高考数学专题复习：专题1集合与常用逻辑用语、函数与导数 第1讲

高考数学专题复习：专题1集合与常用逻辑用语、函数与导数 第1讲

专题一　第一讲 一、选择题 ‎1．已知集合A＝{x||x－2|>1}，B＝{x|y＝＋}，那么有(　　)‎ A．A∩B＝∅　　　　　 B．A⊆B C．B⊆A D．A＝B ‎[答案]　A ‎[解析]　由|x－2|>1得x－2<－1，或x－2>1，即x<1，或x>3；由得1≤x≤3，因此A＝{x|x<1，或x>3}，B＝{x|1≤x≤3}，所以A∩B＝∅，故选A.‎ ‎2．(2014·浙江文，2)设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[答案]　A ‎[解析]　菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选A.‎ ‎3．(2014·银川市一中二模)已知全集U＝R，集合A＝{x|<0}，B＝{x|x≥1}，则集合{x|x≤0}等于(　　)‎ A．A∩B B．A∪B C．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　A＝{x|00}，∴∁U(A∪B)＝{x|x≤0}，∴选D.‎ ‎4．(2013·天津理，4)已知下列三个命题：‎ ‎①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；‎ ‎②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；‎ ‎③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．‎ 其中真命题的序号是(　　)‎ A．①②③ B．①②‎ C．①③ D．②③‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　统计知识与直线和圆的位置关系的判断．‎ 对于①，设球半径为R，则V＝πR3，r＝R，‎ ‎∴V1＝π×(R)3＝＝V，故①正确；对于②，两组数据的平均数相等，标准差一般不相等；对于③，圆心(0,0)，半径为，圆心(0,0)到直线的距离d＝，故直线和圆相切，故①、③正确．‎ ‎5．(文)(2014·天津文，3)已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则¬p为(　　)‎ A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1‎ B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1‎ C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1‎ D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由命题的否定只否定命题的结论及全称命题的否定为特称(存在性)命题，“>”的否定为“<”知选B.‎ ‎(理)已知命题p：“∀x∈R，x2＋1≥‎1”‎的否定是“∃x∈R，x2＋1≤‎1”‎；命题q：在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充分条件，则下列命题是真命题的是(　　)‎ A．p且q B．p或¬q C．¬p且¬q D．p或q ‎[答案]　D ‎[解析]　p为假命题，q为真命题，∴p且q为假命题，p或¬q为假命题，¬p且¬q为假命题，p或q为真命题．‎ ‎6．(文)若集合A＝{x|22，条件q：x>a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　)‎ A．a≥1 B．a≤1‎ C．a≥－1 D．a≤－3‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　条件p：x>1或x<－3，所以¬p：－3≤x≤1；‎ 条件q：x>a，所以¬q：x≤a，‎ 由于¬p是¬q的充分不必要条件，所以a≥1，故选A.‎ ‎7．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，定义集合A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则集合A×B中属于集合{(x，y)|logxy∈N}的元素个数是(　　)‎ A．3　　　 B．‎4　‎　　　‎ C．8　　　 D．9‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　用列举法求解．由给出的定义得A×B＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)}．其中log22＝1，log24＝2，log28＝3，log44＝1，因此，一共有4个元素，故选B.‎ ‎8．(文)(2014·湖南理，5)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(¬q)；④(¬p)∨q中，真命题是(　　)‎ A．①③ B．①④‎ C．②③ D．②④‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　当x>y时，两边乘以－1可得－x<－y，所以命题p为真命题，当x＝1，y＝－2时，因为x20；‎ q：“x>‎1”‎是“x>‎2”‎的充分不必要条件，‎ 则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．¬p∧¬q C．¬p∧q D．p∧¬q ‎[答案]　D ‎[解析]　命题p是真命题，命题q是假命题，所以选项D正确．判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．‎ ‎9．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(　　)‎ A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 ‎[分析]　根据四种命题的关系判定．‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　“若p则q”的否命题为“若¬p则¬q”，故选B.‎ ‎10．(2014·陕西理，8)原命题为“若z1、z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)‎ A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 ‎[答案]　B ‎[解析]　若z1＝a＋bi，则z2＝a－bi.‎ ‎∴|z1|＝|z2|，故原命题正确、逆否命题正确．