，但在y轴上的截距不相等，则得两直线平行．‎ ‎【解答】解：由于直线2x﹣y=7与直线2x﹣y﹣1=0的斜率相等，都等于2，而在y轴上的截距分别为﹣7 和1，不相等，‎ 故两直线平行，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．若直线x+2y+1=0与直线ax+y﹣2=0互相垂直，那么a的值等于（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．1‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：由于直线x+2y+1=0的斜率存在，且直线x+2y+1=0与直线ax+y﹣2=0互相垂直，‎ 则×（﹣a）=﹣1，解得a=﹣2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．已知直线经过点A（0，4）和点B（1，0），则直线AB的斜率为（　　）‎ A．3 B．﹣4 C．4 D．不存在 ‎【考点】直线的斜率．‎ ‎【分析】利用斜率计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：kAB==﹣4．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．直线mx﹣y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是（　　）‎ A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（1，﹣2） D．（1，2）‎ ‎【考点】恒过定点的直线．‎ ‎【分析】直线mx﹣y+2m+1=0可化为m（x+2）+（﹣y+1）=0，根据m∈R，建立方程组，即可求得定点的坐标．‎ ‎【解答】解：直线mx﹣y+2m+1=0可化为m（x+2）+（﹣y+1）=0‎ ‎∵m∈R ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴直线mx﹣y+2m+1=0经过定点（﹣2，1）‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．若直线经过A（1，0），B（4，）两点，则直线AB的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】先根据直线的斜率公式求出斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，求出倾斜角的值．‎ ‎【解答】解：若直线经过两点，则直线的斜率等于 =．‎ 设直线的倾斜角等于θ，则有tanθ=．‎ 再由 0≤θ＜π可得 θ=，即θ=30°，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】排列、组合的实际应用；等可能事件的概率．‎ ‎【分析】首先计算从5个数字中随机抽取3个数字的总情况数目，再分情况讨论其中各位数字之和等于9的三位数，计算其可能的情况数目，由古典概型的计算公式，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：从1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复），可以组成5×5×5=125个不同的三位数，‎ 其中各位数字之和等于9的三位数可分为以下情形：‎ ‎①由1，3，5三个数字组成的三位数：135，153，315，351，513，531共6个；‎ ‎②由1，4，4三个数字组成的三位数：144，414，441，共3个；‎ ‎③同理由2，3，4三个数字可以组成6个不同的三位数；‎ ‎④由2，2，5三个数字可以组成3个不同的三位数；‎ ‎⑤由3，3，3三个数字可以组成1个三位数，即333．‎ 故满足条件的三位数共有6+3+6+3+1=19，所求的概率为．‎ ‎　‎ ‎7．直线l经过A（2，1）、B（1，m2）（m∈R）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是（　　）‎ A．[0，π） B． C． D．‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】设直线AB的倾斜角为θ，0≤θ＜π，根据斜率的计算公式，可得AB的斜率为 K==1﹣m2，进而可得K的范围，由倾斜角与斜率的关系，可得tanθ≤1，进而由正切函数的图象分析可得答案．‎ ‎【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ，0≤θ＜π，‎ 根据斜率的计算公式，可得AB的斜率为 K==1﹣m2，‎ 易得k≤1，‎ 由倾斜角与斜率的关系，可得tanθ≤1，‎ 由正切函数的图象，可得θ的范围是，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．与直线x+y+3=0平行，且它们之间的距离为的直线方程为（　　）‎ A．x﹣y+8=0或x﹣y﹣1=0 B．x+y+8=0或x+y﹣1=0‎ C．x+y﹣3=0或x+y+3=0 D．x+y﹣3=0或x+y+9=0‎ ‎【考点】两条平行直线间的距离．‎ ‎【分析】设所求直线方程为x+y+m=0，运用两平行直线的距离公式，解关于m的方程，即可得到所求方程．‎ ‎【解答】解：设所求直线方程为x+y+m=0，‎ 则由两平行直线的距离公式可得d==3，‎ 解得m=9或﹣3．‎ 则所求直线方程为x+y﹣3=0或x+y+9=0，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．在区间[﹣，]上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】求出所有的基本事件构成的区间长度；通过解三角不等式求出事件“cos x的值介于0到”构成的区间长度，利用几何概型概率公式求出事件的概率．‎ ‎【解答】解：所有的基本事件构成的区间长度为 ‎∵解得或 ‎∴“cos x的值介于0到”包含的基本事件构成的区间长度为 由几何概型概率公式得 cos x的值介于0到之间的概率为P=‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．平行线3x+4y﹣9=0和6x+8y+2=0的距离是（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【考点】两条平行直线间的距离．‎ ‎【分析】先将两平行直线的方程的系数统一，再代入平行线间的距离公式计算即可．‎ ‎【解答】解：两平行直线的距离d===2．‎ 故选B ‎　‎ ‎11．