山东省泰安市中考数学试题及答案解析

山东省泰安市中考数学试题及答案解析

‎2012年山东省泰安市中考数学试卷 一．选择题 ‎1．（2012泰安）下列各数比﹣3小的数是（　　）‎ ‎　　A．0　　B．1　　C．﹣4　　D．﹣1‎ 考点：有理数大小比较。‎ 解答：解：根据两负数比较大小，其绝对值大的反而小，正数都大于负数，零大于一切负数，‎ ‎∴1＞﹣3，0＞﹣3，‎ ‎∵|﹣3|=3，|﹣1|=1，|﹣4|=4，‎ ‎∴比﹣3小的数是负数，是﹣4．‎ 故选C．‎ ‎2．（2012泰安）下列运算正确的是（　　）‎ ‎　　A． 　　B．　　C．　　D．‎ 考点：二次根式的性质与化简；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；负整数指数幂。‎ 解答：解：A、，所以A选项不正确；‎ B、，所以B选项正确；‎ C、，所以C选项不正确；‎ D、，所以D选项不正确．‎ 故选B．‎ ‎3．（2012泰安）如图所示的几何体的主视图是（　　）‎ ‎　　A．　　B．　　C．　　D．‎ 考点：简单组合体的三视图。‎ 解答：解：从正面看易得第一层有1个大长方形，第二层中间有一个小正方形．‎ 故选A．‎ ‎4．（2012泰安）已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数字用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　　A．千克　　B．千克　　C．千克　　D．千克 考点：科学记数法—表示较小的数。‎ 解答：解：0.000021=；‎ 故选：C．‎ ‎5．（2012泰安）从下列四张卡片中任取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是（　　）‎ ‎　　A．0　　B．　　C．　　D．‎ 考点：概率公式；中心对称图形。‎ 解答：解：∵在这一组图形中，中心对称图形只有最后一个，‎ ‎∴卡片上的图形是中心对称图形的概率是．‎ 故选D．‎ ‎6．（2012泰安）将不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（　　）‎ A．　　 B．‎ C．　　 D．‎ 考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。‎ 解答：解：，由①得，x＞3；由②得，x≤4，‎ 故其解集为：3＜x≤4．‎ 在数轴上表示为：‎ 故选C．‎ ‎7．（2012泰安）如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为（　　）‎ ‎　　A．53°　　B．37°　　C．47°　　D．123°‎ 考点：平行四边形的性质。‎ 解答：解：∵在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，‎ ‎∴∠E=90°，‎ ‎∵∠EAD=53°，‎ ‎∴∠EFA=90°﹣53°=37°，‎ ‎∴∠DFC=37‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠BCE=∠DFC=37°．‎ 故选B．‎ ‎8．（2012泰安）某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月约节水情况．见表：‎ 请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（　　）‎ ‎　　A．130m3　　B．135m3　　C．6.5m3　　D．260m3‎ 考点：用样本估计总体；加权平均数。‎ 解答：解：20名同学各自家庭一个月平均节约用水是：‎ ‎（0.2×2+0.25×4+0.3×6+04×7+0.5×1）÷20=0.325（m3），‎ 因此这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是：‎ ‎400×0.325=130（m3），‎ 故选A．‎ ‎9．（2012泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（　　）‎ ‎　　A．3　　B．3.5　　C．2.5　　D．2.8‎ 考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质。‎ 解答：解：∵EO是AC的垂直平分线，‎ ‎∴AE=CE，‎ 设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x，‎ 在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，‎ 即 ，‎ 解得，‎ 即CE的长为2.5．‎ 故选C．‎ ‎10．（2012泰安）二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则 的最大值为（　　）‎ ‎　　A．　　B．3　　C．　　D．9‎ 考点：抛物线与x轴的交点。‎ 解答：解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，‎ ‎∴a＞0.，即，‎ ‎∵一元二次方程有实数根，‎ ‎∴△=，即，即，解得，‎ ‎∴m的最大值为3．‎ 故选B．‎ ‎11．（2012泰安）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（　　）‎ ‎　　A．CM=DM　　B．　　C．∠ACD=∠ADC　　D．OM=MD 考点：垂径定理。‎ 解答：解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，‎ ‎∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；‎ B为的中点，即，选项B成立；‎ 在△ACM和△ADM中，‎ ‎∵AM=AM，∠AMC=∠AMD=90°，CM=DM，‎ ‎∴△ACM≌△ADM（SAS），‎ ‎∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；‎ 而OM与MD不一定相等，选项D不成立．‎ 故选D ‎12．（2012泰安）将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（　　）‎ ‎　　A．　　B．　　C．　　D．‎ 考点：二次函数图象与几何变换。‎ 解答：解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：；‎ 由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：．‎ 故选A．‎ ‎13．