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文档介绍
2019-2020学年黑龙江省大庆实验中学高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年黑龙江省大庆实验中学高二上学期期末考试数学(理)试题 一、单选题 1.在空间直角坐标系中,点到原点的距离为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据空间中两点间的距离公式求解. 【详解】 故选:B 【点睛】 本题主要考查了空间中两点间的距离公式,还考查了运算求解的能力,属于基础题. 2.已知,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据导数公式及法则求解. 【详解】 因为, 所以. 故选:A 【点睛】 本题主要考查了导数的求法,还考查了运算求解的能力,属于基础题. 3.在空间直角坐标系中,点关于轴的对称点为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据空间点的对称性求解. 【详解】 在空间直角坐标系中,点关于轴的对称,把x变为-x,z变为-z,y不变, 所以点关于轴的对称点为 故选:C 【点睛】 本题主要考查了空间中两点间的对称,还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力,属于基础题. 4.已知命题,﹔命题,,则下列命题为真命题的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】先判断命题,命题的真假,再利用复合命题的结论判断. 【详解】 由指数函数的值域知,命题是真命题, 因为 ,所以,命题是假命题,则 是真命题, 所以是真命题. 故选:C 【点睛】 本题主要考查了命题的真假判断,还考查了理解辨析的能力,属于基础题. 5.已知x1,x2∈R,则“且”是“且”的( ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】利用不等式的性质以及举反例即可得到答案. 【详解】 由“且”,则“且”,故充分性满足; 反之,若“且”,取,显然成立, 但并不满足“且”,故不满足必要性. 故选:A 【点睛】 本题考查了充分条件、必要条件的定义,同时考查了不等式的性质,属于基础题. 6.曲线和围成的封闭面积是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据题意画出直线与曲线所围成的封闭图形 ,利用定积分求出面积. 【详解】 直线与曲线所围成的封闭图形如图阴影部分, 两个交点坐标分别为 ,其面积为: 故选:A 【点睛】 本题主要考查了利用定积分求曲边梯形的面积,还考查了数形结合的思想方法和运算求解的能力,属于基础题. 7.已知空间向量,,若,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据,则求解 【详解】 因为向量,, 又因为, 所以. 解得=. 故选:B 【点睛】 本题主要考查了向量的数量积运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题. 8.命题“∀x∈R,x2﹣4x+20”的否定是( ) A.∃x0∈R,x02﹣4x0+20 B.∃x0∈R,x02﹣4x0+2<0 C.∀x∈R,x2﹣4x+2<0 D.∀x∈R,x2﹣4x+20 【答案】B 【解析】利用全称命题的否定变换形式即可求解. 【详解】 由命题“∀x∈R,x2﹣4x+20”, 则命题的否定为:∃x0∈R,x02﹣4x0+2<0 故选:B 【点睛】 本题主要考查了全称命题的否定,需掌握全称命题的否定变换形式,属于基础题. 9.如图所示,在正方体中,是的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】先建立空间直角坐标系,求得相应点的坐标,从而得到相应向量的坐标,再利用线线角的向量法求解. 【详解】 以D为原点,分别以DA,DC,DD1,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设AB=1 则B(1,1,0),C(0,1,0),M( ,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1), 所以,与, 设异面直线与所成角为 , . 故选:A 【点睛】 本题主要考查了异面直线所成的角,还考查了运算求解的能力,属于基础题. 10.已知双曲线的标准方程为,过双曲线的左焦点作斜率为的直线,恰好与圆相切,则双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】先通过焦点设出直线方程,再利用直线恰好与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】 设左焦点为 , 则直线方程 , 即 , 因为直线恰好与圆相切, 所以圆心到直线的距离等于半径, 即 , 所以 , 所以 . 