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文档介绍
2018-2019学年江西省南康中学、于都中学高二上学期第三次月考数学(理)试题 解析版
绝密★启用前 江西省南康中学、于都中学 2018-2019 学年高二上学期第三 次月考数学(理)试题 评卷人 得分 一、单选题 1.命题“对任意 ,都有 ”的否定为( ) A.对任意 ,使得 B.不存在 ,使得 C.存在 ,使得 D.存在 ,使得 【答案】D 【解析】 试题分析:全称命题的否定,只需要将任意换为存在,对结论进行否定即可. 考点:全称命题的否定. 2.直线 的方程为 ,则直线 的倾斜角为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由直线 l 的方程为 ,可得直线的斜率为 k= ,设直线的倾斜角为 α (0°≤α<180°),则 tanα= ,,∴α=150°. 故选:A. 3.若样本 平均数是 4,方差是 2,则另一样本 的平均数 和方差分别为( ) A.12,2 B.14,6 C.12,8 D.14,18 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知条件推导出 x1+x2+…+xn=n ,从而得到 3x1+2,3x2+2,…3xn+2 的平均数是 3 , 由 [(x1﹣x)2+(x2﹣x)2+…+(xn﹣x)2]=s2,得到 3x1+2,3x2+2,…3xn+2 的方差是 [(x1 )2+(x2 )2+…+(xn )2],由此能求出结果. 【详解】 ∵x1,x2,…,xn 的平均数为 =4, ∴x1+x2+…+xn=n , ∴3x1+2,3x2+2,…3xn+2 的平均数是: (3x1+2+3x2+2+…+3xn+2)÷n =[3(x1+x2+…+xn)+2n]÷n=(3n 2n)÷n=3 2=14. ∵x1,x2,…,xn 的方差为 s2, ∴ [(x1﹣x)2+(x2﹣x)2+…+(xn﹣x)2]=s2, ∴3x1+2,3x2+2,…3xn+2 的方差是: [(3x1+2﹣3 2)2+(3x2+2﹣3 2)2+…+(3xn+2﹣3 2)2] [(3x1﹣3 )2+(3x2﹣3 )2+…+(3xn﹣3 )2], [9(x1 )2+9(x2 )2+…+9(xn )2], [(x1 )2+(x2 )2+…+(xn )2], =9s2=18. 故选:D. 【点睛】 本题考查平均数、方差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意平均数和方差公式 的合理运用. 4.对于原命题:“已知 ,若 ,则 ”,以及它的逆命题、否命题、 逆否命题,在这 4 个命题中,真命题的个数为() A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个 【答案】C 【解析】 试题分析:原命题和逆否命题的真假一致,逆命题和否命题的真假一致;当 时原命 题为假命题,所以它的逆否命题也是假命题;它的逆命题为“已知 ,若 , 则 ”,为真命题,所以否命题也是真命题,真命题个数为 2,故选 C. 考点:1、四种命题;2、命题真假判定. 5.等比数列 的前 项和为 ,已知 ,且 与 的等差中项为 ,则 ( ) A.29 B.31 C.33 D.36 【答案】B 【解析】 试题分析:设等比数列 的首项为 ,公比为 ,由题意知 ,解得 ,所以 ,故选 B. 考点:等比数列通项公式及求前 项和公式. 【一题多解】由 ,得 .又 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 ,故选 B. 6.总体由编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 7 个 个体,选取方法是从随机数表第 1 行的第 3 列和第 4 列数字开始由左到右依次选取两个 数字,则选出来的第 6 个个体的编号为( ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.02 B.07 C.01 D.06 【答案】C 【解析】 【分析】 根据随机数表,依次进行选择即可得到结论. 【详解】 选取方法是从随机数表第 1 行的第 3 列和第 4 列数字开始由左到右依次选取两个数字 中小于 20 的编号依次为 16,08,02,14,07,01,则第 6 个个体的编号为 01. 故选:C. 【点睛】 本题主要考查简单随机抽样的应用,正确理解随机数法是解决本题的关键,比较基 础. 7.已知一组数据(1,2),(3,5),(6,8),( , )的线性回归方程为 ,则 的值为( ) A.-3 B.-5 C.-2 D.-1 【答案】A 【解析】 【分析】 利用平均数公式计算样本中心点的坐标,根据回归直线必过样本的中心点可得结论. 【详解】 由题意知 , 样本中心点的坐标为 , 线性回归方程为 , , 解得 ,故选 A. 【点睛】 本题主要考查回归方程的性质,属于简单题. 