福建省龙岩市2020届高三毕业班5月教学质量检查数学（文科）试题

福建省龙岩市2020届高三毕业班5月教学质量检查数学（文科）试题

龙岩市2020年高中毕业班教学质量检查 数学（文科）试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．设，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知，且，则 A． B． C． D．‎ ‎4．设x，y满足约束条件则的最小值为 A．5 B．2 C． D．‎ ‎5．某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力（指标值满分为5分，分值高者为优），分别绘制了如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述错误的是 A．甲的六大能力中推理能力最差 B．甲的创造力优于观察能力 C．乙的计算能力优于甲的计算能力 D．乙的六大能力整体水平低于甲 ‎6．在正方体中，E为的中点，F为BD的中点，下列结论正确的是 A． B．‎ C．平面 D．EF⊥平面 ‎7．已知函数的图象，如图所示，那么的值为 A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎8．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中满足被3除余2且被5除余3的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是 A．135 B．134 C．59 D．58‎ ‎9．设，，，则a，b，c的大小关系为 A． B． C． D．‎ ‎10．已知双曲线左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点．若 为等边三角形，则C的渐近线方程为 A． B．‎ C．或 D．或 ‎11．在正四面体PABC中，点D，E分别在线段PC，PB上，，若的最小值为，则该正四面体外接球的表面积为 A．27π B．54π C． D．‎ ‎12．已知曲线与的图象关于点对称，若直线与曲线相切，则 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．已知向量，，若，，则___________．‎ ‎14．为增强学生的劳动意识，某校组织两个班级的学生参加社区劳动，这两个班级拟从高一年段的两个班级和高二年段的四个班级中选出，则选出的班级中至少有一个班级来自高一年段的概率为______________．‎ ‎15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则_______，的最大值为_______．‎ ‎16．已知椭圆的左焦点为F，经过原点的直线与C交于A，B两点，若，则C的离心率的取值范围为______________．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． ‎ ‎17．（12分）记数列的前n项和为，已知，．（1）求数列的通项公式;‎ ‎（2）设，记数列的前n项和为，求证：．‎ ‎18．（12分）在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的共同努力，新冠肺炎疫情得到了有效控制．作为集中医学观察隔离点的某酒店在疫情期间，为客人提供两种速食品—“方便面”和“自热米饭”．为调查这两种速食品的受欢迎程度，酒店部门经理记录了连续10天这两种速食品的销售量，得到如下频数分布表（其中销售量单位：盒）：‎ 第天 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 方便面 ‎103‎ ‎93‎ ‎98‎ ‎93‎ ‎106‎ ‎86‎ ‎87‎ ‎94‎ ‎91‎ ‎99‎ 自热米饭 ‎88‎ ‎96‎ ‎98‎ ‎97‎ ‎101‎ ‎99‎ ‎102‎ ‎107‎ ‎104‎ ‎112‎ ‎（1）根据两组数据完成下面的茎叶图（填到答题卡上）;‎ ‎（2）根据统计学知识，你认为哪种速食品更受欢迎，并简要说明理由;（3）求自热米饭销售量y关于天数t的线性回归方程，并预估第12天自热米饭的销售量（结果精确到整数）．‎ 参考数据：，．‎ 附：回归直线方程，其中，．‎ ‎19．（12分）在如图所示的几何体ABCDE中，平面ABC，，，F是线段AD的中点，．（1）求证：；（2）若，求三棱锥的体积．‎ ‎20．（12分）已知点，抛物线上存在一点M，使得直线AM的斜率的最大值为1，圆Q的方程为．（1）求点M的坐标和C的方程;（2）若直线l交C于D，E两点且直线MD，ME都与圆Q相切，证明直线l与圆Q相离．‎ ‎21．（12分）已知函数．（1）若，求的取值范围;（2）若存在唯一的极小值点，求的取值范围，并证明．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22．23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分．‎ ‎22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy中，直线l过点且倾斜角为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，l与C交于M，N两点．（1）求C的直角坐标方程和的取值范围;（2）求MN中点H的轨迹的参数方程．‎ ‎23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）‎ 已知函数，且的最大值为3．