（2012泰安）如图，为测量某物体AB的高度，在在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（　　）‎ ‎　　A．米　　B．10米　　C．米　　D．米 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。‎ 解答：解：∵在直角三角形ADC中，∠D=30°，‎ ‎∴=tan30°‎ ‎∴BD==AB ‎∴在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，‎ ‎∴BC==AB ‎∵CD=20‎ ‎∴CD=BD﹣BC=AB﹣AB=20‎ 解得：AB=．‎ 故选A．‎ ‎14．（2012泰安）如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（　　）‎ ‎　　A．（，）　　B．（，）　　C．（2012泰安）　　D．（，）‎ 考点：坐标与图形变化-旋转；菱形的性质。‎ 解答：解：连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，‎ 根据题意得：∠BOB′=105°，‎ ‎∵四边形OABC是菱形，‎ ‎∴OA=AB，∠AOB=∠AOC=∠ABC=×120°=60°，‎ ‎∴△OAB是等边三角形，‎ ‎∴OB=OA=2，‎ ‎∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=105°﹣60°=45°，OB′=OB=2，‎ ‎∴OE=B′E=OB′•sin45°=，‎ ‎∴点B′的坐标为：（，）．‎ 故选A．‎ ‎15．（2012泰安）一个不透明的布袋中有分别标着数字1，2，3，4的四个乒乓球，现从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为（　　）‎ ‎　　A．　　B．　C．　　D．‎ 考点：列表法与树状图法。‎ 解答：解：列表得：‎ ‎∵共有12种等可能的结果，这两个乒乓球上的数字之和大于5的有4种情况，‎ ‎∴这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为：．‎ 故选B．‎ ‎16．（2012泰安）二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过（　　）‎ ‎　　A．第一、二、三象限　　B．第一、二、四象限　　C．第二、三、四象限　　D．第一、三、四象限 考点：二次函数的图象；一次函数的性质。‎ 解答：解：∵抛物线的顶点在第四象限，‎ ‎∴﹣m＞0，n＜0，‎ ‎∴m＜0，‎ ‎∴一次函数的图象经过二、三、四象限，‎ 故选C．‎ ‎17．（2012泰安）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（　　）‎ ‎　　A．9：4　　B．3：2　　C．4：3　　D．16：9‎ 考点：翻折变换（折叠问题）。‎ 解答：解：设BF=x，则CF=3﹣x，BF′=x，‎ 又点B′为CD的中点，‎ ‎∴B′C=1，‎ 在Rt△B′CF中，BF′2=B′C2+CF2，即，‎ 解得：，即可得CF=，‎ ‎∵∠DB′G=∠DGB=90°，∠DB′G+∠CB′F=90°，‎ ‎∴∠DGB=∠CB′F，‎ ‎∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′，‎ 根据面积比等于相似比的平方可得：==．‎ 故选D．‎ ‎18．（2012泰安）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则的长为（　　）‎ ‎　　A．π　　B．2π　　C．3π　　D．5π 考点：切线的性质；弧长的计算。‎ 解答：解：连接OB，‎ ‎∵AB与⊙O相切于点B，‎ ‎∴∠ABO=90°，‎ ‎∵∠ABC=120°，‎ ‎∴∠OBC=30°，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴∠OCB=30°，‎ ‎∴∠BOC=120°，‎ ‎∴的长为，‎ 故选B．‎ ‎19．（2012泰安）设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（　　）‎ ‎　　A．　　B．　　C．　　D．‎ 考点：二次函数图象上点的坐标特征。‎ 解答：解：∵函数的解析式是，如右图，‎ ‎∴对称轴是，‎ ‎∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），‎ 那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，‎ 于是．‎ 故选A．‎ ‎20．（2012泰安）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（　　）‎ ‎　　A．4　　B．3　　C．2　　D．1‎ 考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质。‎ 解答：解：连接DE并延长交AB于H，‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，‎ ‎∵E是AC中点，‎ ‎∴DE=EH，‎ ‎∴△DCE≌△HAE，‎ ‎∴DE=HE，DC=AH，‎ ‎∵F是BD中点，‎ ‎∴EF是三角形DHB的中位线，‎ ‎∴EF=BH，‎ ‎∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2，‎ ‎∴EF=1．‎ 故选D．‎ 二、填空题 ‎21．（2012泰安）分解因式：= ．‎ 考点：提公因式法与公式法的综合运用。‎ 解答：解：，‎ ‎=．‎ ‎22．（2012泰安）化简：= ．‎ 考点：分式的混合运算。‎ 解答：解：原式=‎ ‎=．‎ ‎23．（2012泰安）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为 ．‎ 考点：圆周角定理；勾股定理；垂径定理；锐角三角函数的定义。‎ 解答：解：连接AO并延长到圆上一点D，连接BD，‎ 可得AD为⊙O直径，故∠ABD=90°，‎ ‎∵半径为5的⊙O中，弦AB=6，则AD=10，‎ ‎∴BD=，‎ ‎∵∠D=∠C，‎ ‎∴cosC=cosD=，‎ 故答案为：．‎ ‎24．（2012泰安）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为 ．‎ 考点：点的坐标。‎ 解答：解：根据图形，到横坐标结束时，点的个数等于横坐标的平方，‎ 例如：横坐标为1的点结束，共有1个，1=12，‎ 横坐标为2的点结束，共有2个，4=22，‎ 横坐标为3的点结束，共有9个，9=32，‎ 横坐标为4的点结束，共有16个，16=42，‎ ‎…‎ 横坐标为n的点结束，共有n2个，‎ ‎∵452=2025，‎ ‎∴第2025个点是（45，0），‎ 第2012个点是（45，13），‎ 所以，第2012个点的横坐标为45．