回归直线过样本点中心 是一条重要性 质,利用线性回归方程可以估计总体,帮助我们分析两个变量的变化趋势. 8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由三视图可知:该几何体是由一个正方体在中间挖去一个圆柱得到的,即可得出该几何 体的体积. 【详解】 由三视图可知:该几何体是由一个正方体在中间挖去一个圆柱得到的. 正方体的棱长为 4,圆柱的底面半径为 1,高为 2. ∴该几何体的体积=43﹣π×12×2=64﹣2π. 故选:B. 【点睛】 本题考查了正方体与圆柱的三视图的有关计算,考查了推理能力与计算能力,属于基础 题. 9.已知直线 : ( )被圆 所截的弦长是圆心 到 直线 的距离的 2 倍,则 等于( ) A.6 B.8 C.9 D.11 【答案】C 【解析】由题设可知圆的圆心为 ,圆心到直线的距离 ,依据题 意 ,即 (舍去),应选答案 C。 点睛:直线与圆相交的问题是解析几何中最为常见的问题之一。解答这类问题时,一定 先画出直线与圆相交的图形,算出圆心到直线的距离(弦心距),解好弦心距、半弦长、 圆的半径三个构成的直角三角形。 10.函数 的部分图象如图所示,设 是图象的最高点, 是 图象与 轴的交点,则 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【 解 析 】 由 图 知 , , 最 大 值 为 . 做 轴 于 , 则 在 直 角 三 角 形 中 有 所 以 . 故 选 . 考点:1.三角函数的图象和性质;2.两角和差的三角函数. 11.已知边长为 的菱形 中, ,沿对角线 折成二面角 为 的四面体 ,则四面体的外接球的表面积为( ) A. B. C. D. sin( ) ( 0)y x ϕ ϕ= π + > P ,A B x tan APB∠ = 10 8 8 7 4 7 2AB T= = 1 PD x⊥ D 1 3 12 2AD DB DP= = =, , , 1 2tan APD∠ = , 3 2tan BPD∠ = , 1 3 2 2 81 31 2 2 tan APB tan APD BPD + ∠ = ∠ + ∠ = = − × ( ) B 【答案】D 【解析】 试题分析:如图所示,设两三角形外心分别为 ,球心为 , ,故 ,球的半径为 ,故球的表面积为 . 考点:几何体外接球. 12.在平面内,定点 A,B,C,D 满足 = = , = = =–2, 动点 P,M 满足 =1, = ,则 的最大值是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析:甴已知易得 .以 为原点, 直线 为 轴建立平面直角坐标系,如图所示,则 设 由 已 知 , 得 , 又 ,它表示圆 上的点 与点 的距离 的平方的 , ,故选 B. 【考点】平面向量的数量积运算,向量的夹角,解析几何中与圆有关的最值问题 【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模,由于结论是要求向量模的平方的最 大值,因此我们要把它用一个参数表示出来,解题时首先对条件进行化简变形,本题中 得出 ,且 ,因此我们采用解析法,即 建 立 直 角 坐 标 系 , 写 出 点 的 坐 标 , 同 时 动 点 的 轨 迹 是 圆 , 则 ,因此可用圆的性质得出最值.因此本题又考查了数形结合 的数学思想. 第 II 卷(非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13.将参加数学竞赛的 1000 名学生编号如下:0001,0002,0003, ,1000,打算从 中抽取一个容量为 50 的样本,按系统抽样的办法分成 50 个部分。如果第一部分编号为 0001,0002, ,0020,从中随机抽取一个号码为 0015,则第 40 个号码为 【答案】0795 【解析】略 14.函数 的最小值为_________. 【答案】5 【 解 析 】 因 为 , 所 以 , 函 数 ,当且仅当 , 即 时等号成立. 点睛:本题考查了基本不等式的应用,属于基础题.在用基本不等式时,注意"一正二 定 三 相 等 " 这 三 个 条 件 , 关 键 是 找 定 值 , 在 本 题 中 , 将 拆 成 ,凑成定值,再用基本不等式求出最小值. 15.如图所示的茎叶图为高三某班 54 名学生的政治考试成绩,程序框图中输入的 为茎叶图中的学生成绩,则输出的 和 的值分别是__________. 4 ( 1)1y x xx = + >− 1x > 1 0x − > ( ) ( )4 4 41 +1 2 1 1 51 1 1y x x xx x x = + = − + ≥ − × + =− − − 41 1x x − = − 3x = 4 1x x + − ( ) 41 11x x − + +− 1 2 54, , ,a a a S n 【答案】86,13 【解析】S 为大于等于 80 分的学生的平均成绩,计算得 S=86;n 表示 60 分以下的学生 人数,由茎叶图可知 n=13. 