2019届二轮复习第26讲考前必背学案（全国通用）
第26讲 考前必背
“知识在于积累，积累为了应用”．为了提高高三复习效率，我们归纳概括了一些实用的经验公式、已证明了的小结论、常用的数据，它们或是老师的点评，或是同学们平时学习的感悟，或源于课本例题习题之中，在考前如果能理解熟记之，则能简化解题步骤、优化解题过程、提升解题速度(尤其体现在解答填空题、选择题时)．
第一部分 集合与常用逻辑用语
1．设全集为U，则A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA∪B＝U.
2．设全集为U，则∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
3．集合{a1，a2，…，an}的子集个数共有2n 个；真子集有2n－1个；非空子集有2n－1个；非空真子集有2n－2个．
4．空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．注意：条件为A⊆B，在讨论的时候不要忘了A＝∅的情况．
5．补集思想常用于否定性或正面较复杂问题，注意否定的全集范围．
6．充要条件的判定：
(1)先分清哪是条件，哪是结论，将条件放在左边，结论放在右边；
(2)从条件推到结论，说明条件是充分的；从结论推到条件，说明条件是必要的．
(3)与不等式解集有关的问题常转化为集合的包含关系：若A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件．注意区分：“甲是乙的充分条件(甲⇒乙)”与“甲的充分条件是乙(乙⇒甲)”．
7．“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题，当p与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题，当p与q同为假时为假，其他情况时为真．
8．原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价．
注意命题p⇒q的否定与它的否命题的区别：命题p⇒q的否定是p⇒綈q；否命题是綈p⇒綈q；命题“p或q”的否定是“綈p且綈q”；“p且q”的否定是“綈p或綈q”．
9．全称量词—“所有的”、“任意一个”等，用∀表示；全称命题p：∀x∈M，p(x)；全称命题p的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)．
10．存在量词—“存在一个”、“至少有一个”等，用∃表示；特称命题p：∃x∈M，p(x)；特称命题p的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．
11．常见结论的否定形式
原结论
反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有N个
至多有(N－1)个
小于
不小于
至多有N个
至少有(N＋1)个
对所有x，
成立
存在某x，
不成立
p或q
綈p且綈q
对任何x，
不成立
存在某x，
成立
p且q
綈p或綈q
第二部分 函数与导数
1．函数图象与x轴垂线至多一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可有任意个．
2．函数图象一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象．
3．同底数的指数函数与对数函数互为反函数．①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；②如果点(a，b)是原函数图象上的点，那么点(b，a)就是其反函数图象上的点．
4．关于复合函数
(1)定义域求法：① 若f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出；② 若f[g(x)]的定义域为[a，b]，求 f(x)的定义域，相当于x∈[a，b]时，求g(x)的值域．
(2)单调性的判定：①首先将原函数y＝f[g(x)]分解为基本函数：内函数u＝g(x)与外函数y＝f(u)；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性．
5．函数的奇偶性
(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；
(2)f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1；
(3)f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1 ；
(4)奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)＝0；
(5)在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；
(6)若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；
(7)多项式函数P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a0的奇偶性：多项式函数P(x)是奇函数⇔P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零．多项式函数P(x)是偶函数⇔P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零．
6．函数的单调性
(1)单调性的定义：f(x)在区间M上是增(减)函数⇔∀x1，x2∈M，当x1
0)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔>0(<0)；
(2)判定单调性主要用定义法、导数法、复合函数法、图象法；
(3)证明单调性主要用定义法、导数法．
7．有关对称性的几个重要结论．
一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值．
若f(x＋a)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称. 特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)，函数f(x)的图象关于直线x＝a对称；
若f(a＋x)＝－f(b－x)．则函数f(x)的图象关于点中心对称．特别地，若f(a＋x)＝－f(a－x)，则函数f(x)的图象关于点(a，0)中心对称．
8．与周期性有关的结论：
(1)若y＝f(x)对x∈R时f(x＋a)＝f(x－a)恒成立，则 f(x)的周期为2|a|；
(2)若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)的周期为2|a|；
(3)若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)的周期为4|a|；
(4) 若y＝f(x)对x∈R时，f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝－，则y＝f(x)的周期为2|a|.
