高考理科数学二轮专项训练专题：13 不等式选讲

高考理科数学二轮专项训练专题：13 不等式选讲

专题13 不等式选讲 解答题 ‎1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分）‎ 已知．‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若时不等式成立，求的取值范围．‎ ‎【解析】(1)当时，，即 故不等式的解集为．‎ ‎(2)当时成立等价于当时成立．‎ 若，则当时；‎ 若，的解集为，所以，故．‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分）‎ 设函数．‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若，求的取值范围．‎ ‎【解析】(1)当时，‎ 可得的解集为．‎ ‎(2)等价于．‎ 而，且当时等号成立．故等价于．‎ 由可得或，所以的取值范围是．‎ ‎3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 设函数．‎ ‎(1)画出的图像；‎ ‎(2)当时，，求的最小值．‎ ‎【解析】(1)‎ 的图像如图所示．‎ ‎(2)由(1)知，的图像与轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5．‎ ‎4．(2018江苏)D．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)‎ 若，，为实数，且，求的最小值．‎ D．【证明】由柯西不等式，得．‎ 因为，所以，‎ 当且仅当时，不等式取等号，此时，‎ 所以的最小值为4．‎ ‎5．已知函数，．‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若不等式的解集包含，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1）当时，不等式等价于 ‎．①‎ 当时，①式化为，无解；‎ 当时，①式化为，从而；‎ 当时，①式化为，从而．‎ 所以的解集为．‎ ‎（2）当时，．‎ 所以的解集包含，等价于当时．‎ 又在的最小值必为与之一，‎ 所以且，得．‎ 所以的取值范围为．‎ ‎6．已知，，，证明：‎ ‎(1)；‎ ‎(2)．‎ ‎【解析】（1）‎ ‎（2）∵，‎ 所以，因此．‎ ‎7．已知函数．‎ ‎(1)求不等式的解集；‎ ‎(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1），‎ 当时，无解；‎ 当时，由得，，解得 当时，由解得．‎ 所以的解集为．‎ ‎（2）由得，而 且当时，．‎ 故m的取值范围为．‎ ‎8．已知，，，为实数，且，，‎ 证明．‎ ‎【解析】证明：由柯西不等式可得：，‎ 因为 所以，因此.‎ ‎9．已知函数．‎ ‎（I）在图中画出的图像；‎ ‎（II）求不等式的解集．‎ ‎【解析】(1)如图所示：‎ ‎(2) ，．‎ 当，，解得或，．‎ 当，，解得或，‎ 或，‎ 当，，解得或，或，‎ 综上，或或，‎ ‎，解集为．‎ ‎10．已知函数，M为不等式的解集．‎ ‎（I）求M；‎ ‎（II）证明：当a，时，．‎ ‎【解析】（I）当时，，若；‎ 当时，恒成立；‎ 当时，，若，．‎ 综上可得，．‎ ‎（Ⅱ）当时，有，‎ 即， ‎ 则，‎ 则，‎ 即，‎ ‎ 证毕．‎ ‎11．已知函数 ‎（Ⅰ）当a=2时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设函数，当时，，求a的取值范围．‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时，.‎ 解不等式，得.‎ 因此，的解集为.‎ ‎（Ⅱ）当时，‎ ‎，当时等号成立，‎ 所以当时，等价于. ① ‎ 当时，①等价于，无解.‎ 当时，①等价于，解得.‎ 所以的取值范围是.‎ ‎12．函数 ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若的最小值为，且实数满足，求证：‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】（1）①当时，不等式即为，解得 ‎②当时，不等式即为，‎ ‎③当时，不等式即为，‎ 综上，的解集为 ‎（2）由 当时，取最小值4，即，即 当且仅当时等号成立 ‎13．已知函数，.‎ ‎（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎（2）设实数为（1）中的最大值，若实数、、满足，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为对恒成立，则，‎ 由绝对值三角不等式可得，即，解得.‎ 故实数的取值范围是；‎ ‎（2）由题意，故，‎ 由柯西不等式知，‎ ‎，‎ 所以，当且仅当时等号成立 从而，最小值为，当且仅当，，时等号成立.‎ ‎14.已知，且、、都是正数.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 ‎【解析】（1）证明：由已知得，‎ ‎，‎ 又，，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）证明：由已知得，‎ ‎∴‎ ‎.‎