所以双曲线的渐近线方程为 故选:D 【点睛】 本题主要考查了双曲线的几何性质和直线与圆的位置关系,还考查了运算求解的能力,属于基础题. 11.函数,当时,恒成立,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】将当时,恒成立,转化为 时恒成立,再令,用导数法求最小值即可. 【详解】 因为函数,当时,恒成立, 所以 时,恒成立, 令, , 当 时,,当 时,, 所以当时取得最小值e. 所以. 故选:C 【点睛】 本题主要考查了不等式恒成立问题,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题. 12.椭圆与双曲线的焦点相同,,分别为左焦点和右焦点,椭圆和双曲线在第一象限的交点为,若,椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,则下列选项中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】先根据椭圆与双曲线的定义求得,再在中,利用余弦定理,化简变形求解. 【详解】 设 , 根据题意, , 解得 , 在中,设 , 由余弦定理得 , 所以, , , , 所以. 故选:B 【点睛】 本题主要考查了椭圆与双曲线的定义和余弦定理,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题. 二、填空题 13.抛物线的准线方程是___________________. 【答案】 【解析】将化成抛物线的标准方程,利用抛物线的性质求解即可. 【详解】 由得:,所以,即: 所以抛物线的准线方程为:. 【点睛】 本题主要考查了抛物线的简单性质,属于基础题. 14.已知,满足线性约束条件,则的最小值为________. 【答案】; 【解析】根据约束条件画出可行域,平移目标函数所在的直线,找到最优点,将最优点的坐标代入目标函数求解. 【详解】 根据约束条件画出可行域,如图所示: 平移目标函数所在的直线,最优点A( ),所以 故答案为:1 【点睛】 本题主要考查了线性规划,还考查了数形结合的思想方法和运算求解的能力,属于基础题. 15.计算__________. 【答案】 【解析】分析:根据定积分的几何意义,将定积分化为两个区域的面积求解. 详解:令,可得,表示以原点为圆心,半径为2的圆的上半部分. 结合图形可得所求定积分为和扇形的面积之和(如图),且中,,扇形中,. 故. 点睛:求定积分的方法有两种,一是根据微积分基本定理求解;二是根据定积分的几何意义求解,特别是对于被积函数中含有根号形式的定积分,一般要根据几何意义转化为图形的面积求解. 16.已知函数,且对于任意的,,,恒成立,则的取值范围是________. 【答案】 【解析】先求导,确定函数的单调性,然后不妨设,且 ,将恒成立,去绝对值转化为恒成立,令,转化为是减函数,通过 恒成立求解. 【详解】 因为函数, 所以, 因为, 所以 , 所以, 所以在是增函数, 不妨设,且 , 因为恒成立, 所以恒成立, 所以恒成立, 令, 因为是减函数, 所以,恒成立, 所以恒成立, 因为 所以. 故答案为: 【点睛】 本题主要考查了导数法研究不等式恒成立问题,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题. 三、解答题 17.已知函数. (1)求函数的单调区间; (2)当时,求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)单调递增区间是和;单调递减区间是(2)最大值为,最小值为. 【解析】(1)先求导,,则的解集对应的是增区间,的解集对应的是减区间. (2)根据(1)知,当时,,当时,,当时,,求出极值点,再加上端点值,其中最大的为最大值,最小的为最小值. 【详解】 (1), 当或时,,当时,, 所以函数单调递增区间是和, 函数单调递减区间是. (2)由(1)知,当时,, 当时,,当时,, 所以,,,, 当时,函数的最大值为,当时,函数的最小值为. 【点睛】 本题主要考查了导数法研究函数的单调性与最值问题,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题. 18.(1)证明不等式. (2)证明:当时,不等式恒成立. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】(1)构造函数,若证不等式成立,则 ,用导数法求的最小值即可. (2)构造函数,若证时,不等式恒成立,则,用导数法求最小值即可. 【详解】 (1)因为不等式成立, 所以成立, 令, 所以, 当时,,当时,, 所以是函数的极小值点, 即, 所以. (2)要证时,不等式恒成立, 只需时,不等式恒成立, 令, , 由(1)可知,, 所以函数在单调递增, 即, 所以. 