9．对称性与周期性之间的关系．
周期性与对称性是相互联系、紧密相关的．一般地，若f(x)的图象有两条对称轴x ＝a和x＝b(a≠b)，则f(x)必为周期函数，且2|b－a|是它的一个周期；若f(x
)的图象有两个对称中心(a，0)和(b，0)(a≠b)，则f(x)必为周期函数，且2|b－a|为它的一个周期；若f(x)的图象有一条对称轴x＝a和一个对称中心(b，0)(a≠b)，则f(x)为周期函数，且4|b－a|是它的一个周期．
10．基本初等函数
(1)指数运算法则：①am·an＝am＋n ；②am÷an＝am－n；③(am)n＝amn；④ambm＝(ab)m.
(2)几个对数运算结论：alogaN＝N (a>0且a≠1，N>0)，logbN＝，logab＝，logaMn＝nlogaM，logamMn＝logaM.
(3)二次函数
①三种形式：一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：y＝a(x－b)2＋k(a≠0)，其中(b，k)为抛物线顶点坐标；零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2为抛物线与x轴两个交点的横坐标(有些证明题经常用到零点式)．
②二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴方程与顶点坐标；端点值；图象与坐标轴交点；判别式；两根符号(韦达定理)．
③二次函数问题解决方法：数形结合；分类讨论．
(4)函数y＝bx＋(a>0，b>0，x>0)在区间上单调递减，在区间上单调递增(记住f(x)＝bx＋(a>0，b>0，x>0)的图象)．
(5)形如y＝(c≠0，ad≠bc)的图象是等轴双曲线(化简时可分离常量)，双曲线两渐近线分别为直线x＝－(由分母为零确定)、直线y＝(由分子、分母中x的系数确定)，双曲线的中心是点.
11．函数图象
函数图象的几种常见变换
(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移—“上加下减”(注意是针对f(x)而言)．
(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)．
(3)对称变换：
①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；
②证明图象C1与C2的对称性，即证C1上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在C2上，反之亦然；
③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称；
④函数y＝f(a＋x)，y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x确定)；
⑤函数y＝f(x－a)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称；
⑥函数y＝f(x)，y＝A－f(x)的图象关于直线y＝对称(由y＝确定)；
⑦函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；函数y＝f(x)，y＝n－f(m－x) 的图象关于点对称；
⑧曲线C1：f(x，y)＝0，关于y＝x＋a，y＝－x＋a的对称曲线C2的方程为f(y－a，x＋a)＝0(或f(－y＋a，－x＋a)＝0; 曲线C1：f(x，y)＝0关于点(a，b)的对称曲线C2方程为：f(2a－x，2b－y)＝0；
⑨ⅰ.f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)⇒f(x)＝kx(k≠0)；ⅱ.f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；f(x1－x2)＝
f(x1)÷f(x2)⇒f(x)＝ax；ⅲ.f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；f＝f(x1)－f(x2)⇒f(x)＝logax.
12．函数的零点
(1)零点的求法：直接法(求f(x)＝0的根)；图象法；二分法．
(2)零点定理：设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，那么在开区间(a，b)内函数f(x)至少有一个零点，即至少有一点ξ(a<ξ0(f′(x)<0)是函数在对应区间递增(或递减)的充分不必要条件．如函数f(x)＝x3，它的图形是在开区间上的立方抛物线，它是递增函数．但是f′(x)＝3x2.在开区间并非皆为正，而f′(0)＝0.
(6)可导函数在极值点的导数为零，但导数为零的点不一定是极值点．如函数y＝在x＝0处有极小值，f′(0)不存在；f(x)＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．
(7)处理函数的切线问题应关注切点：切点横坐标对应的导数值是切线的斜率；同时切点在原函数的图象上．
(8)设f(x)的对称中心为P(x0，y0)(P在f(x)的图象上)，A(x1，y1)，B(x2，y2)是图象上关于P的两对称点，则由对称性知，f(x)在A、B两点处的斜率相等，即f′(x1)＝f′(x2)，再由x0＝可求x0，从而求点P(x0，y0)的坐标．如：已知函数f(x)＝x3－3x2＋6x－7的图象是中心对称图形，求其对称中心，可用上法求解．
14．定积分
(1)定积分的定义：f(x)dx＝ f(ξi)；
(2)定积分的性质：①kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；
②[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中ab⇔sin A>sin B(注意是在△ABC中)．
(3)在锐角三角形△ABC中，A＋B>，sin A>cos B，sin B>cos A，a2＋b2>c2.
