2020九年级数学下册 第二十八章应用举例

2020九年级数学下册 第二十八章应用举例

课时作业(二十)‎ ‎[28.2.2　第1课时　解直角三角形在实际中的一般应用]　　　　　　　　　 　　　　　　　 　‎ ‎ 一、选择题 ‎1．2017·益阳如图K－20－1，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(点A，D，B在同一条直线上)(　　)‎ 图K－20－1‎ A. B. C. D．h·cosα ‎2．2017·温州如图K－20－2，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶‎13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是(　　)‎ 图K－20－2‎ A．‎5米 B．‎‎6米 C．‎6.5米 D．‎‎12米 ‎3．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图K－20－3，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为‎1米，则旗杆PA的高度为(　　)‎ 7‎ 图K－20－3‎ A.米 B.米 C.米 D.米 ‎4．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图K－20－4所示的位置，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝135°，AB＝AE＝‎1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(栏杆宽度忽略不计，参考数据：≈1.4)(　　)‎ 图K－20－4‎ 图K－20－5‎ ‎5．在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图K－20－6所示，其中AB表示窗户，且AB＝‎2.82米，△BCD表示直角遮阳篷，已知当地一年中午时的太阳光与水平线CD的最小夹角α为18°，最大夹角β为66°，根据以上数据，计算出遮阳篷中CD的长约是(结果精确到‎0.1米，参考数据：sin18°≈0.31，tan18°≈0.32，sin66°≈0.91，tan66°≈2.25)(　　)‎ 图K－20－6‎ A．‎1.2米 B．‎1.5米 C．‎1.9米 D．‎‎2.5米 二、填空题 ‎6．如图K－20－7，为测量河宽AB(假设河的两岸平行)，在点C处测得∠ACB＝30°，在点D处测得∠ADB＝60°，且CD＝‎60 m，则河宽AB为________m(结果保留根号)．‎ 7‎ 图K－20－7‎ ‎7．某电动车厂新开发的一种电动车如图K－20－8所示，它的大灯A射出的光线AB，AC与地面MN所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面的距离为‎1 m，则该车大灯照亮地面的宽度BC约是________m．(不考虑其他因素，结果精确到‎0.1 m，参考数据：sin8°≈0.14，tan8°≈0.14，sin10°≈0.17，tan10°≈0.18)‎ 图K－20－8‎ ‎8．如图K－20－9，秋千链子的长度OA＝‎3 m，静止时秋千踏板处于A位置．此时踏板距离地面‎0.3 m，秋千向两边摆动．当踏板处于A′位置时，摆角最大，即∠AOA′＝50°，则踏板在A′位置时，与地面的距离约为________m．(sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，结果精确到‎0.01 m)‎ 图K－20－9‎ 三、解答题 ‎9．如图K－20－10是某小区的一个健身器材示意图，已知BC＝‎0.15 m，AB＝‎2.7 m，∠BOD＝70°，求端点A到底面CD的距离(精确到‎0.1 m)．‎ ‎(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75) 图K－20－10‎ ‎10．2017·安徽如图K－20－11，游客在点A处坐缆车出发，沿A—B—D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB＝BD＝‎600 m，α＝75°，β＝45°，求DE的长．‎ ‎(参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.41)‎ 图K－20－11‎ 7‎ ‎11．某广场的旗杆AB旁边有一个半圆的时钟模型，如图K－20－12所示，时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合，半圆的半径为‎2米，旗杆的底端A到钟面9点处刻度C的距离为‎5米．一天李华同学观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚好投到钟面11点的刻度上，同时测得‎1米长的标杆的影长为‎1.6米．‎ ‎(1)计算时钟的时针从9点转到11点时的旋转角是多少度；‎ ‎(2)求旗杆AB的高度(结果精确到‎0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732). 图K－20－12‎ ‎ 转化思想2017·凉山州如图K－20－13，若要在宽AD为‎20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长‎2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB的高应该设计为多少米(结果保留根号)?