上海市嘉定区封浜高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

上海市嘉定区封浜高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019年学年上海市嘉定区封浜高中第一学期期中测试 高二数学试卷 一、填空题（共54分，前6题每题4分，后6题每题5分）‎ ‎1.线性方程组的系数矩阵是_________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 系数矩阵就是由方程组的系数组成的矩阵,由方程组写出矩阵即可 ‎【详解】由题,由系数矩阵定义即可得系数矩阵为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查系数矩阵的定义,属于基础题 ‎2.已知向量 ，则向量的模为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的模的定义可得,求解即可 ‎【详解】由题,,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查向量的模,考查向量的坐标表示,是基础题 ‎3.在三阶行列式中，5的余子式的值为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余子式的定义可得5的余子式为,求解即可 ‎【详解】由题, 5的余子式为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查余子式的值,考查运算能力,属于基础题 ‎4.计算：____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数列的极限的运算法则化简求解即可 ‎【详解】,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查数列极限的运算法则的应用,属于基础题 ‎5.已知，则向量的坐标为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可知,可求得,代入的坐标中即可 ‎【详解】由题,当,则,即,‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查向量的坐标表示,考查已知向量垂直求参问题,考查运算能力 ‎6.，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据矩阵乘法运算法则直接求解即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查矩阵乘法的运算，属于基础题.‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，若输入,则输出的值为_____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 输入时,,不满足,进而可得,得到,满足条件,输出即可 ‎【详解】输入,则,,否,则；‎ 当时,则,,是,则输出 ‎,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题 ‎8.向量，则向量在向量方向上的投影是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据方向投影的定义可得,代入求解即可 ‎【详解】由题,向量在向量的方向上的投影为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查向量中投影应用,考查运算能力 ‎9.用数学归纳法证明等式“”时，从到时，等式左边需要增加的是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数学归纳法可知时,左端为,到时,左端,从而可得解..‎ ‎【详解】用数学归纳法证明等式时, 当时，左边所得的项是; 假设时,命题成立,左端为 ‎; 则当时,左端为, 所以从“”需增添的项是. 故填:.‎ ‎【点睛】本题考查数学归纳法证明的第二步：归纳递推, 从“”需将“”代入所需证明的表达式中，明确其具体含义，是个易错点，属于中档题.‎ ‎10.如果，则实数a的取值范围是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：首先时，结论成立，当时，由题意，则，即，综上．‎ 考点：数列的极限．‎ ‎11.在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为____．‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．‎ ‎【详解】根据题意，设E（0，a），F（0，b）；‎ ‎∴；‎ ‎∴a=b+2，或b=a+2；‎ 且；‎ ‎∴；‎ 当a=b+2时，；‎ ‎∵b2+2b﹣2的最小值为；‎ ‎∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎【点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．‎ ‎12.设等比数列的通项公式为，前项和为．若，则______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．‎ ‎【详解】等比数列{an}的通项公式为a=qn﹣1（n∈N*），可得a1=1，‎ 因为=，所以数列的公比不是1，‎ ‎，an+1=qn．‎ 可得====，‎ 可得q=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．‎ 二、选择题（共20分，每题5分）‎ ‎13.如果，，则是的（ ）‎ A. 充分条件 B. 充要条件 C. 必要条件 D. 非充分非必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据行列式的运算性质，求得，得到，再由，可得到，即可判定，得到结论.