第四部分 平面向量
1.为方向上的单位向量．
2．平面向量共线定理：若向量a，b(b≠0)共线，则存在唯一确定的实数λ，使a＝λb；
推论：若O、A、B三点不共线，已知＝m＋n(m，n∈R)，则A、B、P三点共线的充要条件是m＋n＝1.
3．若e1、e2不共线，且λ1e1＋λ2e2＝0，则必有λ1＝λ2＝0.
4．向量平移后与原向量相等，向量平移后坐标是不变的．
5．若直线l的方向向量为v＝(b，a)，且直线l的斜率存在，则斜率k＝.
6．两向量的夹角为锐角不是两向量数量积为正的充要条件，因为要排除夹角为0的情形；两向量的夹角为钝角也不是两向量数量积为负的充要条件，因为要排除夹角为180°的情形．
7．a，b同向或有0⇔|a＋b|＝|a|＋|b|≥||a|－|b||＝|a－b|；a，b反向或有0⇔|a－b|＝|a|＋|b|≥||a|－|b||＝|a＋b|；a，b不共线⇔||a|－|b||<|a±b|<|a|＋|b|.
8．向量的平行与垂直：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，则
a∥b⇔b＝λa ⇔x1y2－x2y1＝0.
a⊥b(a≠0)⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
9．线段的定比分点公式：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)是线段P1P2的分点，λ是实数，且＝λ，则
⇔＝⇔＝t＋(1－t)·.
10．三角形的重心坐标公式：△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，则△ABC的重心的坐标是G.
11．AD是△ABC的中线⇔＝；AE是△ABC的垂线⇔·＝0；AF是△ABC的角平分线⇔＝λ.
12．设θ是与的夹角，则cos θ称作为在方向上的投影，且cos θ＝.
13．若向量、、满足条件＋＋＝0，且＝＝，则△ABC为正三角形．
14．若G为△ABC的重心，且a＋b＋c＝0，则△ABC为正三角形．
15．已知G是△ABC所在平面上的一点，①若＋＋＝0，则G是△ABC的重心；②
若·＝·＝·，则O是△ABC的垂心；③若a＋b＋c＝0，则G是△ABC的内心；④若2＝2＝2，则O是△ABC的外心．(以上关系均为充分必要条件，是三角形的“四心”已确定的向量表示．)
第五部分 数列
1．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d(n∈N*)；
其前n项和公式Sn＝＝na1＋d＝n2＋n.
2．等差数列中的结论：
(1)若为等差数列，且p＋q＝m＋n(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq；
a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
(2)若为等差数列，则an＝am＋(n－m)d(m≤n，m，n∈N＋)．
(3)若为等差数列，则连续k项的和组成的数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，仍为等差数列．
(4)等差数列中，若am＝n，an＝m，则am＋n＝0；若Sm＝n，Sn＝m，则Sm＋n＝－(m＋n)(m≠n)．
(5)若为等差数列，当n为奇数时，S奇－S偶＝＝a中，Sn＝n·a中(a中为中间项)，＝ ；当n为偶数时，S偶－S奇＝.
(6)有两个等差数列、，若＝＝g(n)，则＝＝g(2n－1)．
(7)等差数列前n项和公式Sn＝＝＝…＝.
(8)在等差数列中，有关Sn的最值问题常用邻项变号法来求解．
当a1>0，d<0时，满足的项数m，使得Sm取最大值；
当a1<0，d>0时，满足的项数m，使得Sm取最小值．
(9)等差数列中，a1>0，ak＋ak＋1>0且ak·ak＋1<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是2k.
3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1＝·qn(n∈N*)；
其前n项和公式Sn＝或Sn＝
4．等比数列中的结论：
(1)若为等比数列，且p＋q＝m＋n(m，n，p，q∈N＋)，则am·an＝ap·aq；
a＝an－k·an＋k(n≥k＋1)，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….
(2)若为等比数列，m、n、p成等差数列，则am、an、ap成等比数列，其中m、n、p∈N＋.
(3)若为等比数列，则an＝amqn－m(m≤n，m，n∈N＋)．
(4)若为等比数列，则连续k项的和组成的数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，仍为等比数列(Sk≠0，k∈N＋)．
5．数列的通项的求法：
(1)公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
(2)已知Sn(即a1＋a2＋…＋an＝f(n))求an用作差法：an＝
(3)已知a1·a2·…·an＝f(n)求an用作商法：
an＝
(4)若an＋1－an＝f(n)求an用迭加法.