‎ 图K－20－13‎ 7‎ 详解详析 ‎[课堂达标]‎ ‎1．[解析] B　∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD.‎ 在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝，‎ ‎∴BC＝＝.‎ 故选B.‎ ‎2．A　3.A ‎4．[解析] B　如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于点H，‎ 则∠EHG＝∠HEF＝90°.‎ ‎∵∠AEF＝135°，‎ ‎∴∠AEH＝∠AEF－∠HEF＝45°，∠EAH＝45°.‎ 在△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝45°，AE＝1.3米，‎ ‎∴EH＝AE·sin∠EAH＝1.3×≈1.3×0.7＝0.91(米)．‎ ‎∵AB＝1.3米，‎ ‎∴AB＋EH≈1.3＋0.91＝2.21≈2.2(米)．‎ ‎5．[解析] B　设CD的长为x米，在Rt△BCD中，∠BDC＝α＝18°.‎ ‎∵tan∠BDC＝，‎ ‎∴BC＝CD·tan∠BDC≈0.32x.‎ 在Rt△ACD中，∠ADC＝β＝66°.‎ ‎∵tan∠ADC＝，‎ ‎∴AC＝CD·tan∠ADC≈2.25x.‎ ‎∵AB＝AC－BC，‎ ‎∴2.82≈2.25x－0.32x，解得x≈1.5.‎ ‎6．[答案] 30 ‎[解析] ∵∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，‎ ‎∴∠CAD＝30°，‎ ‎∴AD＝CD＝60 m.‎ 在Rt△ABD中，AB＝AD·sin∠ADB＝60×＝30 (m)．‎ ‎7．[答案] 1.6‎ ‎[解析] 过点A作AD⊥MN于点D，如图所示．‎ 由题意可得，AD＝1 m，∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝∠ADB＝90°，‎ ‎∴BD＝≈≈7.14(m)，‎ CD＝≈≈5.56(m)，‎ ‎∴BC＝BD－CD＝7.14－5.56≈1.6(m)．‎ ‎8．[答案] 1.37‎ ‎[解析] 如图，过点A′作A′D⊥OA于点D，A′C垂直地面于点C，延长OA交地面于点B，‎ 7‎ 则四边形BCA′D为矩形，‎ ‎∴A′C＝DB.‎ ‎∵∠AOA′＝50°，且OA＝OA′＝3 m，‎ ‎∴在Rt△OA′D中，OD＝OA′·cos∠AOA′≈3×0.643≈1.929(m)．‎ 又∵AB＝0.3 m，∴OB＝OA＋AB＝3.3 m，‎ ‎∴A′C＝DB＝OB－OD≈3.3－1.929≈1.37(m)．‎ ‎9．[解析] 过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥AE于点F，构造Rt△ABF，运用解直角三角形的知识求出AF，进而求出AE得出结果．‎ 解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥AE于点F，如图所示．‎ ‎∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，∴AE∥OD，∴∠A＝∠BOD＝70°.‎ 在Rt△ABF中，AB＝2.7 m，‎ ‎∴AF＝AB·cosA·2.7×cos70°≈2.7×0.34＝0.918(m)，‎ ‎∴AE＝AF＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1(m)．‎ 答：端点A到底面CD的距离约是1.1 m.‎ ‎10．[解析] 分别在Rt△ABC和Rt△BDF中，运用解直角三角形的知识求得BC和DF的近似值，再根据线段的和差求DE.‎ 解：在Rt△ABC中，∵cosα＝，‎ ‎∴BC＝AB·cosα≈600×0.26＝156(m)；‎ 在Rt△BDF中，∵sinβ＝，‎ ‎∴DF＝BD·sinβ＝600×＝300 ≈300×1.41＝423(m)．‎ 又EF＝BC，‎ ‎∴DE＝DF＋EF≈423＋156＝579(m)．‎ ‎11．解：(1)时钟的时针从9点转到11点转过2个大格，则旋转角的度数为2×30°＝60°.‎ ‎(2)如图，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，设半圆圆心为O，连接OD.‎ ‎∵点D在11点的刻度上，∴∠COD＝60°，‎ ‎∴DE＝OD·sin60°＝2×＝(米)，‎ OE＝OD·cos60°＝2×＝1(米)，‎ ‎∴CE＝2－1＝1(米)，‎ ‎∴DF＝AE＝5＋1＝6(米)．‎ ‎∵同时测得1米长的标杆的影长为1.6米，‎ ‎∴＝，‎ 7‎ ‎∴BF＝＝(米)，‎ ‎∴AB＝BF＋DE＝＋≈5.5(米)．‎ 答：旗杆AB的高度约为5.5米．‎ ‎[素养提升]‎ 解：如图，延长OC，AB交于点P.‎ ‎∵∠ABC＝120°，∴∠PBC＝60°.‎ ‎∵∠OCB＝90°，∴∠P＝30°.‎ ‎∵AD＝20米，∴OA＝AD＝10米．‎ ‎∵BC＝2米，‎ ‎∴在Rt△CPB中，PC＝BC·tan60°＝2 米，PB＝2BC＝4米．‎ ‎∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠A＝90°，‎ ‎∴△PCB∽△PAO，∴＝，‎ ‎∴PA＝＝＝10 (米)，‎ ‎∴AB＝PA－PB＝(10 －4)米．‎ 答：路灯的灯柱AB的高应该设计为(10 －4)米．‎ 7‎