‎ ‎（1）求m的值;‎ ‎（2）若正数a，b，c满足，证明：．‎ 龙岩市2020年高中毕业班教学质量检查 数学（文科）参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C C D B D C A B C B D ‎12．【简解】由已知得，，‎ 设切点为，则，得，选D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．；‎ ‎14．；‎ ‎15．5，；‎ ‎6．‎ ‎16．【简解】如图，设椭圆的右焦点为，连接，‎ ‎∵AB，互相平分，∴四边形为平行四边形 ‎∴，‎ ‎∵，∴‎ 由条件知，当B在短轴端点时，最大，‎ 此时在中，，‎ ‎∴e，‎ ‎∴，即．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎17．（12分）‎ 解：（1）（法一）‎ ‎∵，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴，即，‎ ‎∴‎ 又也满足上式，‎ ‎∴．‎ ‎（法二）∵，即，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴是以为首项的常数列，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎．‎ ‎∴，即．‎ ‎18．（12分）‎ 解：（1）茎叶图如下：‎ ‎（2）解法一：由（1）中的茎叶图可知，自热米饭的销售量较方便面更高，两种速食品的销售量波动情况相当，所以认为自热米饭更受欢迎．‎ 解法二：方便面的销售量平均值为，‎ 自热米饭的销售量平均值为，‎ 所以自热米饭的销售量平均值比方便面销售量平均值更高，因此认为自热米饭更受欢迎．‎ ‎（注：本小题只需根据统计学知识参照给分）‎ ‎（3）计算，‎ 又，，‎ ‎∴，‎ ‎．‎ 因此自热米饭销售量y关于天数t的线性回归方程为．‎ 当时，（个），‎ 所以预估第12天自热米饭的销售量为113个．‎ ‎19．（12分）‎ 证明：（1）∵，F是线段AD的中点，∴．‎ 又，，∴平面ADE，‎ ‎∴，又，∴，‎ ‎∵平面ABC，∴，‎ 又∵，∴平面ACD，‎ ‎∵平面ACD，∴．‎ ‎（2）∵，，，‎ 又∵，‎ ‎∴B，C，D，E四点共面，‎ ‎∴平面BDE，‎ ‎∵，F为线段AD的中点 ‎∴‎ ‎．‎ ‎20．（12分）‎ 解：（1）（法一）设，则，‎ 由已知可得，直线AM的斜率为 当且仅当时，取得最大值1．‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴，C的方程为．‎ 法二：设，则点M在x轴上方 由已知，当直线AM的斜率为1时，直线AM与抛物线C相切 此时直线AM的方程为，‎ 联立直线AM和抛物线C的方程并整理得 ‎，∴，‎ 解得：，且 ‎∴，C的方程为．‎ ‎（2）（法一）圆Q的方程可化为 圆Q的圆心为，半径为，‎ 设过点M的直线MA或MB的方程为 化为，则，解得．‎ 不妨设直线MD的方程为，‎ 将直线MD与抛物线方程联立 消去x得．‎ 设，则 ‎∴，‎ 同理设，．‎ ‎∴，‎ ‎∴直线l的斜率 ‎∴直线l的方程为，即 ‎∴l的方程，‎ 此时圆心Q到直线l的距离 ‎∴直线l与圆Q相离．……12分 ‎（法二）圆Q的方程可化为．‎ 圆心，半径为．‎ 由题知，直线l的斜率必存在，‎ 设l的方程为．‎ 联立，消去x得 由，得，①‎ 设 则，，②‎ 直线MD的斜率为 直线MD的方程式为，‎ 即 ‎∵MD与圆Q相切，∴‎ ‎∴，∴‎ 由题知：，‎ 或，‎ 代入②得，‎ ‎∴，满足①式，‎ ‎∴直线l得方程为，即．‎ 此时圆心Q到直线l的距离．‎ ‎∴直线l与圆Q相离．‎ ‎21．（12分）‎ ‎（1）的定义域为．‎ 由，得在恒成立，‎ 转化为 令，则，‎ ‎∴在单调递增，在单调递减，‎ ‎∴的最大值为，∴．‎ ‎∴的取值范围是．‎ ‎（2）设，则，，．‎ ‎①当时，恒成立，在单调递增，‎ 又，‎ 所以存在唯一零点．‎ 当时，，‎ 当时，．‎ 所以存在唯一的极小值点．‎ ‎②当时，，在单调递增，，‎ 所以在有唯一零点．‎ 当时，，‎ 当时，．‎ 所以存在唯一的极小值点．‎ ‎③当时，令，得;‎ 令，得，‎ ‎∴在单调递增，在单调递减，‎ 所以的最大值为 ‎④当时，，，，‎ ‎（或用）‎ 由函数零点存在定理知：‎ 在区间，分别有一个零点，‎ 当时，;‎ 当时，;‎ 所以存在唯一的极小值点，极大值点．‎ ‎⑤当时，，‎ 所以在单调递减，无极值点．‎ 由①②④可知，当时，;‎ 所以在单调递减，单调递增．‎ 所以．‎ 由，得．‎ 所以 ‎，‎ 因为，，‎ 所以，‎ 所以，即;‎ 所以．‎ ‎22．（10分）‎ 解：（1）C的直角坐标方程为，‎ 即，是以原点为圆心的单位圆 当时，显然直线l与曲线C相离，不合题意．‎ ‎∴，所以直线l的斜率存在．‎ ‎∴直线l的方程可写为 ‎∵直线l与曲线C交于M，N两点，‎ ‎∴圆心O到直线l的距离，‎ 解得 ‎∴或．‎ ‎（2）（法一）直线l的参数方程为 ‎（t为参数，或）‎ 设M，N，H对应的参数分别为，，，则，‎ 将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：‎ ‎∴，∴，‎ 又点H的坐标满足，‎ ‎（t为参数，或）‎ ‎∴点H的轨迹的参数方程为 即（为参数，或）‎ ‎（法二）‎ 设点，则由可知，‎ 当时有 即，整理得 当时，点H与原点重合，也满足上式．‎ ‎∴点H的轨迹的参数方程为 ‎（为参数，且或）.‎ ‎23．（10分）‎ ‎（1）解：‎ 当时，取得最大值，‎ ‎∵的最大值为3，‎ ‎∴，解得．‎ ‎（2）证明：由（1）得，‎ ‎∴，即 又a，b，c为正数，‎ 且 ‎（当且仅当时等号成立）‎ ‎∴．‎