(5)已知＝f(n)，求an用迭乘法．
(6)已知数列递推式求an，用构造法(构造等差、等比数列):
①形如an＝kan－1＋b，an＝kan－1＋bn，an＝kan－1＋a·n＋b(k，b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an；
②形如an＝的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项．
(7)当遇到an＋1－an－1＝d或＝q时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式. 选择或填空题中，若所求数列某项的项数较大，且求通项不容易，则该数列可能为周期数列，可通过归纳求某项．
6．数列求和的方法：
(1)公式法：等差数列，等比数列求和公式．
(2)若为等差数列，为等比数列，则数列前n项的和可用错位相减法求得．
(3)若通项为n个连续自然数积的倒数，则一般可用裂项法求前n项的和．常用裂项形式有：
①＝－；
②＝；
③<＝，－＝<<＝－；
④＝
；
⑤＝－；
⑥2(－)<<2(－)；
⑦an＝Sn－Sn－1(n≥2)；
⑧C＋C＝C⇒C＝C－C；
⑨an＝n·n！＝(n＋1)！－n! .
(4)当一个数列既不是等差数列又不是等比数列时，如果能将这个数列分解为一个等差数列和一个等比数列对应项相加得到的一个新数列，此时可用分组法求和(有时按奇数项和偶数项分组)．
(5)倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加．
相加2Sn＝＋＋…＋.
7．两个结论：Sn＝12＋22＋…＋n2＝；
13＋23＋33＋…＋n3＝＝.
8．分期付款(按揭贷款) 每次还款x＝元(贷款a元，n次还清，每期利率为b)．
第六部分 立体几何
1．画三视图要求：主视图与俯视图长对正；主视图与左视图高平齐；左视图与俯视图宽相等．
2．球的半径是R，则其体积是V＝πR3，其表面积是S＝4πR2.
3．空间向量共线定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b⇔存在实数λ使a＝λb.
推论：对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足＝x＋y＋z，则四点P、A、B、C共面⇔x＋y＋z＝1.
4．求空间角
(1)异面直线所成角的求法：①平移法：平移直线，构造三角形；②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系；③向量法：转化为两直线方向向量的夹角，用向量法求异面直线所成角θ的方法：cos θ＝.
(2)直线与平面所成角的求法：①直接法(利用线面角定义)；②先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得sin θ；③向量法：用向量法求直线AB与平面α所成的角θ满足：sin θ＝＝，其中m为面α的法向量)．
三余弦公式：设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为θ1，AB与AC所成的角为θ2，AO与AC所成的角为θ.则cos θ＝cos θ1cos θ2.
(3)二面角的求法：①定义法：在二面角的棱上取一点(特殊点)，作出平面角，再求解；②三垂线法：由一个半平面内一点作(或找)到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；③射影法：利用面积射影公式：S′＝Scos θ，其中θ为平面角的大小(对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法)；④向量法：二面角α－l－β的平面角θ满足：＝，其中m、n为平面α、β的法向量．
面积射影定理S＝(平面多边形及其射影的面积分别是S、S′，它们所在平面所成锐二面角的大小为θ)．
5．点到平面的距离的求法：①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段(确定已知面的垂面是关键)，再求解；②等体积法；③向量法：点B到平面α的距离d＝，n为平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线．
异面直线间的距离 d＝(l1，l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1，l2上任一点，d为l1，l2间的距离)．
两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA′(点A′在a上，点A在b上)的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，A′E＝m，AF＝n，EF＝d.则异面直线上两点距离公式：d＝(A′E，AF在AA′同侧时为“－”号，异侧时为“＋”号)．
6．重要定理、公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．
公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
定理
·空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
·如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．
·如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．
·如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．
·如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．
·如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行．
·如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．
·垂直于同一个平面的两条直线平行．
·如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．
7．常用结论
(1)经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行．
(2)过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个．
(3)经过两条异面直线中的一条，只有一个平面与另一条直线平行．
(4)三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
(5)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，设它和已知角两边的夹角为锐角且相等，则这条斜射线在这个平面内的射影是这个角的平分线(斜射线上任一点在这个平面上的射影在这个角的平分线上)．
(6)如果一个角α所在平面外一点到这个角两边的距离相等，那么这点在平面α上的射影，在这个角的平分线上．(解答题用此结论须作简要证明)
(7)若三棱锥的三条侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的外心．
(8)如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角都相等或三棱锥的顶点到底面三条边距离都相等(顶点在底面上的射影在底面三角形内)，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的内心．
(9)如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，或有两组对棱垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心．
(10)棱长为a的正四面体的对棱互相垂直，对棱间的距离为a.