16.若 a∈[2,6],b∈[0,4],则关于 x 的一元二次方程 x2-2(a-2)x-b2+16=0 没有 实根的概率为___ 【答案】 【解析】 【分析】 作出不等式组对应的平面区域,利用几何概型的概率公式求出相应的面积即可得到结论. 【详解】 若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2(a﹣2)x﹣b2+16=0,则△=4(a﹣2)2﹣4(16﹣b2) <0,即(a﹣2)2+b2<16, 作出不等式组对应的平面区域如图: 则扇形 ADC 的面积 S 则 由 几 何 概 型 的 概 率 公 式 可 得 方 程 x2﹣2 ( a﹣2 )x﹣b2+16 = 0 没 有 实 根 概 率 P . 故答案为: 【点睛】 本题主要考查概率的计算,根据几何概型的概率公式是解决本题的关键,注意利用数形 结合进行求解. 评卷人 得分 三、解答题 17.在 中,角 A,B,C 的对边分别是 ,已知 (1)求角 B 的大小 (2)求三角形 ABC 的面积。 【答案】(1)B=300(2) 【解析】 分析:(1)由同角三角函数关系先求 ,由正弦定理可求 的值,从而可求 的 值;(2)先求得 的值,代入三角函数面积公式即可得结果. 详解:(1)由正弦定理 又 ∴B 为锐角 sinA= , 由正弦定理 B=300 (2) , ∴ . 点睛:以三角形和为载体,三角恒等变换为手段,正弦定理、余弦定理为工具,对三角 函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题,一般难度不大,但综合性 较强.解答这类问题,两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌 握并灵活应用,特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 18.已知命题 实数 x 满足 ,命题 实数 x 满足 . (1)若 ,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 且 是 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1)若 a=1,分别求出 p,q 成立的等价条件,利用且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范 围; (2)利用¬p 是¬q 的充分不必要条件,建立不等式组即可求得实数 a 的取值范围. 【详解】 (1)由 得 , 当 时, ,即 为真时, . 由 得 ,即 为真时, . 若 为真,则 真且 真,所以实数 的取值范围是 . (2)由 得 , . 由 得 . 设 , ,若 是 的充分不必要条件, 则 A 是 B 的真子集,故 ,所以实数的取值范围为 . 【点睛】 本题考查了复合命题与简单命题之间的关系,考查了利用充分不必要条件求参数范围, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19.如图 ,在直角梯形 中, ,且 . 现以 为一边向梯形外作正方形 ,然后沿边 将正方形 翻折,使平 面 与平面 垂直, 为 的中点,如图 . (1)求证: 平面 ; (2)求点 到平面 的距离. 【答案】(1)证明见解析;(2) . 【解析】 试题分析:(1)要证直线 与平面 垂直,题中翻折成平面 与平面 垂直,因此有 平面 ,从而有一个线线垂直 ,另一个在 梯形 中由平面几何知识可证 ,从而得证线面垂直;(2)由(1)知 平面 与平面 垂直,因此只要过 作 于点 ,则可得 的长就 是点 到平面 的距离,在三角形中计算可得. 试 题 解 析 : ( 1 ) 在 正 方 形 中 , , 又 因 为 平 面 平 面 , 且 平 面 平 面 , 所 以 平 面 , 所 以 .在直角梯形 中, ,可得 ,在 中, ,所以 ,所以 , 所以 平面 . (2)因为 平面 ,所以平面 平面 ,过点 作 的垂线交 1 ABCD ,AB CD AB AD⊥ 1 12AB AD CD= = = AD ADEF AD ADEF ADEF ABCD M ED 2 BC ⊥ BDE D BEC 6 3 BC BDE ADEF ABCD ED ⊥ ABCD ED BC⊥ ABCD BC BD⊥ BCE BDE D DH BE⊥ H DH D BEC ADEF ED AD⊥ ADEF ⊥ ABCD ADEF ABCD AD= ED ⊥ ABCD ED BC⊥ ABCD 1, 2AB AD CD= = = 2BC = BCD∆ 2, 2BD BC CD= = = 2 2 2BD BC CD+ = BC BD⊥ BC ⊥ BDE BC ⊂ BCE BDE ⊥ BEC D EB EB 于点 ,则 平面 ,所以点 到平面 的距离等于线段 的长度. 在 直 角 三 角 形 中 , , 所 以 , 所以点 到平面 的距离等于 . 