2019届高考数学二轮复习第二篇通关攻略8函数与导数考题预测;精准猜押2
2.8.5 导数与不等式及参数范围问题
考题预测·精准猜押
一、选择题
1.定义在{x|x≠0}上的函数f(x)满足f(x)-f(-x)=0,f(x)的导函数为f′(x),且满足f(1)=0,当x>0时,xf′(x)<2f(x),则使得不等式f(x)>0的解集为( )
A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)
【解题导引】构造新函数g(x)=,结合题中条件求导得函数在(0,+∞)上单调递减,结合f(1)=0及函数为偶函数可解不等式.
【解析】选D.令g(x)=,则x>0时,g′(x)=<0,
g(x)在(0,+∞)上递减,由f(1)=0,知f(x)>0可得0
1在(-∞,0)∪(0,+∞)上恒成立,则实数k的取值范围为 ( )
A.(-∞,-e)∪
B.(-∞,-2e)∪
C.∪
D.∪
【解析】选A.依题意,
-x>1⇔>x+1⇔或
令f(x)=,则f′(x)===-
所以当x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,
当x∈(-1,0)时,f′(x)>0,
当x∈(0,2)时,f′(x)>0,
当x∈(2,+∞)时,f′(x)<0,
所以k>f(2)或k或k<-e.
3.已知函数f(x)=恰有3个零点,则实数a的取值范围为
( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.①x≤-2时,令m(x)=,m′(x)=<0恒成立,
所以m(x)在(-∞,-2]上单调递减,
其中m(-2)==-,
m(x)==-,
所以a∈时,f(x)在(-∞,-2]上有一个零点,其他情况没有零点;
②-2>sin ,由图可知,当a≤时,直线y=ax与曲线y=
tan 在[-3π,3π]上恒有三个交点.
所以“关于x的方程ax+axcos x-sin x=0与方程sin x=0在[-3π,3π]上根的个数相等”时,a≤.
故“a≤0”是“关于x的方程ax+axcos x-sin x=0与方程sin x=0在[-3π,
3π]上根的个数相等”的充分不必要条件.
二、填空题
5.已知a<,f(x)=x(ex-1-a)-2ex-1+4a,关于x的不等式f(x)<0有且只有两个整数解,则实数a的取值范围是________.
【解析】f(x)=x(ex-1-a)-2ex-1+4a<0,则(x-2)ex-10),在(-1,f(-1))处的切线方程为(e-1)x+ey+e-1=0.
(1)求a,b.
(2)若方程f(x)=m有两个实数根x1,x2,且x10矛盾,
故a=1,b=1.
(2)由(1)可知f(x)=(x+1)(ex-1), f(0)=0,f(-1)=0,
设f(x)在(-1,0)处的切线方程为h(x),
易得,h(x)=(x+1),令F(x)=f(x)-h(x),
即F(x)=(x+1)(ex-1)-(x+1),
F′(x)=(x+2)ex-,
当x≤-2时,F′(x)=(x+2)ex-<-<0,
当x>-2时,
设G(x)=F′(x)=(x+2)ex-,G′(x)=(x+3)ex>0,
故函数F′(x)在(-2,+∞)上单调递增,又F′(-1)=0,
所以当x∈(-∞,-1)时,F′(x)<0,当x∈(-1,+∞)时,F′(x)>0,
所以函数F(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增,
故F(x)≥F(-1)=0,f(x1)≥h(x1),
设h(x)=m的根为x′1,则x′1=-1+,
又函数h(x)单调递减,故h(x′1)=f(x1)≥h(x1),故x′1≤x1,
设y=f(x)在(0,0)处的切线方程为y=t(x),易得t(x)=x,
令T(x)=f(x)-t(x)=(x+1)(ex-1)-x,T′(x)=(x+2)ex-2,
当x≤-2时,T′(x)=(x+2)ex-2<-2<0,
当x>-2时,设H(x)=T′(x)=(x+2)ex-2,H′(x)=(x+3)ex,
故函数T′(x)在(-2,+∞)上单调递增,又T′(0)=0,
所以当x∈(-∞,0)时,T′(x)<0,当x∈(0,+∞)时,T′(x)>0,
所以函数T(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,
T(x)≥T(0)=0,f(x2)≥t(x2),
设t(x)=m的根为x′2,则x′2=m,
又函数t(x)单调递增,故t(x′2)=f(x2)≥t(x2),故x′2≥x2,又x′1≤x1,
x2-x1≤x′2-x′1=m-=1+.