8．“等积变换”、“割形”与“补形”是解决立体几何问题常用方法．有关正四面体中的计算有时可构造正方体模型，使正方体的面对角线恰好构成正四面体．三条侧棱两两垂直的正三棱锥中的有关计算有时可以补成正方体．
第七部分 直线与圆
1．斜率公式：k＝(P1(x1，y1)、P2(x2，y2))．
2．直线的四种方程
点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线l过点P1(x1，y1)，且斜率为k)．
斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距)．
两点式：＝(y1≠y2)(P1(x1，y1)、P2(x2，y2)(x1≠x2))．
一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)．
3．两条直线的平行和垂直
(1)若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2
①l1∥l2⇔k1＝k2，b1≠b2；
②l1⊥l2⇔k1k2＝－1.
(2)直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2＝A2B1，且B1C2≠B2C1，垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
4．几个重要公式：
(1)设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，△ABC的重心G；
(2)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝；
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与 Ax＋By＋C2＝0的距离是d＝.
5．直线在x轴、y轴上的截距相等包含有直线过原点这一特殊情况．
6．直线过定点(m，0)时，根据情况有时可设其方程为x＝ty＋m(t＝0时直线x＝m)．应用点斜式解题，应检验直线斜率不存在的情况．
7．圆的四种方程
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．
圆的参数方程
圆的直径式方程 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圆的直径的端点是A(x1，y1)、B(x2，y2))．
8．与圆有关的结论
(1)若P(x0，y0)是圆x2＋y2＝r2上的点，则过点P(x0，y0)的切线方程为xx0＋yy0＝r2.
(2)若P(x0，y0)是圆x2＋y2＝r2外一点，由P(x0，y0)向圆引两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为xx0＋yy0＝r2.
(3)圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交于A、B两点，则直线AB为这两圆的“根轴”，其方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0(即为公共弦AB所在的直线方程)．
(4)过两个圆的交点的曲线系(当λ＝－1时表示两圆交线)：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
(5)过一个圆和一条直线的交点的圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ≠－1)．
第八部分 圆锥曲线
1．求曲线轨迹方程的常用方法：
(1)直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x，y)＝0，是求轨迹的最基本的方法．
(2)待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可．
(3)代入法(相关点法或转移法)．
(4)定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程．
(5)交轨法(参数法)：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．
2．椭圆＋＝1(a>b>0)中的结论：
(1)椭圆焦半径：＝a＋ex0，＝a－ex0(e为离心率); (左“＋”右“－”)；
(2)椭圆焦点三角形：①S△PF1F2＝b2tan(θ＝∠F1PF2)；
②点M 是△PF1F2内心，PM交F1F2于点N，则＝.
(3)椭圆＋＝1(a>b>0)的通径长为.
(4)若点P(x0，y0)在＋＝1(a>b>0)内部，则＋<1.
若点P(x0，y0)在＋＝1(a>b>0)外部，则＋>1.
(5)椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是
(6)以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离．
(7)以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切．
(8)设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2(或A1)．
(9)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个顶点为A1(－a，0)，A2(a，0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是－＝1.
(10)若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1上，则过P0的椭圆的切线方程是＋＝1.
(11)若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1外 ，则过P0作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是＋＝1.
(12)AB是椭圆＋＝1的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－.
(13)若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1内，则被P0所平分的中点弦的方程是＋＝＋.
(14)若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1内，则过P0的弦中点的轨迹方程是＋＝＋.
(15)若PQ是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上对中心张直角的弦，则＋＝＋(r1＝|OP|，r2＝|OQ|)．
3．双曲线中的结论：
(1)双曲线标准方程(焦点在x轴或y轴上)的统一形式为Ax2－By2＝1(AB>0)，
双曲线－＝1(a，b>0)的渐近线方程为y＝±x，也可记作－＝0.
双曲线－＝1(a，b>0)的参数方程是
(2)共渐近线y＝±x的双曲线标准方程为－＝λ(λ为参数，λ≠0)．
(3)双曲线焦点三角形：①S△PF1F2＝(θ＝∠F1PF2)；
②P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左(右)支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则△
PF1F2的内切圆的圆心横坐标为－a(a).