过点P作圆（x+1）2+（y﹣2）2=1的切线，切点为M，若|PM|=|PO|（O为原点），则|PM|的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】由切线的性质可得|PM|2=|PC|2﹣|CM|2，又|PM|=|PO|，可得x0﹣2y0+2=0．动点P在直线x﹣2y+2=0上，|PM|的最小值就是|PO|的最小值，利用点到直线的距离公式求解即可．‎ ‎【解答】解：∵PM⊥CM，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2，又|PM|=|PO|，‎ ‎∴（x0+1）2+（y0﹣2）2﹣1=x02+y02，整理得：x0﹣2y0+2=0．‎ 即动点P在直线x﹣2y+2=0上，所以，|PM|的最小值就是|PO|的最小值，‎ 过点O作直线x﹣2y+2=0的垂线，垂足为P，|OP|==．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．直线l与圆x2+y2=1相切，并且在两坐标轴上的截距之和等于，则直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于（　　）‎ A． B． C．1或3 D．或 ‎【考点】圆的切线方程；直线的截距式方程．‎ ‎【分析】设出直线l与坐标轴的交点，表示出三边关系（勾股定理，面积相等，截距之和为），化简为三角形面积，即可．‎ ‎【解答】解：设直线分交x轴于A（a，0），y轴B（0，b），‎ 则|a|＞1，|b|＞1．‎ ‎∵截距之和等于，‎ ‎∴直线l的斜率大于0．‎ ‎∴ab＜0．‎ 令|AB|=c 则c2=a2+b2…①‎ ‎∵直线l与圆x2+y2=1相切，‎ ‎∴圆心（0，0）到直线AB的距离d=r=1．‎ 由面积可知c•1=|a•b|…②‎ ‎∵a+b=，‎ ‎∴（a+b）2=3…③‎ 由①②③可得（ab）2+2ab﹣3=0．‎ ab=﹣3或ab=1．‎ 又∵ab＜0，‎ ‎∴ab=﹣3‎ 于是直线l与两坐标轴围成的三角形的面积 ‎．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．过点（2，1）且与直线x+3y+4=0垂直的直线方程为　3x﹣y﹣5=0　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】由题意和垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式可得．‎ ‎【解答】解：∵直线x+3y+4=0的斜率为﹣，‎ ‎∴与直线x+3y+4=0垂直的直线斜率为3，‎ 故点斜式方程为y﹣1=3（x﹣2），‎ 化为一般式可得3x﹣y﹣5=0，‎ 故答案为：3x﹣y﹣5=0．‎ ‎　‎ ‎14．已知两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0平行，则a=　﹣1或2　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】分别化为斜截式，利用两条直线平行与斜率、截距之间的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0的分别化为：，y=﹣x﹣，‎ ‎∵l1∥l2，‎ ‎∴，，‎ 解得a=﹣1或2．‎ 故答案为：﹣1或2．‎ ‎　‎ ‎15．若圆x2+y2=4 与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0相外切，则实数m=　±3　．‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】先求出圆的圆心和半径，根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，求得m的值．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2=4 的圆心为（0，0）、半径为2；圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0，即（x﹣m）2+y2=1，表示圆心为（m，0）、半径等于1的圆．‎ 根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，即|m|=2+1=3，求得m=±3，‎ 故答案为：±3．‎ ‎　‎ ‎16．直线L：3x﹣y﹣6=0被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦AB的长为　　．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】将圆的方程化为标准方程从而确定圆心和半径．根据直线与圆截得的弦长公式求出弦AB的长．‎ ‎【解答】解：将圆的方程x2+y2﹣2x﹣4y=0化为标准方程，得 ‎（x﹣1）2+（y﹣2）2=5‎ ‎∴圆心坐标为（1，2），半径．‎ ‎∴圆心到直线的距离 ‎．‎ 弦AB的长 ‎|AB|=‎ ‎=2‎ ‎=2‎ ‎=‎ 故答案为 ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．求圆心在直线3x+y﹣5=0上，并且经过原点和点（4，0）的圆的方程．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】由直线和圆相交的性质可得，圆心在点O（0，0）和点A（4，0）的中垂线x=2上，再根据圆心在直线3x+y﹣5=0上，可得圆心C的坐标和半径r=|OC|的值，从而得到所求的圆的方程．‎ ‎【解答】解：由直线和圆相交的性质可得，圆心在点O（0，0）和点A（4，0）的中垂线x=2上，‎ 再根据圆心在直线3x+y﹣5=0上，可得圆心C的坐标为（2，﹣1），故半径r=|OC|=，‎ 故所求的圆的方程为 （x﹣2）2+（y+1）2=5．‎ ‎　‎ ‎18．（1）求经过点A（3，2），B（﹣2，0）的直线方程．‎ ‎（2）求过点P（﹣1，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程．‎ ‎【考点】直线的两点式方程；直线的截距式方程．‎ ‎【分析】（1）利用斜率计算公式可得，再由点斜式即可得出所求直线方程；‎ ‎（2）分类讨论：当直线的截距为0时，即可得出；当直线的截距不为0时，可设直线方程为x+y=m，将P（﹣1，3）代入可得m即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵，‎ ‎∴直线方程为，化为2x﹣5y+4=0．‎ ‎（2）当直线的截距为0时，直线方程为y=x，即y=﹣3x；‎ 当直线的截距不为0时，可设直线方程为x+y=m，‎ 将P（﹣1，3）代入可得m=2，‎ 因此所求直线方程为x+y=2．