‎ ‎【详解】根据行列式的运算性质，可得，即，可得，‎ 反之：若，可得，即，‎ 所以是的充要条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及平面向量共线条件的应用，其中解答中熟记行列式的运算性质，结合平面向量的共线定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于基础题.‎ ‎14.无穷数列4 ，，1，，，的各项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列的前项和公式,结合极限的计算,求得所求数列各项和 ‎【详解】由题观察可得,,即是首项为,公比为的等比数列,则 ‎,则无穷数列的各项和为 故选：A ‎【点睛】本题考查无穷等比数列各项和的计算,考查极限的运算,属于基础题 ‎15.若，则下列各式中不正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意在线段中得到与和的位置关系，根据向量共线定理对逐个选项逐一判断即可得到结果.‎ ‎【详解】∵，故可得与和的位置关系如图所示：‎ 且，‎ 由向量共线定理可得，，，，‎ 可得不正确的为A，‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量共线定理，由题意得到与和的位置关系是解题的关键，属于中档题.‎ ‎16.已知正整数数列中，，且对任意大于1的整数，点总在直线 上，则等于（ ）‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点代入直线即可判断出为等差数列,进而求出的通项公式.再代入求解即可.‎ ‎【详解】由题意,故,所以是以为首项,为公差的等差数列.所以,故,‎ 所以 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列用定义判定的方法.‎ 三、解答题（共76分，14+14+14+16+18）‎ ‎17.利用行列式讨论关于的方程组解的情况.‎ ‎【答案】①当时，方程组有唯一解；②当时，方程组无解；③当时，方程组有无穷多解，可表示为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题,可得,分别讨论方程组有唯一解,无解,无穷多解的情况即可 ‎【详解】,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎①当时,方程有唯一解,,即；‎ ‎②当时,，,方程组无解；‎ ‎③当时,,方程组有无穷多解,设,则原方程组解 可表示为.‎ ‎【点睛】本题考查利用行列式解方程组,考查运算能力,考查分类讨论思想 ‎18.已知，点满足 ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）当为何值时，点在直线上？‎ ‎【答案】（1）或；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出,,可得,则,求解即可；‎ ‎（2）由（1）解得,将坐标代入中即可求得值 ‎【详解】（1）由题,,,‎ 因为,‎ 所以,即,解得或 ‎（2）由（1）可知 因为,所以 因为点在直线上,‎ 则,即 ‎【点睛】本题考查向量的坐标表示,考查向量的线性运算,考查向量的模的应用,考查运算能力 ‎19.在中,,边的中点分别是,若.‎ ‎（1）分别用表示和；‎ ‎（2）求所成钝角的大小(结果用反三角函数表示).‎ ‎【答案】（1），；（2）（答案形式不唯一）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可得,,整理即可；‎ ‎（2）利用数量积求向量和的夹角余弦值,再利用反三角函数表示钝角即可 ‎【详解】（1）由题,可得,‎ ‎（2）由题,,则 ‎,即 ‎ ‎,即 则所成钝角为 ‎【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查数量积的应用,考查反三角函数求角,考查运算能力 ‎20.已知数列的前项和为，，‎ ‎（1）分别计算；‎ ‎（2）猜想通项公式，并用数学归纳法证明之.‎ ‎【答案】（1）；（2），证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别令,,代入中求解即可；‎ ‎（2）利用数学归纳法证明：当时,易证命题成立；假设时,命题成立,利用该归纳假设,去证明当时,命题也成立 ‎【详解】（1）由题,当时,,则,即,‎ 当时,,则,即,‎ 当时,,则,即 ‎（2）,‎ 证明：①当时,,命题成立；‎ ‎②假设当时,命题成立,即,‎ 则当时,,‎ 则,即,‎ 所以,‎ 所以当时,命题也成立 由①②知,命题对都成立,即 ‎【点睛】本题考查已知与的关系求项,考查数学归纳法的应用,考查推理论证的能力,考查运算能力 ‎21.我们把一系列向量按次序排成一列,称之为向量列,记作.已知向量列满足且.‎ ‎（1）证明数列是等比数列;‎ ‎（2）求间的夹角;‎ ‎（3）设,问数列中是否存在最小项?若存在,求出最小项;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）存在,最小项为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过向量模的定义计算即可证明；‎ ‎（2）由数量积的定义求解即可；‎ ‎（3）通过假设数列中的第项最小,找出数列的单调性计算即可 ‎【详解】（1）证明：根据题意,‎ 得,‎ 当时,‎ 所以,数列是首项为,公比为的等比数列 ‎（2）由（1）可得,‎ ‎,‎ 所以 ‎（3）数列中存在最小项,‎ 由（1）可得, ,‎ 所以,‎ 假设中的第项最小,由,,‎ 所以,‎ 当时,有,由得,‎ 即,则,整理得,‎ 解得或（舍）,‎ 所以时,即有,‎ 由,得,又,‎ 所以 故数列中存在最小项,最小项是 ‎【点睛】本题考查向量的模的应用,考查等比数列的证明,考查数量积的应用,考查数列的单调性的应用,考查运算能力 ‎ ‎