(4)双曲线－＝1(a，b>0)的通径长为.
(5)PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点．
(6)以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交．
(7)以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切．
(8)设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点．
(9)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点为A1(－a，0)，A2(a，0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是＋＝1.
(10)若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，则过P0的双曲线的切线方程是－＝1.
(11)若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)外，则过P0作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是－＝1.
(12)AB是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝.
(13)若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)内，则被P0所平分的中点弦的方程是－＝－.
(14)若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)内，则过P0的弦中点的轨迹方程是－＝－.
(15)若PQ是双曲线－＝1(b＞a＞0)上对中心张直角的弦，则＋＝－(r1＝|OP|，r2＝|OQ|)．
4．抛物线中的结论：
(1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB性质：①x1x2＝；y1y2＝－p2；抛物线焦半径：＝x0＋；②＋＝ ；③以AB为直径的圆与抛物线准线相切；④以AF(或BF)为直径的圆与y 轴相切；⑤|AB|＝，直线AB倾斜角α＝90°时，最短弦长为2p，即为抛物线的通径．
(2)若点P(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)内部，则y<2px0.若点P(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)外部，则y>2px0.
(3)抛物线y2＝2px上的动点P可设为P或P(2pt2，2pt)．
(4)由抛物线焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．
(5)过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB，则弦AB过定点(2p，0)．
(6)若抛物线上两点A、B在准线l上的射影分别为A1、B1，F为其焦点，则∠A1FB1＝.
5．若直线y＝kx＋m与二次曲线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则由⇒ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，知直线与二次曲线相交所截得的弦长为：
＝＝，其中＝(涉及直线与二次曲线相交的位置关系应注意Δ≥0，还需要注意圆锥曲线本身的范围．若求弦所在直线的斜率常用“点差法”)．
6．圆锥曲线的两类对称问题：
(1)曲线F(x，y)＝0关于点P(x0，y0)成中心对称的曲线是F(2x0－x，2y0－y)＝0.
(2)曲线F(x，y)＝0关于直线Ax＋By＋C＝0成轴对称的曲线是
F(x－，y－)＝0.
第九部分 不等式
1．含有绝对值的不等式：①|x|a⇔x2>a2⇔x>a或x<－a.
2．分式不等式：
(1)>0⇔f(x)·g(x)>0.
(2)<0⇔f(x)·g(x)<0.
(3)≥0⇔
(4)≤0⇔
3．无理不等式
(1)>⇔ .
(2)>g(x)⇔或.
(3)1时，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)；
logaf(x)>logag(x)⇔.
(2)当0ag(x)⇔f(x)logag(x)⇔.
5．均值不等式：设0b”或“a>b>0”这一信息，常常可以设“a＝b＋t”用这种和式增量法来证明不等式、求值、或比较大小．
9．不等式证明常用的放缩方法：
(1)舍去或加上一些项，如：(a＋1)2＋＞(a＋1)2.
(2)将分子或分母放大或缩小，如：
－＝<<＝－(n≥2，n∈N＋)，
－＝<<＝－(n≥1，n∈N＋)．
10．恒成立问题
(1)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：
①当a＝0时⇒b＝0，c>0；
②当a≠0时⇒
(2)不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：
①当a＝0时⇒b＝0，c<0；
②当a≠0时⇒
(3)f(x)a恒成立⇔f(x)min>a；f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a.
11．线性规划中常见的目标函数类型
①“截距”型：z＝Ax＋By；
②“斜率”型：z＝或z＝；
③“距离”型：z＝x2＋y2或z＝；z＝(x－a)2＋(y－b)2或z＝.
在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化．
第十部分 推理与证明、复数
1．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．类比推理是特殊到特殊的推理．它们统称为合情推理．
2．演绎推理是由一般到特殊的推理．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般结论；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况得出的判断．
3．直接证明与间接证明
(1)综合法又叫顺推法，其特点是由因导果；分析法又叫逆推证法，其特点是执果索因．
(2)反证法证明一个命题的一般步骤是：反设—推理—归谬—结论．
4．常见类比：(→表示类比到)
等差数列类比到等比数列： 差→比、和→积、倍→乘方、算术平均数→
几何平均数；平面类比到空间：线→面、角→二面角、三角形→三棱锥、矩形→长方体、正方形→正方体、圆→球、周长→表面积、面积→体积．
5．有关复数的几个重要概念：
(1)z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)⇔z＝z⇔ z2≥0.