‎ 故所求直线方程为3x+y=0，或x+y﹣2=0．‎ ‎　‎ ‎19．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．‎ ‎（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；‎ ‎（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；‎ ‎（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．‎ ‎【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；‎ ‎（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；‎ ‎（3）当直线l的倾斜角为45°时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长．‎ ‎【解答】解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．‎ ‎（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y﹣2=（x﹣2），即x+2y﹣6=0．‎ ‎（3）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0．‎ 圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．‎ ‎　‎ ‎20．从一副扑克牌的红桃花色中取5张牌，点数分别为1，2，3，4，5．甲、乙两人玩一种游戏：甲先取一张牌，记下点数，放回后乙再取一张牌，记下点数．如果两个点数的和为偶数就算甲胜，否则算乙胜．‎ ‎（1）求甲胜且点数的和为6的事件发生的概率；‎ ‎（2）这种游戏规则公平吗？说明理由．‎ ‎【考点】等可能事件的概率．‎ ‎【分析】（1）设“甲胜且点数的和为6”为事件A，甲的点数为x，乙的点数为y，则（x，y）表示一个基本事件，列举两人取牌结果，可得A包含的基本事件数目，由古典概型的公式，计算可得答案；‎ ‎（2）根据题意，设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C；由列举法分别计算两人取胜的概率，比较可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）设“甲胜且点数的和为6”为事件A，甲的点数为x，乙的点数为y，‎ 则（x，y）表示一个基本事件，两人取牌结果包括（1，1），（1，2），（1，5），（2，1），（2，2），（5，4），（5，5）共25个基本事件；A包含的基本事件有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）共5个，所以P（A）=．‎ 所以，编号之和为6且甲胜的概率为．‎ ‎（2）根据题意，设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C；‎ 甲胜即两个点数的和为偶数，所包含基本事件数为以下13个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）；‎ 所以甲胜的概率为P（B）=；乙胜的概率为P（C）=1﹣，‎ ‎∵P（B）≠P（C），‎ ‎∴这种游戏规则不公平．‎ ‎　‎ ‎21．已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，直线l：（m+2）x+（2m+1）y=7m+8，‎ ‎（1）求证：直线l与圆C恒相交；‎ ‎（2）当m=1时，过圆C上点（0，3）作圆的切线l1交直线l于P点，Q为圆C上的动点，求|PQ|的取值范围．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；两点间的距离公式．‎ ‎【分析】通过求解直线系的两条直线的交点，判断点与圆的位置关系，即可得到结论．求出切线方程，然后求出P的坐标，通过圆心与P的距离，求出|PQ|的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）证明：由l得方程m（x+2y﹣7）+2x+y﹣8=0，‎ 故l恒过两直线x+2y﹣7=0以及2x+y﹣8=0的交点P（3，2），‎ 因为（3﹣2）2+（2﹣3）2=2＜4，即点P在圆的内部，‎ 所以直线与圆相交．‎ ‎（2）由题知过圆C上点（0，3）作圆的切线l1：x=0，‎ m=1时，l：x+y=5‎ 所以⇒P（0，5），而，‎ 所以 ‎　‎ ‎22．已知直线x﹣y+1=0与圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+m=0交于A，B两点；‎ ‎（1）求线段AB的垂直平分线的方程；‎ ‎（2）若|AB|=2，求m的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求过点P（4，4）的圆C的切线方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由题意，线段AB的垂直平分线经过圆的圆心（2，1），斜率为﹣1，可得线段AB的垂直平分线的方程．‎ ‎（2）利用|AB|=2，求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，从而可求m的值．‎ ‎（3）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，线段AB的垂直平分线经过圆的圆心（2，1），斜率为﹣1，‎ ‎∴方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0；‎ ‎（2）圆x2+y2﹣4x﹣2y+m=0可化为（x﹣2）2+（y﹣1）2=﹣m+5，‎ ‎∵|AB|=2，∴圆心到直线的距离为，‎ ‎∵圆心到直线的距离为d==，∴，∴m=1‎ ‎（3）由题意，知点P（4，4）不在圆上．‎ ‎①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣4=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+4=0．由圆心到切线的距离等于半径，得=2，‎ 解得k=，所以所求切线的方程为5x﹣12y+28=0‎ ‎②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为x=4‎ 综上，所求切线的方程为x=4或5x﹣12y+28=0．‎ ‎　‎