‎ 故答案为：45．‎ 三、解答题 ‎25．（2012泰安）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，△AOB的面积为1．‎ ‎（1）求一次函数与反比例的解析式；‎ ‎（2）直接写出当时，的解集．‎ 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。‎ 解答：解：（1）∵OB=2，△AOB的面积为1‎ ‎∴B（﹣2，0），OA=1，‎ ‎∴A（0，﹣1）‎ ‎∴ ，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 又∵OD=4，OD⊥x轴，‎ ‎∴C（﹣4，y），‎ 将代入得y=1，‎ ‎∴C（﹣4，1）‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎（2）当时，的解集是．‎ ‎26．（2012泰安）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．‎ ‎（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；‎ ‎（2）求证：BG2﹣GE2=EA2．‎ 考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。‎ 解答：证明：（1）∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，‎ ‎∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，‎ ‎∴DB=DC，∠ABE=∠DCA，‎ ‎∵在△DBH和△DCA中 ‎∵∠DBH=∠DCA，∠BDH=∠CDA，BD=CD，‎ ‎∴△DBH≌△DCA，‎ ‎∴BH=AC．‎ ‎（2）连接CG，‎ ‎∵F为BC的中点，DB=DC，‎ ‎∴DF垂直平分BC，‎ ‎∴BG=CG，‎ ‎∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，‎ ‎∴∠AEB=∠CEB，‎ 在△ABE和△CBE中 ‎∵∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠CBE=∠ABE，‎ ‎∴△ABE≌△CBE，‎ ‎∴EC=EA，‎ 在Rt△CGE中，由勾股定理得：BG2﹣GE2=EA2．‎ ‎27．（2012泰安）一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．‎ ‎（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？‎ ‎（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？‎ 考点：分式方程的应用；一元一次方程的应用。‎ 解答：解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天．‎ 根据题意，得，‎ 解得，‎ 经检验知是方程的解且符合题意．‎ ‎，‎ 故甲，乙两公司单独完成此项工程，各需20天，30天；‎ ‎（2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为（y﹣1500）元，‎ 根据题意得12（y+y﹣1500）=102000解得y=5000，‎ 甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20×5000=100000（元）；‎ 乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30×（5000﹣1500）=105000（元）；‎ 故甲公司的施工费较少．‎ ‎28．（2012泰安）如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为C，BG交AE于点H．‎ ‎（1）求证：△ABE∽△ECF；‎ ‎（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；‎ ‎（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形。‎ 解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ABE=∠ECF=90°．‎ ‎∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°．‎ ‎∴∠AEB+∠BEA=90°，‎ ‎∴∠BAE=∠CEF，‎ ‎∴△ABE∽△ECF；‎ ‎（2）△ABH∽△ECM．‎ 证明：∵BG⊥AC，‎ ‎∴∠ABG+∠BAG=90°，‎ ‎∴∠ABH=∠ECM，‎ 由（1）知，∠BAH=∠CEM，‎ ‎∴△ABH∽△ECM；‎ ‎（3）解：作MR⊥BC，垂足为R，‎ ‎∵AB=BE=EC=2，‎ ‎∴AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，‎ ‎∴∠MER=45°，CR=2MR，‎ ‎∴MR=ER=RC=，‎ ‎∴EM=．‎ ‎29．（2012泰安）如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线过A、B两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；‎ ‎（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 解答：解：（1）如答图1，连接OB．‎ ‎∵BC=2，OC=1‎ ‎∴OB=‎ ‎∴B（0，）‎ 将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式 得 ，解得： ，‎ ‎∴．‎ ‎（2）存在．‎ 如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P．‎ ‎∵B（0，），O（0，0），‎ ‎∴直线l的表达式为．代入抛物线的表达式，‎ 得；‎ 解得，‎ ‎∴P（）．‎ ‎（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H．‎ 设M（ ），‎ 则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB=（MH+OB）•OH+HA•MH﹣OA•OB ‎=‎ ‎= ‎ ‎∵，‎ ‎∴ ‎ ‎= ‎ ‎∴当时，取得最大值，最大值为．‎