(2)z＝a＋bi是虚数⇔b≠0(a，b∈R)．
(3)复数的分类z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)⇔z＋z＝0(z≠0)⇔z2<0.
(4)复数的相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
6．复数中的一些常见结论：
(1)＋＝2(＋)；
(2)z·＝＝；
(3)(1±i)2＝±2i；
(4)＝i；＝－i；
(5)虚数单位i的性质：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0；
7．复数模的性质：
(1)|z1z2|＝|z1||z2|；
(2)＝；
(3)|zn|＝|z|n.
第十一部分 算法初步
1．算法的三种基本结构
(1)顺序结构示意图：
(2)条件结构示意图：
①IF－THEN－ELSE格式：
②IF－THEN格式：
(3)循环结构示意图：
①当型(WHILE型)循环结构示意图：
其特点是：先判断条件，再执行循环体．
②直到型(UNTIL型)循环结构示意图：
其特点是：先执行一次循环体，再判断条件．
2．基本算法语句
①输入语句的一般格式：INPUT“提示内容”；变量
②输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式
③赋值语句的一般格式：变量＝表达式
(“＝”有时也用“←”)．
④条件语句的一般格式有两种：
IF－THEN－ELSE语句的一般格式为：
IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF
IF－THEN语句的一般格式为：
IF 条件 THEN
语句
END IF
⑤循环语句的一般格式是两种：
当型循环(WHILE)语句的一般格式：
WHILE 条件
循环体
WEND
直到型循环(UNTIL)语句的一般格式：
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
第十二部分 排列、组合和二项式定理
1．分类计数原理(加法原理)：N＝m1＋m2＋…＋mn.
2．分步计数原理(乘法原理)：N＝m1×m2×…×mn.
3．排列数公式A＝n(n－1)…(n－m＋1)＝.(n，m∈N*，且m≤n)．
4．排列恒等式(1)A＝(n－m＋1)A；(2)A＝A；(3)A＝nA； (4)nA＝A－A；(5)
A＝A＋mA.
5．组合数公式C＝＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．
6．组合数的两个性质(1)C＝C；(2)C＋C＝C.
7．组合恒等式(1)C＝C；(2)C＝C；
(3)C＝C；
(4)C＝2n；
(5)C＋C＋C＋…＋C＝C.
8．排列数与组合数的关系是：A＝m！·C .
9．解决排列组合问题的常用方法：
①特殊元素、特殊位置优先法(元素优先法：先考虑有限制条件的元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置)．
②间接法(对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉)．
③相邻问题捆绑法(把相信的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列)．
④不相邻(相间)问题插空法(某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间)．
⑤有序问题组合法．
⑥选取问题先选后排法．
⑦至多至少问题间接法．
⑧相同元素分组可采用隔板法．
⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！.
10．二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn；
二项展开式的通项公式：Tr＋1＝Can－rbr(r＝0，1，2…，n)．
二项式系数的性质：(展开式有n＋1项)
①与首末两端等距离的二项式系数相等；
②若n为偶数，中间一项的二项式系数最大；若n为奇数，中间两项的二项式系数最大．
11．求组合数的和，注意应用组合数的恒等变形公式，如：
kC＝nC，C＝C，
C＋C＋C＋…＋C＝C(n>m)，
C＋C＋C＋…＋C＝2n，
C＋C＋C＋…＋C＝2n－1(n为偶数)，
C＋C＋C＋…＋C＝2n－1(n为奇数)．
12．求二项展开式各项系数和或奇(偶)数项系数和时，注意运用赋值法．一般多项式f(x)的各项系数和为f(1)，奇次项系数和为，偶次项系数和为.
13．二项展开式系数最大项的求法：设第r项的系数Ar最大，由不等式组可确定r.
第十三部分 统计与独立性检验
1．简单随机抽样，系统抽样，分层抽样在抽样过程中每个个体被抽取的概率都相等．
2．总体特征数的估计：总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率．
(1)样本平均数x＝(x1＋x2＋…＋xn)＝i；
(2)样本方差s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]＝(xi－x)2 ；
(3)样本标准差
s＝
＝.
(4)方差与标准差越小，说明样本数据越稳定；平均数反映数据总体水平，方差与标准差反映数据的稳定水平．
3．相关系数(判定两个变量线性相关性)：
r＝
＝.