【点睛】 本题主要考查了导数法证明不等式,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题. 19.已知抛物线上一点到焦点的距离. (1)求抛物线的标准方程; (2)过点的直线交抛物线与,两点,在轴上是否存在定点(异于点),使得,如果存在,请求出定点的坐标,如果不存在请说明理由. 【答案】(1)(2)存在, 【解析】(1)根据,求得,得到点,再代入抛物线方程求解. (2)设过点的直线方程为,与联立抛物线得:,设点,,,根据,则两直线的斜率互为相反数,即,再由求解. 【详解】 (1)因为, 所以,点, 代入抛物线方程得,, 解得, 所以抛物线方程是. (2)设过点的直线方程为, 与抛物线方程联立得:, ,, 设点,,, ,, 因为, 所以, 即, , 所以, 所以, 由于具有任意性,所以,即. 【点睛】 本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题. 20.如图所示在四棱锥中,下底面为正方形,平面平面,为以为斜边的等腰直角三角形,,若点是线段上的中点. (1)证明平面. (2)求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】(1)根据为的中点,为的中点,有,再根据线面平行的判定理证明. (2)取中点,由平面平面,得平面,即,,俩俩垂直,以,,为,,轴建立空间直角坐标系,分别求得平面的一个法向量,平面的一个法向量,再利用面面角的向量法求解. 【详解】 (1)连结,相交于点,连结,, 为的中点,为的中点, 所以, 又因为平面,平面, 所以平面. (2)取中点,中点,连结,,,,因为平面平面,所以平面, 即,,两两垂直. 以,,为,,轴建立空间直角坐标系如图所示: ,,,, ,, 设平面的法向量为, 则,即, 令z1=1,, ,, 设平面的法向量为, 则,即, 令z2=1, 所以. 二面角的平面角的余弦值为. 【点睛】 本题主要考查了线面平行的判定定理,二面角的求法,还考查了数形结合、转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题. 21.已知函数. (1)求函数的最小值; (2)若恒成立,求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)先求导,再求极小值点,从而求得最小值. (2)先将恒成立,转化为,恒成立,令,用导数法求的最大值即可. 【详解】 (1)因为. 所以, 当时,,函数单调递减, 当时,函数单调递增, 所以当时,函数取得最小值为. (2)因为恒成立, 所以, 恒成立, 所以,恒成立, 令, , 令, , 当时,,当时, 所以当时,取得最大值, 所以, 所以当时,,函数单调递增, 当时,函数单调递减, 所以当为函数取得最大值, 所以, 所以取值范围是. 【点睛】 本题主要考查了导数法求函数最值,证明不等式恒成立问题,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题. 22.已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,该椭圆与y轴正半轴交于点M,且△MF1F2是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程; (2)过点F2任作一直线交椭圆于A,B两点,平面上有一动点P,设直线PA,PF2,PB的斜率分别为k1,k,k2,且满足k1+k2=2k,求动点P的轨迹方程. 【答案】(1);(2)x=4. 【解析】(1)根据椭圆的定义可得,从而可求出椭圆的方程. (2)设过点F2的直线方程为y=(x﹣1)(当斜率存在时),设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),将直线与椭圆方程联立,利用韦达定理求出两根之和、两根之积,用两点表示出直线的斜率,代入k1+k2=2k,化简即可求解;当直线斜率不存在时,验证是否满足求出的轨迹方程即可. 【详解】 (1)由题意可知:b=|OM|,a=|MF1|=2, 所以椭圆标准方程为. (2)①设过点F2的直线方程为y=(x﹣1)(当斜率存在时), 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 联立方程,得到(3+42)x2﹣82x+42﹣12=0, 其中,,y1=(x1﹣1),y2=(x2﹣1), 由k1+k2=2k得:, 通分代入得:, 即(x0﹣4)((x0﹣1)﹣y0)=0,y0=(x0﹣1)舍去,所以x0=4, ②当直线斜率k不存在时,即为x=1,经验证可知直线x0=4上任意一点亦满足条件. 所以点P的轨迹的方程为x=4. 【点睛】 本题考查了求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系,考查了计算能力,属于中档题.查看更多