高考数学试题文理科

高考数学试题文理科

一九八一年（理科）‎ 一．（本题满分6分）‎ 设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A∪B, 2.A∩B.‎ 解：1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ。‎ 二．（本题满分6分）‎ 在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果。‎ 解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：‎ AB、AC、AD、BC、BD、CD、‎ BA、CA、DA、CB、DB、DC。‎ ‎2.选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：‎ ABC、ABD、ACD、BCD。‎ 三．（本题满分8分）‎ 下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是。‎ A B A是B的什么条件 ‎1‎ 四边形ABCD为平行四边形 四边形ABCD为矩形 必要条件 ‎2‎ a=3‎ ‎|a|=3‎ 充分条件 ‎3‎ θ=1500‎ sinθ=‎ 充分条件 ‎4‎ 点（a,b)在圆x2+y2=R2上 a2+b2=R2‎ 充要条件 解：见上表。‎ 四．（本题满分8分）‎ 写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明。‎ 证二：解析法：以A为原点，射线AB为x轴正向，建立直角坐标系，则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).‎ ‎ Y ‎ ‎ C ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ b a ‎ ‎ ‎ ‎ A O c B X ‎ 由两点距离公式得：‎ a2=|BC|2=(c-bcosA)2+(-bsinA)2‎ ‎=b2+c2-2bccosA.‎ 五．（本题满分10分）‎ 解不等式（x为未知数）：‎ 解：右式=x2(x-a-b-c)>0‎ 原不等式解是x≠0,x>a+b+c。‎ 六．（本题满分10分）‎ 用数学归纳法证明等式 对一切自然数n都成立。‎ 证：略。‎ 七．（本题满分15分）‎ 设1980年底我国人口以10亿计算。‎ ‎（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？‎ ‎（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？‎ 下列对数值可供选用：‎ lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417‎ lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720‎ lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060‎ 解：1.所求人口数x（亿）是等比数列 ‎10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即 x=10×（1.02）20,‎ 两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,‎ ‎∴x=14.859（亿)‎ ‎2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得 ‎10×（1+y%)20≤12，‎ ‎（1+y%)20≤1.2.‎ 根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得 ‎20lg(1+y%)≤lg1.2.‎ 即 lg(1+y%)≤0.00396.‎ ‎∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.‎ 答：略。‎ 八．（本题满分17分）‎ 在1200的二面角P-a-Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B。已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段AB=10，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ P 1200 ‎ ‎ Q ‎ ‎ E B ‎ ‎ A ‎ ‎ ‎ ‎ F D C ‎ ‎1．求直线AB和棱a所成的角;‎ ‎2．求直线AB和平面Q所成的角。‎ 解：1.在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内，作直线BE⊥a于点E，‎ 从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C。‎ ‎∴∠ABC等于AB和a所成的角。‎ ‎∠ADC为两面角P-a-Q的平面角，‎ ‎∴∠ADC=1200。又AD=2，BCDE为矩形，∴CD=BE=4。‎ 连接AC，由余弦定理得 又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面。再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面，∴BC⊥AC。‎ 在直角△ABC中，‎ ‎2．在△ACD所在的平面内，作AF⊥CD交CD的延长线于点F。‎ 因为△ACD所在的平面⊥平面Q，∴AF⊥平面Q。‎ 在△ADF中，∠ADF=600，AD=2，∴AF=‎ 连结BF，于是∠ABF是AB和平面Q所成的角，而△ABF为直角三角形，所以 九．（本题满分17分）‎ 给定双曲线 ‎1．过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程。‎ ‎2．过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m 如果存在，求出它的方程;如果不存在，说明理由。‎ 解：设直线L的方程为 y=k(x-2)+1, (1)‎ 将（1）式代入双曲线方程，得：‎ 又设P1（x1,y1),P2(x2,y2),则x1,x2必须是（2）的两个实根，所以有 按题意，‎ 因为在直线（1）上，所以 再由的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为 这就是所求的轨迹方程。