(1)r>0时，变量x，y正相关；r<0时，变量x，y负相关；
(2)当|r| 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；当|r| 越接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系．
4．回归直线方程
＝＋x，
其中.
5．独立性检验
(1)假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数2×2列联表为：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
若要推断的论述为H1：“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考查两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度．
(2)具体的做法是由表中的数据算出随机变量K2的值，K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量，K2的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大．
随机变量K2越大，说明两个分类变量关系越强；反之，越弱．
(3)K2≤3.841时，X与Y无关；K2>3.841时，X与Y有95%的可能性有关；K2≥6.635时X与Y有99%的可能性有关．
第十四部分 概率、随机变量及其分布
1．古典概型概率计算公式：P(A)＝.
特点：①所有的基本事件只有有限个；②每个基本事件都是等可能性发生．
2．几何概型概率计算公式：P(A)＝ .
特点：①所有的基本事件是无限个；②每个基本事件都是等可能发生．
3．互斥事件
(1)互斥事件(有一个发生)概率公式：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
(2)如果A1，A2，…，An彼此互斥，则有P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
(3)事件A的对立事件记作，P(A)＋P()＝1.
(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．
4．随机变量分布列的性质：pi≥0，i＝1，2，3，…； p1＋p2＋…＝1.
5．E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
性质：①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②若X服从二点分布，则E(X)＝p；③若X～B(n，p)，则E(X)＝np；④若X服从几何分布X～q(k，p)，则E(X)＝.
6．D(X)＝(x1－EX)2p1＋(x2－EX)2p2＋…＋(xn－EX)2pn为离散型随机变量X的方差，并称其算术平方根＝σX为标准差．它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度．D(X)越小，X的稳定性越高，波动越小，取值越集中；D(X)越大，X的稳定性越差，波动越大，取值越分散．
性质：①D(aX＋b)＝a2D(X)；②若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)；③若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；④若X服从几何分布X～q(k，p)，则D(X)＝.
7．独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B)．
8．独立重复试验的概率公式：
Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)
9．条件概率：称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，其中0≤P(B|A)≤1.
10．二项分布(独立重复试验)：若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，其中P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，称P为成功概率．
二项分布的模型是有放回抽样，判断一个随机变量是否服从二项分布关键有三点：①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；②重复性：即实验是独立重复地进行了n次；③等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等．
11．几何分布：“ξ＝k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为Ak，事件A不发生记为k，P(k)＝q，那么P(ξ＝k)＝P(12…k－1Ak)．根据相互独立事件的概率乘法公式：P(ξ＝k)＝P(1)P(2)…P(k－1)P(Ak)＝qk－1p(k＝1，2，3，…)，于是得到随机变量ξ的概率分布列：
ξ
1
2
3
…
k
…
P
p
qp
q2p
…
qk－1p
…
称ξ服从几何分布，并记g(k，p)＝qk－1p，其中q＝1－p.k＝1，2，3….
12．超几何分布：
(1)一批产品共有N件，其中有M(M＜N)件次品，今抽取n(1≤n≤N)件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为P(ξ＝k)＝·(0≤k≤M，0≤n－k≤N－M)．(分子是从M件次品中取k件，从N－M件正品中取n－k件的取法数，如果规定m＜r时C＝0，则k的范围可以写为k＝0，1，….)
(2)超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取n件(1≤n≤a
＋b)，则次品数ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝0，1，…，n)
(3)超几何分布的模型是不放回抽样．
(4)超几何分布与二项分布的关系：
设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布．若放回式抽取，则其中次品数η的分布列可如下求得：把a＋b个产品编号，则抽取n次共有(a＋b)n个可能结果，等可能：(η＝k)含Cakbn－k个结果，故P(η＝k)＝＝C·，k＝0，1，2，…，n，即η～B(我们先为k个次品选定位置，共C种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法)．可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，P(ξ＝k)≈P(η＝k)，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样．
13．正态总体的概率密度函数：
f(x)＝e－，x∈R，式中μ，σ是参数，分别表示总体的平均数(期望值)E(X)与标准差.①当σ一定时，曲线随μ值的变化沿x轴平移；②当μ一定时，曲线形状由σ确定：σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中．
14．正态曲线的性质：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝μ 对称；③曲线在x＝μ处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为1.
15．三个重要数据：P(μ－σ
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