考点:线面垂直的判断,点到平面的距离. 20.某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究,针对篮球运动员在投篮命中时, 运动员距篮筐中心的水平距离这项指标,对某运动员进行了若干场次的统计,依据统计 结果绘制如下频率分布直方图: (1)依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时,他到篮筐中心的水平距离的中位数; (2)若从该运动员投篮命中时,他到篮筐中心的水平距离为 2 到 5 米的这三组中,用分 层抽样的方法抽取 7 次成绩(单位:米,运动员投篮命中时,他到篮筐中心的水平距离 越远越好),并从抽到的这 7 次成绩中随机抽取 2 次,并规定:成绩来自 2 到 3 米这一 组时,记 1 分;成绩来自 3 到 4 米这一组时,记 2 分;成绩来 4 到 5 米的这一组记 4 分,求该运动员 2 次总分不少于 5 分的概率. 【答案】(1)4.25 米(2) 【解析】 【分析】 (1)由中位数两边矩形的面积相等列式求得中位数的估计值; (2)由题意知,抽到的 7 次成绩中,有 1 次来自到篮筐的水平距离为 2 到 3 米的这一 组,记作 A1;有 2 次来自到篮筐的水平距离为 3 到 4 米的这一组,记作 B1,B2; 有 4 次来自到篮筐的水平距离为 4 到 5 米的这一组,记作 C1,C2,C3,C4,然后由古 典概型概率计算公式得答案. 【详解】 G DG ⊥ BEC D BEC DG BDE 1 1 2 2BDES BD BE BE DG∆ = ⋅ = ⋅ 2 6 33 BD DEDG BE ⋅= = = D BEC 6 3 (1)设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为 ,且 , , 由 , 解得 , ∴ 该运动员到篮筐的水平距离的中位数是 4.25(米) . (2)由题意知,抽到的 7 次成绩中,有 1 次来自到篮筐的水平距离为 2 到 3 米的这一组, 记作 ;有 2 次来自到篮筐的水平距离为 3 到 4 米的这一组,记作 ;有 4 次来自 到篮筐的水平距离为 4 到 5 米的这一组,记作 . 从 7 次成绩中随机抽取 2 次的所有可能抽法如下: , , 共 21 个基本事件. 记得分不少于 5 分为事件 A,其中得分为 5 分的事件有 共 4 个,得分为 6 的事件有 , , 共 8 个, 得分为 8 的事件有. 共 6 个, 故得分不少于 5 分的概率为 另解,记得分不少于 5 分为事件 A,则其对立事件 为得分少于 5 分,其中得分为 3 分 的 事 件 有 , 得 分 为 4 的 事 件 有 , 故 得 分 少 于 5 分 的 概 率 为 ,所以得分不少于 5 分的概率为 【点睛】 古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法. (2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与 “无序”区别的题目,常采用树状图法. (3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象 的题目具体化. (4)排列组合法:适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 21.如图,三棱台 中, 侧面 与侧面 是全等的梯形,若 ,且 . (Ⅰ)若 , ,证明: ∥平面 ; (Ⅱ)若二面角 为 ,求平面 与平面 所成的锐二面角的 余弦值. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) . 【解析】试题分析:(Ⅰ) 连接 ,由比例可得 ∥ ,进而得线面平行; (Ⅱ)过点 作 的垂线,建立空间直角坐标系,不妨设 ,则 求得平面 的法向量为 ,设平面 的法向量为 ,由 求二面角余弦即可. 试题解析: (Ⅰ)证明:连接 ,梯形 , , 易知: ; 又 ,则 ∥ ; 1 1 1ABC A B C− 1 1A B BA 1 1AC CA 1 1 1 1,A A AB A A AC⊥ ⊥ 1 1 12 4AB A B A A= = 12CD DA= 2AE EB= DE 1 1BCC B 1 1C AA B− − 3 π 1 1A B BA 1 1C B BC 1 4 1 1,AC BC DE 1BC A AC 1 1AA = 1 1 1 1 2,A B AC= = 1 1A B BA m 1 1C B BC n cos , m nm n m n ⋅= 1 1,AC BC 1 1AC CA 1 12AC AC= 1 1 1, 2AC AC D AD DC∩ = = 2AE EB= DE 1BC 平面 , 平面 , 可得: ∥平面 ; (Ⅱ)侧面 是梯形, , , , 则 为二面角 的平面角, ; 均为正三角形,在平面 内,过点 作 的垂线,如图建立 空间直角坐标系,不妨设 ,则 ,故点 , ; 设 平 面 的 法 向 量 为 , 则 有 : ; 设 平 面 的 法 向 量 为 , 则 有 : ; , 故平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 . 