‎ 其逆命题为：若|z1|＝|z2|，则z1、z2互为共轭复数，‎ 若z1＝a＋bi，z2＝－a＋bi，则|z1|＝|z2|，而z1、z2不为共轭复数．‎ ‎∴逆命题为假，否命题也为假．‎ 二、填空题 ‎11．设p：<0，q：02.‎ ‎12．设集合A＝{5，log2(a＋3)}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.‎ ‎[答案]　{1,2,5}‎ ‎[解析]　∵A∩B＝{2}，∴2∈A，∴log2(a＋3)＝2，‎ ‎∴a＝1，∴b＝2，∴A∪B＝{1,2,5}.‎ 一、选择题 ‎13．(2014·哈三中一模)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，P＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，则集合P的元素个数为(　　)‎ A．3　　　 B．‎4　‎　　　‎ C．5　　　 D．6‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由题意知P＝{1,2,4,3,6}，∴选C.‎ ‎14．(文)已知集合A＝{(x，y)|y＝2x，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝2x，x∈R}，则A∩B的元素数目为(　　)‎ A．0　　　 B．‎1　‎　　　‎ C．2　　　 D．无穷多 ‎[答案]　C ‎[解析]　函数y＝2x与y＝2x的图象的交点有2个，故选C.‎ ‎(理)设全集U＝R，集合M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝3－2x}，则图中阴影部分表示的集合是(　　)‎ A．{x|}＝{x|‎4c>0时，存在x0∈R，使f(x0)<0，例如取b＝3，c＝1，此时，f(x)＝x2＋3x＋1＝(x＋)2－，其最小值－<0.故选A.‎ ‎(理)(2014·新课标Ⅰ理，9)不等式组的解集记为D.有下面四个命题：‎ p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，‎ p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，‎ p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，‎ p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.‎ 其中真命题是(　　)‎ A．p2，p3　　　　　　　 B．p1，p4‎ C．p1，p2 D．p1，p3‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　不等式组表示的平面区域如图所示．‎ 由得交点A(2，－1)，‎ ‎∵目标函数u＝x＋2y的斜率k＝－，‎ ‎∴当直线x＋2y＝u过A时，u取最小值0.‎ 故选项p1，p2正确，所以选C.‎ ‎17．(2014·辽宁理，5)设a、b、c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是(　　)‎ A．p∨q B．p∧q C．(¬p)∧(¬q) D．p∨(¬q)‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；‎ ‎∵a∥b，b∥c，∴∃λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，‎ ‎∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．‎ ‎∴p∨q为真命题．‎ ‎18．已知命题p：“∃x∈R，x2＋2ax＋a≤‎0”‎为假命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(0,1) B．(0,2)‎ C．(2,3) D．(2,4)‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由p为假命题知，∀x∈R，x2＋2ax＋a>0恒成立，∴Δ＝‎4a2－‎4a<0，∴00的解集是集合{x|－2≤x≤2}的子集，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．－2≤a≤2 B．－1≤a≤1‎ C．－2≤a≤1 D．1≤a≤2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　因为(x－a)⊗(x＋1－a)>0，所以>0，即asinB，则A>B”的逆命题是真命题；②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x＋y≠5则p是q的必要不充分条件；③“∀x∈R，x3－x2＋1≤‎0”‎的否定是“∀x∈R，x3－x2＋1>‎0”‎；④若随机变量x～B(n，p)，则DX＝np.⑤回归分析中，回归方程可以是非线性方程．‎ A．1　　　 B．‎2　‎　　　‎ C．3　　　 D．4‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　在△ABC中，A>B⇔a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB(其中R为△ABC外接圆半径)．∴①为真命题；∵x＝2且y＝3时，x＋y＝5成立，x＋y＝5时，x＝2且y＝3不成立，∴“x＋y＝‎5”‎是“x＝2且y＝‎3”‎的必要不充分条件，从而“x≠2或y≠‎3”‎是“x＋y≠‎5”‎的必要不充分条件，∴②为真命题；‎ ‎∵全称命题的否定是特称命题，‎ ‎∴③为假命题；‎ 由二项分布的方差知④为假命题．‎ ‎⑤显然为真命题，故选C.‎ 二、填空题 ‎21．设p：关于x的不等式ax>1的解集为{x|x<0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，则a的取值范围是________．‎ ‎[答案]　(0，]∪[1，＋∞)‎ ‎[解析]　p真时，00对x∈R恒成立，则即a>.若p∨q为真，p∧q 为假，则p、q应一真一假：①当p真q假时，⇒06)＝(1－2P(0≤ξ≤3))＝0.1，∴③错误；由数形结合法，依据定积分的几何意义得a＝dx＝，y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax＝cos，最小正周期T＝＝4，∴④正确．‎ 设a＝2014，则f(x)＝＋asinx ‎＝a＋asinx－，‎ 易知f(x)在[－，]上单调递增，‎ ‎∴M＋N＝f()＋f(－)＝‎2a－－＝‎2a－－＝‎2a－1＝4027，‎ ‎∴⑤正确．‎