‎ ‎2．设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程，整理得 设必须是（3）的两个实根，即 如果B是Q1Q2的中点，就有，即，所以有综合起来，k应满足 由第二式解出k=2，但k=2不满足第一式，所以（I)无解。‎ 故满足题设中条件的直线不存在。‎ 十．（附加题，本题满分20分，计入总分）‎ 已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF，其边长为1（如图）设AC=a，BC=b，作数列u1=a-b，u2=a2-ab+b2, u3=a3-a2b+ab2-b3,…………，uk=ak-ak-1b+ak-2b2-……+(-1)kbk;‎ 求证：un=un-1+un-2(n≥3)‎ 证：通项公式可写成 uk=ak-ak-1b+ak-2b2-……+(-1)kbk=‎ ‎ E D ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A B ‎ ‎ F O C ‎ 因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,‎ ab=AC·BC=CD2=1。‎ 一九八一年（文科）‎ 一．（本题满分6分）‎ 设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A∪B, 2.A∩B.‎ 解：1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ。‎ 二．（本题满分8分）‎ 化简：‎ 解：原式=。‎ 三．（本题满分6分）‎ 在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果。‎ 解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：‎ AB、AC、AD、BC、BD、CD、‎ BA、CA、DA、CB、DB、DC。‎ ‎2.选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：‎ ABC、ABD、ACD、BCD。‎ 四．（本题满分10分）‎ 求函数f(x)=sinx+cosx在区间（-π，π）上的最大值。‎ 解：‎ 五．（本题满分10分）‎ 写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明。‎ 答：‎ ‎ ‎ B ‎ ‎ a ‎ ‎ D ‎ ‎ c ‎ ‎ E A C ‎ ‎ b 证：引AD垂直BC于D;引BE垂直CA的延长线于E。‎ 设△ABC的面积为S，则 将上式除以得：‎ 六．（本题满10分）‎ 已知正方形ABCD的相对顶点A（0，-1）和C（2，5），求顶点B和D的坐标。‎ 解：设AC中点为M（x,y）,则有 又设AC斜率为k，则k=3。因此得BD的斜率为。‎ 故有直线BD的方程：‎ 又以M点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为 解方程（1）、（2）得B、D的坐标为（4，1）及（-2，3）。‎ ‎（注：用复数法解亦可。）‎ 七．（本题满分17分）‎ 设1980年底我国人口以10亿计算。‎ ‎（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？‎ ‎（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？‎ 下列对数值可供选用：‎ lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417‎ lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720‎ lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060‎ 解：1.所求人口数x（亿）是等比数列 ‎10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即 x=10×（1.02）20,‎ 两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,‎ ‎∴x=14.859（亿)‎ ‎2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得 ‎10×（1+y%)20≤12，‎ ‎（1+y%)20≤1.2.‎ 根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得 ‎20lg(1+y%)≤lg1.2.‎ 即 lg(1+y%)≤0.00396.‎ ‎∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.‎ 答：略。‎ 八．（本题满分15分）‎ ABCD-A1B1C1D1为一正四棱柱，过A、C、B1三点作一截面，求证：‎ 截面ACB1⊥对角面DBB1D1。‎ ‎ D1 C1 ‎ ‎ ‎ A1 B1 ‎ ‎ D C ‎ ‎ O ‎ ‎ A B 证：设AC、BD交于O点。‎ 作截面ACB1、对角面BB1D1D以及它们的交线OB1的图形。由于AC1是正四棱柱，所以ABCD是正方形，故AC⊥BD;又BB1⊥底面ABCD，故BB1⊥AC。∴AC⊥对角面BB1D1D。‎ 已知AC在截面ACB1内，故有 截面ACB1⊥对角面BB1D1D。‎ 九．（本题满分18分）‎ ‎1．设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为，求k的值。‎ ‎2．以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形。当这三角形的面积为9时，求P的坐标。‎ ‎ ‎ ‎ Y y=2x+k ‎ ‎ ‎ ‎ P2 y2=4x ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ O X ‎ ‎ P1 ‎ 解：设直线与抛物线的交点为 P1（x1,y1),P2(x2,y2).解方程组：‎ ‎2．设x轴上一点P的坐标为（,0）又点P到直线P1P2的距离为h，则有。‎ 依题意得△PP1P2的面积关系：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