22.如图,在直角坐标系 中,圆 与 轴负半轴交于点 ,过点 的直线 , 分别与圆 交于 , 两点. 1BC ⊂ 1 1BCC B DE ⊄ 1 1BCC B DE 1 1BCC B 1 1AC CA 1 1 1A A AC⊥ 1AA AC⇒ ⊥ 1A A AB⊥ BAC∠ 1 1C AA B− − BAC∠ = 3 π 1 1 1,ABC A B C⇒ ∆ ∆ ABC A AC 1 1AA = 1 1 1 1 2,A B AC= = 4AC AC= = ( )1 0,0,1A ( )0,4,0 ,C ( ) ( )12 3,2,0 , 3,1,1B B 1 1A B BA ( )1 1 1, ,m x y z= ( )1 1 1 1 1 1 3 00{ { 1, 3,0 0 3 0 x ym AB m m AB x y z + =⋅ = ⇒ ⇒ = − ⋅ = + + = 1 1C B BC ( )2 2 2, ,n x y z= ( )2 2 1 2 2 2 3 00{ { 1, 3,2 3 0 3 3 0 x ym CB n m CB x y z − =⋅ = ⇒ ⇒ = ⋅ = − + = 1cos , 4 m nm n m n ⋅= = − 1 1A B BA 1 1C B BC 1 4 xOy 2 2: 4+ =O x y x A A AM AN O M N (1)若 , ,求△ 的面积; (2)过点 作圆 O 的两条切线,切点分别为 E,F,求 ; (3)若 ,求证:直线 过定点. 【答案】(1) ;(2) ;(3)见解析 【解析】 试题分析:( 1) 直 线 AM 的 方 程 为 , 直 线 AN 的 方 程 为 , 由 中 位 线 定 理 知 , ,由 此 能 求 出 的 面 积 .( 2)由已 知 条 件 推 导 出 , , 由 此 能 求 出 . ( 3 ) 设 直 线 的 方 程 , 则 直 线 的 方 程 为 , 联 立 方 程 , 得 同 理 , 由 此 能 证 明 直 线 过 定 点 . 试题解析:(1)由题知,得直线 的方程为 ,直线 的方程为 所以,圆心到直线 的距离 ,所以, ,由中位线 定理知, AN= , 由题知 ,所以 ⊥ , = . 2AMk = 1 2ANk = − AMN (3 3, 5)P − PE PF⋅ 2AM ANk k⋅ = − MN 5 16 13 528 42 += xy 12 1 −−= xy 5 58=AN AMN∆ 13 32 132 34cos ==∠OPE 13 111cos2cos 2 =−∠=∠ OPEFPE PF PE⋅ AM ( )2+= xky AN ( )22 +−= xky ( ) =+ += 4 2 22 yx xky ++ − 22 2 1 4,1 22 k k k kM + − + − 22 2 4 8,4 82 k k k kM MN − 0,3 2 AM 42 += xy AN 12 1 −−= xy AM 5 4=d 5 54 5 1642 =−=AM 5 58 1−=⋅ ANAM kk AN AM 2 1=S ×× 5 54 5 58 5 16 (2) , , 所以 . 所以 , 所以 (3)由题知直线 和直线 的斜率都存在,且都不为 0,不妨设直线 的的方 程 , 则 直 线 的 方 程 为 , 所 以 , 联 立 方 程 ,所以, ,得 或 , 所以 , 同理, , 因为 轴上存在一点 D , 所以, = ,同理 , 所以, = ,所以,直线 过定点 . 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 2 2(3 3) ( 5) 4 4 3PE + − − =| |= 2 2(3 3) ( 5) 2 13PO = + − = 4 3 2 3cos 2 13 13 OPE∠ = = 2 22 3 11cos 2cos 1 2( ) 1 1313 FPE OPE∠ = ∠ − = − = 2 11 528| || | cos (4 3) 13 13PE PF PE PF EPF⋅ = ∠ = × = AM AN AM ( 2)y k x= + AN 2 ( 2)y xk = − + 2 2 ( 2) 4 y k x x y = + + = 2 2( 2)[(1 ) 2 2] 0x k x k+ + + − = 2x = − 2 2 2 2 1 kx k −= + 2 2 2 2 2 4( , )1 1 k kM k k − + + )4 8,4 82( 22 2 k k k kN + − + − x 2( ,0)3 − 61 22 1 4 2 2 2 ++ − + − = k k k k kDM 284 4 22 + −=+ − k k k k 22 + −= k kkDN DNk DMk MN 2( ,0)3 −查看更多